1、一、选择题1中国是发现研究和运用勾股定理最古老的国家之一，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，已知四个直角三角形的两条直角边的长度之比为，若向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为（ ）ABCD2盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ）ABCD3从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后
2、再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为ABCD4下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形此图由两个圆构成，O为大圆圆心，线段AB为小圆直径AOB的三边所围成的区域记为I，黑色月牙部分记为，两小月牙之和（斜线部分）部分记为在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则（）ABCD5给出一个算法的程序框图如图所示，该程序框图的功能是（ ）A求出三数中的最小数B求出三数中的最大数C将 从小到大排列D将从大到小排列6运行如图所示的程序框图，若输出的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）ABCD7某程序框图如图所示，其中，若输出的，则判
3、断框内可以填入的条件为（ ）ABCD8定义语句“”表示把正整数除以所得的余数赋值给，如表示7除以3的余数为1，若输入，则执行框图后输出的结果为（ ）A6B4C2D19为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入万8.38.69.911.112.1支出万5.97.88.18.49.8根据上表可得回归直线方程，其中，元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ）A12.68万元B13.88万元C12.78万元D14.28万元102015年年岁史诗大剧芈月传风靡大江南北，影响力不亚于以前的甄嬛传某记者调查了大量芈月传的观众，发现年龄段与爱看
4、的比例存在较好的线性相关关系，年龄在，的爱看比例分别为，现用这5个年龄段的中间值代表年龄段，如12代表，代表，根据前四个数据求得关于爱看比例的线性回归方程为，由此可推测的值为（ ）ABCD11有一个容量为200的样本，样本数据分组为，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间内的频数为（ ）A48B60C64D7212为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入（万元）8.28.610.011.311.9支出（万元）6.27.58.08.59.8 根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭
5、年支出为（ ）A11.4万元B11.8万元C12.0万元D12.2万元二、填空题13从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_.14从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为_15某公司的班车在8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是_16执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为_17已知流程图如图，则输出的i_18已知下列程序INPUTtIFt3THENC=0.2ELSEC=0.2+0.
6、1*(t-3)ENDIFPRINTCEND当输入t=5时，输出结果是_.19已知由样本数据集合，求得的回归直线方程为，且，若去掉两个数据点 (4.1，5.7）和(3.9，4.3）后重新求得的回归直线方程的斜率估计值为1.2，则此回归直线的方程为_.20某校高一年级10个班级参加国庆歌咏比赛的得分（单位：分）如茎叶图所示，若这10个班级的得分的平均数是90，则的最小值为_三、解答题21追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（）的检测数据，结果统计如下：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数6
7、1418272510（1）从空气质量指数属于，的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率.（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为，,9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为元，求的分布列；（ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.22一个盒子里装有个均匀的红球和个均匀的白球，每个球被取到的概率相等
8、，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为，从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为.（1）求，的值；（2）若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率.23某函数的解析式由如图所示的程序框图给出.（1）写出该函数的解析式；（2）执行该程序框图，若输出的结果为，求输入的实数的值.24古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有这样一首诗:这是一座古墓,里面安葬着丢番图.请你告诉我,丢番图的寿数几何?他的童年占去了一生的六分之一,接着十二分之一是少年时期,又过了七分之一的时光,他找到了自己的终身伴侣.五年之后,婚姻之神赐给他一个儿子,可是儿子不济,只
9、活到父亲寿数的一半,就匆匆离去.这对父亲是一个沉重的打击,整整四年,为失去爱子而悲伤,终于告别了数学,离开了人世.试用循环结构,写出算法分析和算法程序.25某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号1234567人均纯收入2.93.33.64.44.85.25.9（1）求y关于的线性回归方程；（2）预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：.回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，26学生甲在一次试验中用显微镜观察某种环境下细菌的个数，发现时间x（分钟）时刻的细菌个数为y个，统计
10、结果如下：x12345y23445（）在给出的坐标系中画出x，y的散点图，说明细菌个数和时间是正相关还是负相关.（）根据表格中的5组数据，求y关于x的回归直线方程，并根据回归直线方程估计从实验开始，什么时刻细菌个数为12.参考公式：（）【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1C解析：C【分析】由已知的线段的长度比，得出两正方形的面积，运用概率公式可得选项.【详解】设直角三角形的两直角边分别为和，则斜边为，即大正方形边长为，所以小正方形的边长为，面积为，大正方形的面积为.所以飞镖落在小正方形内的概率为.故选：C.【点睛】本题考查几何概型，关键在于由长度的关系得出大正方形和小正方形的面积
11、，属于中档题.2A解析：A【分析】若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率.【详解】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：，故选：A.【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等
12、基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.3D解析：D【分析】直接列举出所有的抽取情况，再列举出符合题意的事件数，即可计算出概率。【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数为，即，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的基本事件数为，即，故所求概率，故选D。【点睛】本题主要考查古典概型概率的求法。4D解析：D【解析】【分析】设OA2，则AB，分别求出三个区域的面积，由测度比是面积比得答案【详解】设OA2，则AB，以AB中点为圆心的半圆的面积为，以O为圆心的大圆面积的四分之一为，以AB为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为2，黑色月牙部分的面积为（
13、2）2，图部分的面积为2设整个图形的面积为S，则p1，p2，p3p1p2p3，故选D【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，正确求出各部分面积是关键，是中档题5A解析：A【分析】对、赋三个不等的值，并根据程序框图写出输出的结果，可得知该程序的功能【详解】令，则不成立，成立，则，输出的的值为，因此，该程序的功能是求出、三数中的最小数，故选A【点睛】本题考查程序框图的功能，解题的关键就是根据题意将每个步骤表示出来，考查分析问题的能力，属于中等题6C解析：C【分析】最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体时要明确循环终止的条件是什么，什么
14、时候要终止执行循环体【详解】，；，；，；，；，；，此时输出，即判断框内可填入的条件是“”.故选：C【点睛】本题考查循环结构程序框图.解决程序框图填充问题的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、执行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证7A解析：A【分析】因为，此程序框图是对函数求和，利用裂项相消法求和，可知，可知2019满足条件进入循环，2020不满足条件没有进入循环，根据选项得到正确结果.【详解】由，解得，可得n的值为2019时.满足判断框内的条件，当n的值为2020时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，故判断框内可以填人
15、的条件为“？”.故选A.【点睛】本题考查根据循环框图的输出结果填写判断框的内容，关键是分析出满足输出结果时的值，再根据选项判断结果.8C解析：C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.【详解】第一次进入循环，因为56除以18的余数为2，所以，判断不等于0，返回循环；第二次进入循环，因为18除以2的余数为0，所以，判断等于0，跳出循环，输出的值为2.故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循
16、环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9A解析：A【分析】由已知求得，进一步求得，得到线性回归方程，取求得值即可【详解】，又，取，得万元，故选A【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题10B解析：B【解析】前4个数据对应的 ， （把百分数转化为小数），而， ，当，.11B解析：B【分析】由，求出，计算出数据落在区间内的频率，即可求解.【详解】由,解得， 所以数据落在区
17、间内的频率为，所以数据落在区间内的频数，故选B.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率、频数，属于中档题.12B解析：B【解析】试题分析：由题，所以试题由已知，又因为，所以，即该家庭支出为万元考点：线性回归与变量间的关系二、填空题13【分析】先求事件的总数再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数最后根据古典概型的概率计算公式得出答案【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务共有种情况若选出的2名学生恰有1名女解析：.【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学
18、参加志愿服务，共有种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，若选出的2名学生都是女生，有种情况，所以所求的概率为.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.14【解析】【分析】由题意从中任取两个不同的数共有中不同的取法再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法利用对立事件的概率计算公式即可求解【详解】由题意从中任取两个不同的数共有中解析：【解析】
19、【分析】由题意，从中任取两个不同的数，共有中不同的取法，再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法，利用对立事件的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，从中任取两个不同的数，共有中不同的取法，其中取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数为时，只有一种取法，所以取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中认真审题，找出基本时间的总数和所求事件的对立事件的个数，利用对立时间的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.15【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度代入几何概型
20、概率计算公式可得答案【详解】设小明到达时间为当在7：50至8：00或8：20至8：30时小明等车时间不超过10分钟故故答案为【点睛】本题考解析：【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案【详解】设小明到达时间为，当在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故故答案为【点睛】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题168【分析】根据程序框图知该程序的功能是计算并输出变量的值模拟程序的运行过程即可求解【详解】当时满足循环条件当时满足循环条件当时满足循环条件；当时不满足循环条件跳出循环输出故填【点睛】本题主要考查了程解
21、析：8【分析】根据程序框图知，该程序的功能是计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程即可求解.【详解】当时，满足循环条件， 当时，满足循环条件， ，当时，满足循环条件，；当时，不满足循环条件，跳出循环，输出.故填.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.179【解析】根据流程图可得：否；否；否；否；是输出故答案为9解析：9【解析】根据流程图可得：，否，；否，；否，；否，；是输出，故答案为9.184【分析】由已知中的程序语句可知该程序的功能是计算分段函数的值将t=5代入即可得到答案【详解】由已知中程序语句可知该程序的功能是：计算分段函数的值故答案为04【点睛】算法是新课标高考的一大解
22、析：4【分析】由已知中的程序语句可知该程序的功能是计算分段函数的值，将t=5代入即可得到答案【详解】由已知中程序语句可知该程序的功能是：计算分段函数的值，故答案为0.4.【点睛】算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.19【解析】【分析】由题意求出样本中心点然后求解新的样本中心利用回归直线的斜率估计值为求解即可得到答案【详解】有样本数据点集合求得的回归直线方程为且去
23、掉两个数据点和重新求得的回归直线的斜率估计值为回归直解析：.【解析】【分析】由题意求出样本中心点，然后求解新的样本中心，利用回归直线的斜率估计值为，求解即可得到答案【详解】有样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，去掉两个数据点和，重新求得的回归直线的斜率估计值为，回归直线方程设为，代入，解得回归直线的方程为故答案为【点睛】本题主要考查的是数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键。202【解析】由茎叶图及10个班级的得分的平均数是90可得当且仅当即时取等号故答案为2解析：2【解析】由茎叶图及10个班级的得分的平均数是90可得，当且仅当，即时，取等号故答案为2三、解答题21（1
24、）（2）（i）分布列见解析（ii）这3个月经济损失总额的数学期望会超过2.88万元，理由见详解.【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式即可容易求得；（2）（i）求得的取值，再根据题意，求得对应取值的概率，则分布列得解；（ii）根据（i）中所求，结合题意，求得个月因空气质量造成经济损失的总额，即可容易判断.【详解】（1）设为选取的3天中空气质量为优的天数，则.（2）（）的可能取值为0，220，1480，则的分布列为02201480（ii）由（i）知（元），故该企业9月的经济损失的数学期望为（元）.设该企业7月与8月每天因空气质量造成的经济损失为元，则，所以（元），所以7月与8月因空气质量造成经
25、济损失的总额为（元）.因为万，所以这3个月经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.【点睛】本题考查古典概型的概率求解，涉及离散型随机变量分布列的求解，涉及数学期望的计算，属综合中档题.22（1），（2）【分析】（1）设该盒子里有红球个，白球个，利用古典概型、对立事件概率计算公式列出方程组，能求出，（2） “一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”分为“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”和“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球数为1个”，由此能求出取到的白球个数不小于红球个数的概率【详解】解：（1）设该盒子里有红球个，白球个.根据题意得，解方程组得，故红
26、球有4个，白球有8个.（2）设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件.设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”为事件，则设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球个数为1个”为事件，则，故.因此，从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数的概率为.【点睛】本题考查实数值、概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查理解能力、运算求解能力，属于中档题23(1) 当时，无解.(2) .【分析】(1)根据框图得到函数解析式；（2）结合第一问得到的函数表达式，分情况得到x值即可.【详解】（1）函数解析式为，当时
27、，无解.（2）当时，或（舍）.当时，解得（舍）.当时，解得（舍）所以【点睛】这个题目考查了程序框图的应用，以及分段函数的应用；解决分段函数求值问题的策略：(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决；(3)求f(f(f(a)的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.24答案见解析【解析】试题分析：先设丢番图的寿数为x, x为正整数，列出方程，再用验证的方法
28、找到方程的解，即得到丢番图的寿数.再根据算法写出算法程序.试题设丢番图的寿数为x,则x为正整数,根据题意可知x+x+x+5+x+4=x,我们可以从x=1,依次验证是不是方程的解.算法如下:S1x=1;S2判断x+x+x+5+x+4=x是否成立,如果成立,则输出x;否则,转至S3;S3x=x+1,转至S2.算法程序如下:x=1;whilex+x+x+5+x+4xx=x+1;wendx=x-1print xend点睛：本题的难点在于写出找丢番图的寿数的算法，这里只能采取验证的方法.25（1）；（2）元.【分析】（1）根据表中数据计算出，再结合参考数据利用公式即可计算出，进而得出线性回归方程；（2）将代入即可预测.【详解】解：（1）由表可得：，又，关于的线性回归方程为；（2）由（1）可得：，当时，即该地区年农村居民家庭人均纯收入约为元.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查由线性回归方程进行预测，属于基础题.26（）图象见解析，正相关；（），当时细菌个数为12个.【分析】（）根据数据描点即得散点图，看图即判断结果；（）利用公式代入数据计算即可.【详解】解：（）图形如下，观察图像可知细菌个数和时间是正相关.（）由数据计算得，所以，当时，解得.所以当时细菌个数为12个.【点睛】本题考查了散点图、线性回归方程及其应用，属于基础题.
