1、第第5 5章章 对函数的再探索对函数的再探索5.1 5.1 函数与它的表示法函数与它的表示法-函数的三种表示方法一次函数一次函数：)0(ykbkx 1.1.了解函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），知道三种表示方法了解函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），知道三种表示方法各自的优、缺点各自的优、缺点;2.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法表示函数。在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法表示函数。一、表示函数关系的方法（3）用数学式子表示函数的方法叫做解析法 例如：观察与思考问题（3）（2）用表格表示函数关系的方法叫做列表法 例如：观察与思考问题（2）（1）用
2、图象表示函数关系的方法叫做图象法 例如：观察与思考问题（1）【互助学习】以小组为单位互相讲解观察与思考问题（5）、（6）1.1.一水池有2 2个进水口，1 1个出水口，进出水速度分别如图甲、乙所示，某天0 0点到6 6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少开一个水口）。给出以下3 3个论断：0 0点到3 3点只进水不出水3 3点到4 4点不进水只出水4 4点到6 6点不进水不出水，则一定能确定正确的论断序号是 。蓄水量654321丙乙甲01 2 3 4 5 6时间102出水量011时间进水量时间例1 1：某种笔记本的单价是2元，买x x（）个笔记本需要y y元试用三种表示法表示函数.51 x解析：
3、解析：1.解析法：解析法：2.列表法：列表法：512xxy个数个数x x12345花费花费y/y/元元246810二、典型例题：3.图像法2.用边长为1的等边三角形拼成图形，如图所示,用y表示拼成的图形的周长，用n表示其中等边三角形的数目，显然拼成的图形的周长y是n的函数。n12345678y（1）填表（2）用解析法表示这个函数.当n=1000时，求周长y.（3）用图象法表示这个函数.3 4 5 6 7 8 9 10y=n+2 1002教材练习1、2题一、表示函数关系的方法（3）用数学式子表示函数的方法叫做解析法（2）用表格表示函数关系的方法叫做列表法（1）用图象表示函数关系的方法叫做图象法二
4、、三种函数表示法的优缺点比较-函数概念及确定自变量的取值范围 回忆上一节课的三个例子，思考下列问题：回忆上一节课的三个例子，思考下列问题：（1）在这些问题中，自变量可以取值的范围在这些问题中，自变量可以取值的范围 分别是什么分别是什么？（2）对于自变量在它可以取值的范围内每取对于自变量在它可以取值的范围内每取 一个值一个值,另一个变量是否都另一个变量是否都有唯一有唯一确定的确定的 值与它对应值与它对应？（3）由此你对函数有了哪些进一步的认识？由此你对函数有了哪些进一步的认识？与同学交流与同学交流.1.1.进一步了解函数的概念；进一步了解函数的概念；2.2.能根据简单的函数表达式和问题情能根据简
5、单的函数表达式和问题情境，确定自变量可以取值的范围。境，确定自变量可以取值的范围。一、一、函数的定义函数的定义 在同一个变化过程中在同一个变化过程中,有两个变量有两个变量x,y.如果如果对于变量对于变量x在在可以取值的范围可以取值的范围内每取内每取 一个确定一个确定得值得值,变量变量y都有一个都有一个唯一确定唯一确定的值与它对应的值与它对应,那那么就说么就说y是是x的函数的函数.注意：注意：（1 1）自变量）自变量“可以取值的范围可以取值的范围”；（2 2）对应关系：自变量每一个确定的）对应关系：自变量每一个确定的 值，对应一个值，对应一个唯一唯一确定的函数值。确定的函数值。解：解：由题意可知
6、由题意可知)0(1xxy）（)0(-2xxy）（是是否)0(3xxy）（2.例例1 1：求下列函数中自变量求下列函数中自变量x x可以取值的范围：可以取值的范围：(1)y=3x-2(2)y=121x(3)y=1x(4)y=xx53x取任意实数21xx1x533 3.求求下列函数中自变量下列函数中自变量x x可以取值的范围：可以取值的范围：(1)y=3x2+1(2)y=x38(3)y=42 x(4)y=11xxx取任意实数0 xx-21x解：解：由题意可知当由题意可知当x为任意实数为任意实数时，时，；则有一元二次方程则有一元二次方程 无无解，故解，故 ，解得，解得022mxx022mxx04-4
7、m1m解：解：由题意可知当由题意可知当x为任意实数时，为任意实数时，；变形变形 ，因，因 故故 022mxx1)1(222mxmxx;0)1(2x1m;01解得m教材课后练习1、2、3题 一、函数定义一、函数定义 在同一个变化过程中在同一个变化过程中,有两个变量有两个变量x,y.如果对于变量如果对于变量x在在可以可以取值的范围取值的范围内每取内每取 一个确定得值一个确定得值,变量变量y都有一个都有一个唯一确定唯一确定的值的值与它对应与它对应,那么就说那么就说y是是x的函数的函数.注意注意（1 1）自变量）自变量“可以取值的范围可以取值的范围”；（2 2）对应关系：自变量每一个确定的值，对应一个
8、）对应关系：自变量每一个确定的值，对应一个唯一唯一 确定的函数值。确定的函数值。二、函数自变量取值范围的确定二、函数自变量取值范围的确定 （1 1）表达式为整式，自变量取）表达式为整式，自变量取全体实数全体实数；（2 2）表达式为分式，要考虑）表达式为分式，要考虑分母不为零分母不为零；（3 3）表达式为二次根式，要考虑）表达式为二次根式，要考虑被开方数应为非负数被开方数应为非负数；（4 4）表达式为以上综合式子时，要充分考虑）表达式为以上综合式子时，要充分考虑以上三种情况。以上三种情况。-分段函数认识分段函数，会根据简单分段函数认识分段函数，会根据简单分段函数的表达式或图象求出函数值的表达式或
9、图象求出函数值.一、一、分段分段函数的定义函数的定义 像教材观察与思考问题一及引例这样，函数像教材观察与思考问题一及引例这样，函数关系是分段给出的，我们称它叫做关系是分段给出的，我们称它叫做 分段函数分段函数.二、分段函数的表示方法二、分段函数的表示方法 形如：形如：注意注意：（1 1）分段函数是）分段函数是一个一个函数函数,不要把它误认为不要把它误认为 是是“几个函数几个函数”；（2 2）分段函数的自变量取值范围是各分段）分段函数的自变量取值范围是各分段 取值范围的取值范围的全体全体；（3 3）每段函数表达式自变量的取值范围之间）每段函数表达式自变量的取值范围之间没没 有公共点有公共点。1.
10、若分段函数（1）当 时，求y的值；(2)当y=8时，求x的值.；).2(2)2(22xxxxy2x2.在国内投寄外埠平信，每封信不超过20付邮资80分，超过20不超过40付邮资160分，超过40不超过60付邮资240分，以此类推，每封的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式.三、典型例题：解解:由图可知点由图可知点A（0,96）B（2,80）C（4,72），该函数为直线型分段函数：），该函数为直线型分段函数：图象图象 分为分为AB,BC两段，运用待定系数法两段，运用待定系数法分别将分别将A、B；B、C代入一次函数解析式，代入一次函数解析式，可分别求得两段函数。可分别求得两段函数。由于由于1
11、5人接水人接水30L，因此余水量为，因此余水量为66L，小于，小于80L，故应将，故应将66代代入入y=-4x+88，求得，求得x=5.5min.温馨提示：温馨提示：解决该问题的关键是能根据题意及图形准确的求出分段函数解析式，并能判断出要解决的问题应代入哪个解析式。3.某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示:(1)y是x的函数吗？若是请写出该函数解析式？(2)分别求当x=10,16,20时的函数值)18.(153)18(365.2122)1812(;65.2)12(5.2122)120(;2xxxxxxxxy答案：函数解析式为：解析：由图易得，生产服装总件数由图易得，生产服装总件数s
12、与生产时间与生产时间t之间的函数关系：之间的函数关系：显然，显然，1-3月每月生产月每月生产a件，件，4、5月份停产。月份停产。故选故选D)53()30(3ttaatsB教材课后练习1.一、分段函数一、分段函数 二、分段函数的表示方法二、分段函数的表示方法 注意注意：（1 1）分段函数是）分段函数是一个一个函数函数,不要把它误认为不要把它误认为 是是“几个函数几个函数”；（2 2）分段函数的自变量取值范围是各分段）分段函数的自变量取值范围是各分段 取值范围的取值范围的全体全体；（3 3）每段函数表达式自变量的取值范围之间）每段函数表达式自变量的取值范围之间没没 有公共点有公共点。第第5 5章章
13、 对函数的再探索对函数的再探索5.2 5.2 反比例函数反比例函数-反比例函数的概念想一想：想一想：把一张面值100元的人民币换成面值50元的人民币，可得几张？如果换成面值20元的人民币，可得几张？如果换成10元、5元的人民币呢？设所换成的面值为x元，相应的张数为y元:X（元）（元）502010521xy(元)100/x 你会用含x的代数式表示y吗？当换成的面值x变化时，相应的张数y会怎样变化？变量y是x的函数吗？为什么？xy100 2 5 10 20 50 1001.1.理解反比例函数的概念；理解反比例函数的概念；2.2.能依据已知条件确定反比例函数表能依据已知条件确定反比例函数表达式。达式
14、。一、反比例函数的概念一、反比例函数的概念 一般地，形如 的函数叫做反比例函数。注意：对于函数 变量与是成反比例的量。二、反比例函数的三种表达形式二、反比例函数的三种表达形式 )0(kkxky为常数，时，当0kxky）为常数，）（0kk(xky1）为常数，）（0kk(kxy2）为常数，）（0kk(kxy3-11.1.下列函数是反比例函数吗？若是，并指出K K的值.xyxyxyxy1)4(1)3(5)2(3)1(1(1)是，(2)是，-5(3)是，-1(4)不是31三、典型例题：点拨：只要两个变量的积是一个非零定值即为只要两个变量的积是一个非零定值即为反比例函数。反比例函数。2.写出下列各题中所
15、要求的两个相关量之间的函数关系式，并指出函数的类别(1)商场推出分期付款购电脑活动，每台电脑12000元，首付4000元，以后每月付y元，x个月全部付清，则y与x的关系式为_，是_函数(2)某种灯的使用寿命为1000小时，它的使用天数y与平均每天使用的小时数x之间的关系式为_，是_函数(3)设三角形的底边、对应高、面积分别为a、h、S 当S18时，a与h的关系式为_，是 函数(4)某工人承包运输粮食的总数是w吨，每天运x吨，共运了y天，则y与x的关系式为_，是_函数温馨提示：温馨提示：解决求函数表达式的基本方法是待定系数法。解：解：用待定系数法，首先设出反比例函数解析式用待定系数法，首先设出反
16、比例函数解析式y=k/x将将x=2，y=-3 代入即可求得代入即可求得y=-6/x.3.已知点A（2，4）在反比例函数 的图象上，则k的值.)0(kxkyx.123.y.321.x.123.y.1052.x.-3-2-1.y.236.表2表1表3解：解：由反比例函数表达式由反比例函数表达式 xy=k(k0)易知：易知：表表1中，中，1322，故不是反，故不是反比例函数。比例函数。表表2中，中，11032，故不是反，故不是反比例函数。比例函数。表表3中，中，k=xy=-6，故是反比例，故是反比例函数，表达式为：函数，表达式为：x6-y4.下列数表分别给出了变量y与变量x之间的对应关系，其中是反比
17、例函数关系的是()教材课后练习1、2题.知识小结：知识小结：1.1.反比例函数的概念反比例函数的概念2.2.反比例函数的三种表达式反比例函数的三种表达式方法小结：方法小结：1.1.求反比例函数解析式的方法求反比例函数解析式的方法-待定系数法待定系数法；2.2.确定是否为反比例函数的方法确定是否为反比例函数的方法-xy=kxy=k判定判定。-反比例函数的图象及性质 w你还记得一次函数的图象与性质吗你还记得一次函数的图象与性质吗?一次函数y=kx+b(k0)的图象是一条直线,称直线y=kx+b.y y随随x x的增大而增大的增大而增大;xyoxyo y y随随x x的增大而减小的增大而减小.b0b
18、=0b0b=0n当k0时,n当k00时时,两支曲线两支曲线各在哪个象限？每个象各在哪个象限？每个象限内，限内，y随随x的增大有什的增大有什么变化？么变化？当当k00时,图象的两个分支分别在第一、三象限内。y随x的增大而减小2.当k0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内。y随x的增大而增大y=x6xy0yxyx6y=0（1）如果反比例函数y=k/x的图象过点（3，-4），那么函数的图象应在（）A.第一、三象限 B.第一、第二象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限（2）当x0时,函数的图象的两个分支分别应在()A.第一、第三象限 B.第一、第二象限C.第二、四象限 D.第三、四象限（4）反比例
19、函数y=-4/x的图象大致是（）XYAXYBXYCXYD三、典型例题：xy3方法一方法一.特殊值法特殊值法不妨设：代入 得，3,1,1,34321xxxx1,3,3,14321yyyy2143yyyy方法二方法二.分析法分析法 因为k=-30,根据性质可知图象的两个分支分别在第二、四象限内,并且在每个象限内，y随x的增大而增大，在第二象限内的函数值为正的，第四象限的函数值为负的。2143yyyy方法三方法三.图像法图像法2143yyyy显然三、典型例题：解：显然将p1，p2分别代入各自双曲线得，k1=2b1，k2=2b2，因b1b2,所以k10 时，两支曲线分别位于第一、三象限，y随x的增大而
20、减小.(2)当 k0k01.1.理解反比例函数中理解反比例函数中k k的几何性质；的几何性质；2.2.能综合运用反比例函数的知识解决能综合运用反比例函数的知识解决相关问题相关问题.PQ想一想：想一想：S1、S2有什么关系？为什么？RS3xky PQxky S1S2S31.1.如图，点P是反比例函数图象上的一点，若矩形AOBP的面积是6.请写出这个反比例函数的解析式.（是常数，0）y=xkkkOPABOPB2.2.若BPOBPO的面积是5 5，那么函数解析式又是什么呢？3.3.如图,点P P是x x轴上的一个动点,过点P P作x x轴的垂线PQPQ交双曲线于点Q Q,连结OQOQ,当点P P沿x
21、 x轴正半方向运动时,RtRtQOP QOP 的面积().().A.A.逐渐增大 B.B.逐渐减小 C.C.保持不变 D.D.无法确定典型例题：解析：解析：（1）由反比例函数的几何性质可知：）由反比例函数的几何性质可知：15kSSOQPROACB矩形矩形(2)(2)以求得以求得P P（5,35,3）,故可知故可知 OA=3 OA=3，AD=PQ=3AD=PQ=3，所以：，所以：933OADRS矩形解：解：由点A可求得k=-2x3=-6；再由 3m=-6可求得m=-2；所以B(3，-2)；将点A，B代入到y=ax+b即可求得a，b的值。解：解：不能相交；假设相交于点不能相交；假设相交于点A(a，
22、b)，则应有则应有ab=k1=k2，这与，这与k1k2相矛盾。相矛盾。所以不能相交。所以不能相交。想一想：反比例函数 上那个点距离原点最近？xky 教材课后教材课后练习练习1 1、2 2题题.一、反比例函数中一、反比例函数中k的的几何性质几何性质二、反比例函数综合运基本思路二、反比例函数综合运基本思路 -反比例函数的应用 你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y y（m m）是面条的粗细（横截面积）S(mmS(mm2 2)的反比例函数，其图象如图所示,S(mm2)020406080100P(4,32)y(m)(1)(1)写出写出y y与与S
23、S的函数的函数 关系式关系式。(2)(2)当面条粗当面条粗1.6 mm1.6 mm2 2时，时，面条的总长度是多少米？面条的总长度是多少米？1.1.能根据实际问题中的条件确定反比能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式；例函数的解析式；2.2.能综合利用反比例函数的知识分析能综合利用反比例函数的知识分析和解决一些简单的实际问题。和解决一些简单的实际问题。三、典型例题：解：解：(1)原路返回，说明路程不变，则80805=4005=400千米，由vt=400vt=400，及限速条件可得：t=400/t=400/v(v(0v12008x8时设函数式为22(0)kykx函数图象经过点（8 8，6
24、6）把（8 8，6 6）代入得248k 48.yx（3 3）研究表明，当空气中每立方米的含药量）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于低于1.6 mg1.6 mg时学生方可进入教室，那么从消毒开始，至时学生方可进入教室，那么从消毒开始，至少经过多少少经过多少minmin后，学生才能回到教室；后，学生才能回到教室；34yx 48yx（0 x8）（x8）解：(3)当y=1.6时有答：至少经过30min后，学生才能回到教室。481.630 xx解解得得1.61.630303（4）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10 min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有
25、效？请说明理由。(4)把y=3代入两函数得3344xx解解得得48316xx解解得得416持续时间=16-4=12(min)10(min)答：此次消毒有效。第第1天天第第2天天第第3天天第第4天天第第5天天第第6天天第第7天天第第8天天售价售价x(元元/千克千克)400 250240200150125120销售量销售量y/千克千克304048 608096100教材课后练习1、2题.总结总结:实际问题 数学问题（反比例函数）1.1.本节课学习的数学知识：运用反比例函数的知识解决实际问题。2.2.本节课学习的数学方法：建模思想和函数的思想。转化解决反思反思:1.1.本节课你有什么收获？2.2.你
26、对自己今天的表现满意吗？第第5 5章章 对函数的再探索对函数的再探索5.3 5.3 二次函数二次函数1.了解二次函数的概念，知道二次函数的一般形式；2.会列简单的二次函数解析式.二次函数变量之间的关系函数一次函数反比例函数正比例函数y=kx(k 0)xky=kx+b(k 0)y=(k 0)问题1：正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为.y=6x2问题2：多边形的对角线数d与边数n有什么关系？n边形有个顶点，从一个顶点出发，连接任意不相 邻的各顶点，可作作条对角线.因此，n边形的对角 线总数为.n（n-3）此式表示了多边形的对角线总数d与边数
27、n之间的关系，对于n的每一个值,d都有一个对应值，即d是n的函数.1.5n-nn5.0d问题3:某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_件，再经过一年后的产量是_件，即两年后的产量为 .即：y=20 x2+40 x+20.y=20(1+x)220(1+x)20(1+x)(1+x)此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数.为什么a0呢?一般地，形如y=ax+b
28、x+c(a,b,c是常数，a0)的函数叫做二次函数，其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体的棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，写出菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系（2）由题意得 ，其中y是x的二次函数；（3）由题意得 ，其中S是x的二次函数.【解析】（1）由题意得 ，其中S是a的二次函数；)0(62aaS)260(1321)26(212xxx
29、xxS42x)0(xyp2.矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，其宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关系式【解】y=(4+x)(3+2x)=2x2+11x+121.二次函数y=-6x2+4x-2的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少？【解】二次项系数是-6，一次项系数是4，常数项是-2.3.3.若函数 为二次函数，求m m的值.解,得m=2或m=-1;解,得m1且m-1.所以 m=2.22210mmm【解】因为该函数为二次函数，则mm221)x(my 2.如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k的值一定是_.232kkx01.如果函数y=+kx+
30、1是二次函数,则k的值一定是_.232kkx0或3 3.下列函数，哪些是二次函数？(1)y=5x+1；(2)y=4x2-1；(3)y=-(x-1)2；(4)y=(x+2)2-x2.【解析】根据次数的要求可以排除哪些函数不是二次函数？答：(1)，(4).哪些是二次函数?答：(2)，(3).4.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽相等,高比长多0.5 m.(1)长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积S(m2)如何表示?(2)如果涂漆每平米所需要的费用是5元,涂漆每个长方体所需要的费用用y(元)表示,那么y的表达式是什么?解：（1）S=2x2+x(x+0.5)4=6
31、x2+2x；（2）y=5S=5(6x2+2x)y=30 x2+10 x.5.体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）.（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且ABAD，请求出此时AB的长.解：（1）S=x(15-x)=-x2+15x；（2）由题意：-x2+15x50，解得x15，x2=10.ABAD，AB5米.1.定义：一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做二次函数.y=ax+bx+c(a
32、,b,c是常数,a0)的几种不同表示形式:(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).2.定义的实质是：ax+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.第第5 5章章 对函数的再探索对函数的再探索5.4 5.4 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质5.4 二次函数的图象和性质第1课时1.知道二次函数的图象是抛物线；2.会画y=ax2的图象，并能结合图象理解y=ax2的性质.一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？
33、思考用描点法画二次函数y=x2的图象x x-3-3-2-2-1-10 01 12 2 3 3y y=x x29411049 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值，完成下表：xyO-4-3-2-11234108642-2描点连线y=x2二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.2xy 这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛线的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.y0 x.0-4-3-2-12314221xy 00.524.58 0.524.58在同一直角坐标系中，画出y=的图象.y221xy o221xy 再画函数 y
34、=2x2 的图象与y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？y=2x2y=x2(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?xo图象是轴对称图形，对称轴都是y轴.图象开口向上，a越大开口越小.图象的顶点都是原点，为抛物线的最低点.(2)图象的开口方向是向上还是向下？图象的开口 大小有什么规律？(3)图象的顶点是什么？顶点是抛物线的最高点还 是最低点？-3 -2 -1 1 2 30.5x2y当a0时，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.(1)二次函数 y=-x2 的图象是什么形状？你能根据表格中的数据作出猜想吗？(2)先想一
35、想，然后作出它的图象(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？x x-3-3-2-2-1-10 01 12 23 3y y=-=-x x2 2-9-4-1 0-1-4-9 在“做”中“学”xyO-4-3-21234-4-2-1y=-x2-1-31描点,连线 二次函数y=-x2 的图象是抛物线.二次函数y=-x2 的图象与y=x2 的图象关于x轴对称，顶点都为原点，但原点是二次函数y=-x2的最高点，却是 y=x2 的最低点.请同学们在同一坐标系内画出y=-0.5x2,y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.主要从以下几个方面考虑：1.开口方向2.开口大小3.对称轴4.顶点坐
36、标5.有最高点还是有最低点(1)抛物线y=ax2与y=-ax2(a0)关于_轴对称；(2)当a0时，开口_，顶点是抛物线的最_点；当a0时，开口_，顶点是抛物线的最_点；(3)a越大，抛物线的开口_.【点拨】a决定了抛物线y=ax2的开口大小和方向.x向上低向下高越小 【规律总结】二次函数y=ax2的“两关系四对等”1.a0开口向上有最小值 2.a0开口向下有最大值x0yxx0yx.时，随 的增大而增大，时，随 的增大而减小x0yxx0yx.时，随 的增大而减小，时，随 的增大而增大1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系式是:h=4.9t2，h是t的 函数，它
37、的图象是 抛物线 顶点坐标是 .2.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式.（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.（0，0）二次y=-2x2不在抛物线上6,3 6,3 3.如图，在四边形ABCD中，BAD=ACB=90，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）2252A.xy 2254B.xy 252C.xy 254D.xy 解析：选C.如图，作CAE=90，作DEAE于E，作DFAC于F.可证得ABC ADE.四边形AEDF为矩形，设BC为m，则DE
38、=AF=m，DF=AE=AC=4m，CF=3m，1mx5，FE4已知a0，b0，一次函数是yaxb，二次函数是yax2，则下面图中，可以成立的是()C5填空：已知二次函数(1)其中开口向上的有_(填题号)；(2)其中开口向下且开口最大的是_(填题号)；(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后 逐渐变小的有_(填题号)1.二次函数y=ax2的图象是什么？2.二次函数y=ax2的图象有什么性质？3.抛物线y=ax2 与y=-ax2有怎样的关系？通过本课时的学习，需要我们掌握：5.4 二次函数的图象和性质第2课时1会画二次函数 与 的图象；2.知道二次函数 及 与 的联系；3.掌握二次函
39、数 及 的性质，并会应用.caxy+22)(hxaycaxy22)(hxay2axy caxy=22)(hxay用描点法画出y=-2x2的图象，并指出它的开口方向、对称轴以及顶点坐标.参照下表画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象.xy=x2+1y=x2-1.0 2-12 3 1.-3.10 5 2 1 2 5 810 3 03 8-1 0y=x2-1y=x2+1 结论上下平移，上加下减想一想：三条抛物线有什么关系？答：形状相同，位置不同。三个图象之间通过沿y轴平移可重合。1.二次函数y=x2+c的图象是什么？答：是抛物线2.二次函数的性质有哪些？请填写下表：增减性y的最值a0a0y=ax2
40、+ca0a0y=ax2在对称轴右侧在对称轴左侧顶 点坐 标对称轴开口方向函数向上y轴（0,0）最小值是0y随x的增大而减小y随x的增大而增大向下y轴（0,0）最大值是0y随x的增大而增大y随x的增大而减小向上y轴（0,c）最小值是cy随x的增大而减小y随x的增大而增大向下y轴（0,c）最大值是cy随x的增大而增大y随x的增大而减小画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点x x321012322111,122yxyx 2121xy2121xy284.5200284.52121212122224644212yx 2112yx 2112yx 可以看出，抛物线 的开口向下，对称轴是经过
41、点（1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记作x=1，顶点是（1，0）；抛物线 的开口向_，对称轴是_，顶点是_2112yx 2112yx 下x=1(1,0)22246442112yx 2112yx 抛物线，与抛物线 有什么关系？可以发现，把抛物线 向左平移1个单位，就得到抛物线 ；把抛物线 向右平移1个单位，就得到抛物线 2112yx 2112yx 212yx 212yx 2112yx 212yx 2112yx 22246442121xy2121xy221xya0时，开口_,最 _ 点是顶点;a0时，开口_,最 _ 点是顶点;对称轴是 ，顶点坐标是 在对称轴左侧（x-h)y随x的增大而.y=a
42、x2y=a(x+h)2的图象y=a(x-h)2当向左平移h时向下向上高直线x=-h(-h，0)低y=a(x+h)2当向右平移h时a0时，开口_,最 _ 点是顶点;a0时，开口_,最 _ 点是顶点;对称轴是 ，顶点坐标是 。在对称轴左侧（xh)y随x的.y=a(x-h)的图象向下向上高直线x=h(h，0)低22246442112yx 212yx 2112yx 4.函数y=2x2的图象是_线，开口向_,对称轴是_，顶点坐标是_，当x=_时，函数有最 _值为_；在对称轴左侧，y随x的增大而_，在对称轴右侧，y随x的增大而_.1.抛物线y=0.5(x+2)2可以由抛物线 先向 移2个单位得到.2.已知
43、s=(x+1)2，当x为 时，s取最 值 为 .3.顶点坐标为(1,0)，且经过(0,-1)的抛物线的函数解析式是().A.y=(x+1)2 B.y=(x+1)2C.y=(x1)2 D.y=(x1)2y=0.5x2左 1 大0 D上y轴(0,0)抛物0小增大0减小5.函数y=-2x2+4的图象开口向_，对称轴是_，顶点坐标是_，当x=_时，函数有最_值为_；当x0时，y随x的增大_。下y轴(0,4)减小增大04大6.函数y=-2(x+1)2的图象开口向_，对称轴是_，顶点坐标是_，当x=_时，函数有最_值为_；当x_时，y随x的增大而增大，当x_时，y随x的增大而减小.下直线x=-1(-1,0
44、)-1大0-17.抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2的_相同，_不同。抛物线y=3x2-4是由抛物线y=3x2向_平移_单位而得到；抛物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向_平移_单位而得到.形状位置下4右1抛物线抛物线 开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y y=axax2 2(aa0)0)y y=axax2 2+k k(aa0)0)y y=axax2 2(aa0)0)y y=axax2 2+k k(aa0)y=a(x-h)2(a0)y=ax2(a0)y=a(x+h)2(a00时,向右平移;当h h000时向上平移；当kk0a0向上向上x=hx=h（h
45、h，k k）a0a0,开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).再根据顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标.2132）（xyx=1 (1，2)5632xxy通过图象你能看出当x取何值时y随x的增大而减小，当x取何值时，y随x的增大而增大吗？当x1时，y随x的增大而增大.在对称轴的左边图象从左到右斜向下，在对称轴的右边图象从左到右斜向上.同学们，你想到了什么？画出y x26x21的图象.21配方得：y=x26x2121=(x6)23.由此可知，抛物线 的顶点是（6，3），对称轴是直线x6.y x26x21 2121抛物线的顶点式.2:abx它的对称轴是直线二次函数y=ax+bx+c的图
46、象是一条抛物线.y=a(x+)2+.2ab4a4ac-b2它的顶点是（-，）.2ab4a4ac-b2对称轴是x=3，顶点坐标是（3，-5）对称轴是x=8，顶点坐标是（8,1）对称轴是x=0，顶点坐标是（0，12）利用公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：；）（1312212xxy；）（31980522xxyxxy2233）（请你总结函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质.想一想，函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0时，开
47、口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小.在对称轴右侧，y都随 x的增大而增大.a0时,向右平移;当_ 0时向上平移;当_0时,向下平移)得到的.abx2直线ab2ab2ab2abac442abac442abac442abac442abac，ab44221.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）Aac0 Cb=-4a D关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=5-1yx5x=22OB2二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）Aa0，b0，b24ac0 Ba0，b0，b24ac0 Ca0，c0 Da0，c0，b24a
48、c0y xOD3如图，二次函数yax2bx的大致图象如图所示，则函数yax+b的图象不经过（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2OxyA4.已知函数y=(x-a)(x-b)(其中ab)的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是（）yx11O（A）yx1-1O（B）y-1-1O（C）1-1yO（D）【解析】选D.由二次函数的图象可知一元二次方程（x-a)(x-b）=0的解为x1=a，x2=b，则a=1，b-1.所以可以得到函数的图象与y轴的交点在点（0，-1）的下方，与x轴的交点在点（1,0）的右边，故选D.xx5.已知抛物线y=ax2+bx+c.在平面直角坐标系中的位
49、置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A B C D 0a0b0c0cba【解析】选D.抛物线开口向下a0，对称轴在y轴的右边，b0，抛物线与y轴交与正半轴，c0，当x=1时，y0，即a+b+c0.6已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）.求出b,c的值，并写出此时二次函数的解析式；根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围.xy31O解析：根据题意 得,解得所以抛物线的解析式为令解得根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是.31x301ccb32cb，322xxy0322xxy.3121xx，1.根
50、据抛物线的开口方向判断a的符号.答：抛物线开口向上，所以a0.2.图中顶点横坐标 符号怎样？再结合a的符号判断b的符号.答：0，其中a0，b0.3.顶点横坐标 0时，b与a的符号有何关系?0时，b与a的符号有何关系？答：0时，b的符号与a的符号相异；0时，b的符号与a的符号相同.b2ab2ab2ab2ab2ab2a4.抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是多少?结合此坐标在y轴的位置判断c的符号.答:抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是(0,c),该点在y轴的负半轴上，c0.5.a+b+c是x为何值时y=ax2+bx+c的值？据此判断本题中a+b+c的符号？答：a+b+c是x=1
