1、最短路径问题最短路径问题 数数 学学 专专 题题 求最短路径问题是历年数学中考的常见题型求最短路径问题是历年数学中考的常见题型,在选择、填空和在选择、填空和解答题中均有体现解答题中均有体现,其考查形式灵活多变其考查形式灵活多变,且较易与其他知识融合且较易与其他知识融合.通常以求几条线段之和最小值的形式出现通常以求几条线段之和最小值的形式出现,并以特殊三角形、特殊并以特殊三角形、特殊四边形和函数图象等初中数学中的核心知识为载体四边形和函数图象等初中数学中的核心知识为载体,以考查学生灵以考查学生灵活运用转化、化归等数学思想方法为目的活运用转化、化归等数学思想方法为目的,通过操作探究、推理论通过操作
2、探究、推理论证、灵活求解的方式来解决问题证、灵活求解的方式来解决问题.此类问题的解决是以基本事实此类问题的解决是以基本事实“两点之间线段最短两点之间线段最短”、“垂线段最短垂线段最短”为依据为依据,以探寻转化方法以探寻转化方法为核心为核心,实现对学生综合运用数学知识解决问题能力的全面考查。实现对学生综合运用数学知识解决问题能力的全面考查。此类题目充满了探究性和思辨性此类题目充满了探究性和思辨性,常常在中档题和压轴题中出现。常常在中档题和压轴题中出现。两点一线两点一线两线一点两线一点两点两线两点两线三线一点三线一点 类型类型1 1 类型类型2 2 类型类型3 3 类型类型4 4 问题一位将军从图
3、中的问题一位将军从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，饮马，然后到然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？类型类型1 两点一线两点一线将军饮马问题将军饮马问题 如图所示，点如图所示，点A、点、点B在直线在直线l同侧，在直线上找一点同侧，在直线上找一点P，使，使PA+PB值最小值最小.lABl点点A、点、点B在直线在直线l同侧，在直线上找一点同侧，在直线上找一点P，使，使PA+PB值最小值最小.B作法总结作法总结1.过点过点A或点或点B（定点定点）作对称点）作对称点2.动点所在直线一般就是对称轴动点所在
4、直线一般就是对称轴3.对称点与另一定点连接对称点与另一定点连接4.交点就是所求点交点就是所求点PP关键是要利用轴对称性质实现定点的转化关键是要利用轴对称性质实现定点的转化基本作法：基本作法：利用利用轴对称性质轴对称性质作出定点的作出定点的对称点，实现点的转化对称点，实现点的转化解题依据：解题依据：两点之间，线段最短两点之间，线段最短 某班举行晚会，桌子摆成两直条（如图某班举行晚会，桌子摆成两直条（如图AO、BO）,AO桌桌面上摆满了桔子，面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在桌面上摆满了糖果，坐在C处的小明先处的小明先拿桔子，再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行拿桔子，再拿糖果，然
5、后回到座位，请你帮助他设计一条行走的路线，使其所走的路程最短？走的路线，使其所走的路程最短？类型类型2 两线一点两线一点CCMNOA坐在坐在C处的小明先到处的小明先到OA，再到，再到OB，然后，然后回到点回到点D，小明怎样走路线最短？，小明怎样走路线最短？CDMN已知：如图已知：如图C是是AOB内部任意一点，内部任意一点，在在AOB的两边的两边OA,OB上各找出一点上各找出一点M,N，组成组成CMN，使，使CMN周长最小周长最小.找定点、找定点、作对称、作对称、连对称点连对称点 如图，如图，A,B两地在两地在一条河的两岸，现一条河的两岸，现要在河上建一座桥要在河上建一座桥MN，桥造在何处才，桥
6、造在何处才能使从能使从A到到B的路径的路径AMNB最短？最短？（假设河的两岸是（假设河的两岸是平行的直线，桥要平行的直线，桥要与河垂直）与河垂直）类型类型3 两点两线两点两线造桥选址问题造桥选址问题基本作法：基本作法：类型类型3 两点两线两点两线造桥选址问题造桥选址问题2.连接平移后的点与连接平移后的点与另一定点；另一定点；3.与河边的交点就是与河边的交点就是桥的一端桥的一端.1.将其中一定点沿垂将其中一定点沿垂直河的方向平移桥长直河的方向平移桥长的距离；的距离；24.24.（本题满分（本题满分1212分）分）（20182018鄂尔多斯）鄂尔多斯）（1 1）【操作发现】如图，将）【操作发现】如
7、图，将ABCABC绕点绕点A A顺时针旋转顺时针旋转6060得到得到ADEADE，连接，连接BDBD，则，则ABD=ABD=度度.（2 2）【类比探究】如图，在等边三角形）【类比探究】如图，在等边三角形ABCABC内任取一点内任取一点P P，连接，连接PA,PB,PC.PA,PB,PC.求证：以求证：以PA,PB,PCPA,PB,PC的长为三边必能组成三角形的长为三边必能组成三角形.（3 3）【解决问题】如图，在边长为）【解决问题】如图，在边长为 的等边三角形的等边三角形ABCABC内有一点内有一点P P，APC=90APC=90,BPC=120,BPC=120.求求APCAPC的面积的面积.
8、（4 4）【拓展应用】如图是）【拓展应用】如图是A,B,CA,B,C三个村子位置的平面图，经测量三个村子位置的平面图，经测量AC=4,BC=5,ACB=30AC=4,BC=5,ACB=30,P,P为为ABCABC内的一个动点，连接内的一个动点，连接PA,PB,PC.PA,PB,PC.求求PA+PB+PCPA+PB+PC的最小值的最小值.7一一.为什么要研究费马点？为什么要研究费马点？费马问题费马问题结论结论1 1 对于一个各角都对于一个各角都不超过不超过120120的三角形，的三角形，费马点就是到三角形各费马点就是到三角形各边的张角都是边的张角都是120120的点；的点；费马点是到三角形的三个
9、顶点的距离之和最小的点费马点是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.二二.什么是费马点什么是费马点?费马点是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点费马点是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.二二.什么是费马点什么是费马点?结论结论2 2 对于有一个角超过对于有一个角超过120120的三角形，费马点的三角形，费马点就是这个内角的顶点就是这个内角的顶点三三.费马问题费马问题 如何找到点如何找到点P P使它到使它到ABCABC三个顶点的距离之和三个顶点的距离之和PA+PB+PCPA+PB+PC最小，这就是费马问题最小，这就是费马问题.让学生让学生在在探索探索找点找点P P的过程中体会的过程中体会转换
10、思想，建模思想，转换思想，建模思想，将所探究的结论进行运用、拓展将所探究的结论进行运用、拓展.（4 4）【拓展应用】如图是）【拓展应用】如图是A,B,CA,B,C三个村子三个村子位置的平面图，经测量位置的平面图，经测量AC=4,BC=5,ACB=30AC=4,BC=5,ACB=30P P为为ABCABC内的一个动点，连接内的一个动点，连接PA,PB,PC.PA,PB,PC.求求PA+PB+PCPA+PB+PC的最小值的最小值.线段和线段和最小值最小值对称变换对称变换平移变换平移变换旋转变换旋转变换1.1.求最短路径经常会利用求最短路径经常会利用转化思想、构造思想、转化思想、构造思想、数形数形 结合的思结合的思想，进而构造出想，进而构造出“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”模型，让学生体会学模型，让学生体会学习数学新知的一般过程：认知习数学新知的一般过程：认知论证论证应用应用.2.2.我市自我市自20172017年年 起，中考最后一道题就是类比探究题，通常是起，中考最后一道题就是类比探究题，通常是在前一、两问给出解题基本思路方法，在后面的问题中类比前在前一、两问给出解题基本思路方法，在后面的问题中类比前面的方法再进一步探究，所以，这种考查方式我们不能忽略，面的方法再进一步探究，所以，这种考查方式我们不能忽略，反而应该重视反而应该重视.总结总结THANK YOUTHANK YOU
