1、xxxsinlim0极限xxx)11(lim极限v预备知识预备知识1.有关三角函数的知识有关三角函数的知识00 sin sintancosxxx 2.有关对数函数的知识有关对数函数的知识lnlogexx 以以e为底的指数函数为底的指数函数y=ex的反函数的反函数 y=logex，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为记为 y=ln x.数数 e 是一个无理数，它的前八位数是：是一个无理数，它的前八位数是：e=2.718 281 8 cos0=1|sin|1 x|cos|1 x 3.有关指数运算的知识有关指数运算的知识()nnnaba b n m
2、nmaa a mnmnaa 4.无穷小量无穷小量定义定义 在某个变化过程中，以在某个变化过程中，以0 0为极限的变量为极限的变量称为在这个变化过程中的称为在这个变化过程中的无穷小量无穷小量，常用字母，常用字母性质性质 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.,a b ga b g等等表表示示。5.极限的运算法则极限的运算法则 limlimlim(1)()()()()fxg xfxg x2)lim()()lim()lim()(f xg xf xg x ()lim()lim()lim().f xf xg xg x lim()(3)0g x 若若，(4)lim()l
3、im()cf xcf x (5)lim()lim()kkf xf x 定理定理 如果数列nnyx,及及 nz满足下列条件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn 那末数列nx的极限存在,且axnn lim.极限存在准则极限存在准则1.1.夹逼准则夹逼准则(两边夹定理）两边夹定理）.,的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy注意注意).12111(lim222nnnnn例：求,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又,1 22111lim1limn
4、nnnn ,1.1)12111(lim222 nnnnn由夹逼准则得由夹逼准则得2.2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx,121 nnxxxx单调增加单调增加单调减少单调减少单单调调数数列列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 .0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.99999981sinlim0 xxxxxsin0sinlim?xxxX 1 0.5 0.1 0.01 0.001 .0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.999
5、9998xxsinv第一个重要极限第一个重要极限OxBACD0sinlim1.xxx证明证证 sintanxxx即sin (sin0),xx 各式同除以因为得,cos1sin1xxx .1sincos xxx即即0sinlim1.xxx00tansin1limlim()cosxxxxxxx00sin1limlimcosxxxxx解解1 11 0sin1lim()cosxxxx这个结果可以作为公式使用这个结果可以作为公式使用1tanlim0 xxx0tanlimxxx例例 1求求例例 2 5,0,0 xtxt令当时 有0sin,5limttt所以 原式注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：注：在
6、运算熟练后可不必代换，直接计算：0sin5 limxxx求,推广：设为某过程中的无穷小量sinlim1某过程0sin5 limxxx解：05sin5lim5xxx0sin55lim5xxx0sin55lim5 155xxx 0sin5limxxx5 15 练习练习1.求下列极限求下列极限:00sin3 1 limsin52 lim3xxxxxx（）（）00sin33sin3 limlim3xxxxxx解：0sin33lim3xxx3 13 00sin5sin55 limlim()()353xxxxxx解：55133 0sin lim1 :xxx使用时须注意(1)类型：(2)推广形式:sinli
7、m1某过程 lim0 某过程（）0 lim1si(3)nxxx等价形式：00型21sin(1)lim1xxx求211sin(1)sin(1)limlim1(1)(1)xxxxxxx11lim1)1sin(lim11xxxxx211111 例例 3解解1 lim sinxxx求例例 41lim sinxxxxxx11sinlim1解解1sin(1)1lim11xxxxxxxsinlim1sinlim0 xxx1limsinxxx10|sin|1 xxx 当 时且sin lim0 xxx故练习练习3 3：下列等式正确的是（：下列等式正确的是（）sin.lim1;xxAx1.lim sin1;xBx
8、x 01.lim sin1;xCxx1sin.lim1xxDx B练习练习4 4：下列等式：下列等式不不正确的是正确的是（）A;1sinlim0 xxx B;1sinlim0 xxx C;11sinlimxxx D11sinlim0 xxxD0.lim1xxAx0.lim1xxBx01.lim sin1xCxxsin.lim1xxDx练习练习5.下列极限计算正确的是（下列极限计算正确的是（）B练习练习6.已知已知1tan)(xxxf当（当（）时，）时，)(xf为无穷小量为无穷小量.0Ax.1Bx.Cx.Dx Axxxfsin1)()(xf，当，当 时，时，为无穷小量为无穷小量 sinlim_x
9、xxx0sinlim_xxxx练习练习7.已知已知练习练习8.练习练习9.0 x 10 X -10 -100 -1000 -10000 -100000 2.868 2.732 2.720 2.7183 2.71828)11(xx X 10 100 1000 10000 100000 2.594 2.705 2.717 2.718 2.71827)11(xxexxx )11(lim?)11(limxxxv第二个重要极限第二个重要极限exxx )11(lim,1xt 令令1lim(1)xxx 10lim(1)ttte )1()1(10lim(1)ttte ,为某过程推中的无穷小量广1lim(1)e
10、某过程1 lim(1):xxex使用须注意1型(2)推广形式:1lim(1)e 某某过过程程10 lim(3)(1)ttte等价形式：(1)类型:lim0 某某过过程程（）.11lim2xxx 计计算算解解因为因为，1111212 xxxx，且e11limxxx所以，有所以，有21211lim11limxxxxxx.e11lim2121 xxx例例 1 .1lim20 xxx 计计算算例例 2 解解方法一方法一令令 u=-x，因为因为 x 0 时时 u 0，uuxxux2020)1(lim1lim 120lim(1)uuu 2e 所以所以120lim(1)uuu 方法二方法二掌握熟练后可不设新
11、变量掌握熟练后可不设新变量 12200lim 1lim(1)xxxxxx 120lim(1)xxx 2e 3311lim()lim(1)xxxxxxx 31lim()xxxx 例例331lim1)xxx（3e解解.)21(lim10 xxx 计计算算练习练习1.1.解解221010)21(lim)21(lim xxxxxx.e2.)1(limxxxx求.e1)11(lim1xxx练习练习2.xxxxxxx)11(1lim)1(lim解解两个重要极限两个重要极限:;1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,设为某过程中的无穷小量v小结小结xxx3cotlim30、xx
12、xsinlim10、xxx3sin2sinlim20、练练 习习 题题xxxsinlim0323sin322sinlim3sin2sinlim00 xxxxxxxx31313cos3sin3lim0 xxxx_)1(lim62xxxx、._)11(lim7xxx、2211limexxxe1._2sinlim4xxx、._)1(lim510 xxx、0eP42 2157)1(lim1233xxxx求极限例分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以分母的极限均存在且分式函数
13、中分母的极限不等于零，因此可以直接利用极限的运算法则求解。直接利用极限的运算法则求解。62485373)13(57lim)1(lim57)1(lim232333233解：xxxxxxxxx极限综合练习题极限综合练习题(一一).01coslim1cos1cos1|1cos|00lim00 xxxxxxxxxxx是无穷小量，于是有知，是有界变量，由性质可，即又时的无穷小量。是，即解：因为01 lim cosxxx例2.例例3 求下列极限：求下列极限：52312lim)2(3213lim)1(22232xxxxxxxxx32523112lim52312lim)2(01032113lim3213lim
14、)1(222233232xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：)(lim0011)(40 xfxxxxfx，求设例解：解：当当x从从0的左侧趋于的左侧趋于0时，时，1)1(lim)(lim00 xxfxx 当当x从从0的右侧趋于的右侧趋于0时时,11lim)(lim00 xxxf不存在。，所以因为)(0lim)(0lim)(0limxfxxfxxfx例例5 求下列极限求下列极限11lim)2(965lim)1(220223xxxxxxx寻找致零因式常用的方法为：寻找致零因式常用的方法为：若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式（一般采
15、用：（一般采用：“十字相乘法十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）；、公式法、或提取公因式法）；若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。解：（解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。61332332lim)3)(3()3)(2(lim965lim33223xxxxxxxxxxxx再求极限。去致零因式，把分母有理化后，消分子、分母同乘以)112()2(x2)11(lim11)11(lim11lim202220220 xxxxxxxxx)(sinsinlim60均为常数，求极限例babx
16、axx两个函数乘积的极限，于是可把上极限化为解：因bxxxaxbxaxsinsinsinsin求解。又当x0时，ax0，bx0，于是有bababxbxbaxaxabxxxaxbxaxxxxxx1111sin1lim1sinlimsinlimsinlimsinsinlim00000txttsinlim7求极限例xxxtxtxtxttttxtxtt1)sin(limsinlim0是无穷小量，于是有，即时，是变量，当解：在极限过程中，220sin11lim8xxx求极限例分析：分析：当当x0时，分子，分母的极限均为时，分子，分母的极限均为0，且分子是一个无理函，且分子是一个无理函数，分母是正弦函数，
17、于是可先把分子有理化（分子，分母同乘数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以以 ，然后看是否可利用第，然后看是否可利用第1个重要极限。个重要极限。)11(2 x21211111limsinlim)11(sin11limsin11lim202202220220解：xxxxxxxxxxxx)()1(lim9为常数求极限例knknn个重要极限求解。，即可利用第量配成互为倒数的形式再把无穷小量与无穷大型，无穷小是无穷小量，符合“，即时，分析：当”）无穷大21(0nknknkkknnnnenknk)1(lim)1(lim解：)4421(lim22xxx2224lim()(2)(2)4x
18、xxxx22lim(2)(2)xxxx211lim(2)4xx解1.求极限求极限:)4421(lim22xxx极限综合练习题极限综合练习题(二二)1)1sin(lim21xxx 解:利用第一重要极限和函数的连续性计算，即)1)(1()1sin(lim1)1sin(lim121xxxxxxx11lim1)1sin(lim11xxxxx2111112.求下列极限：求下列极限：解:对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即xxx33sin9lim0 xxx33sin9lim0)33sin9()33sin9)(33sin9(lim0 xxxxx003sin31limli
19、m39sin33xxxxx216133.求下列极限：求下列极限：15510)13()23()12(lim4xxxx求极限例分析分析：此极限属于时有理分式的极限问题，且此极限属于时有理分式的极限问题，且m=n，可直接利用，可直接利用上述结论得出结果，也可用分子、分母同除以上述结论得出结果，也可用分子、分母同除以x15来计算。来计算。解：分子分母同除以解：分子分母同除以x15，有，有 101551015510151555101015510)32(332)13()23()12(lim)13()23()12(lim)13()23()12(limxxxxxxxxxxxxxxx)cos112sin(lim
20、0 xxxx0(1 1)sin2limcos0(1 1)(1 1)xxxxx 002sin2lim(1 1)lim12xxxxx=2 2+1=5 解)cos112sin(lim0 xxxx5.求)1sin1(2)1sin1)(1sin1(lim21sin1lim00 xxxxxxxx解000sinlim2(1 sin1)sin1limlim2(1 sin1)xxxxxxxxx416.求极限xxx21sin1lim0 解：容易算出分式分子的最高次项是 ，分式分母的最高次项是 ，所以2532x25x32132)3()1()21(lim25205xxxx7.求极限25205)3()1()21(limxxxxxxx10)21(lim解:利用第二重要极限计算，即 xxx10)21(lim12220(1 2)xxxelim10.求下列极限求下列极限
