1、2020北京市高三一模数学理分类汇编2：导数.【2020北京市海淀区一模理】（12）设某商品的需求函数为，其中分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，是的导数），则商品价格的取值范围是 . 【答案】【2020北京市门头沟区一模理】10曲线与直线及轴所围成的图形的面积为 【答案】【2020北京市门头沟区一模理】18(本小题满分13分）已知函数（）当时，讨论函数的单调性；（）设，当时，若对任意，当时，恒成立，求实数的取值范围【答案】解：（） 2分 令得 3分当时，函数在上单减 4分当时，在和上，有，函数单减，在上， ，函数单增 6分（）当时，由（）知，函数在上是单减，在上单增所以函数在
2、的最小值为8分若对任意，当时，恒成立，只需当时，即可所以，11分代入解得 所以实数的取值范围是 13分【2020北京市朝阳区一模理】18. （本小题满分13分） 设函数. （）当时，求曲线在点处的切线方程； （）求函数单调区间.【答案】解：因为所以. （）当时, , 所以 . 所以曲线在点处的切线方程为. 4分（）因为， 5分 （1）当时,由得；由得. 所以函数在区间单调递增, 在区间单调递减. 6分 （2）当时, 设，方程的判别式 7分 当时，此时. 由得,或； 由得. 所以函数单调递增区间是和, 单调递减区间. 9分 当时，此时.所以， 所以函数单调递增区间是. 10分 当时，此时. 由得
3、； 由得,或. 所以当时,函数单调递减区间是和, 单调递增区间. 12分 当时, 此时，所以函数单调递减区间是.【2020北京市东城区一模理】(18)（本小题共14分）已知函数在处的切线斜率为零（）求和的值；（）求证：在定义域内恒成立；() 若函数有最小值，且，求实数的取值范围.【答案】（）解：. 2分由题意有即，解得或（舍去）4分得即，解得 5分（）证明：由（）知， 在区间上，有；在区间上，有 故在单调递减，在单调递增，于是函数在上的最小值是 9分故当时，有恒成立 10分()解： 当时，则，当且仅当时等号成立，故的最小值，符合题意； 13分当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；
4、当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意综上，实数的取值范围是 14分【2020北京市石景山区一模理】18（本小题满分14分）已知函数. （）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值； （）求函数的单调区间； （）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.【答案】解：（） 1分 由已知，解得. 3分（II）函数的定义域为.（1）当时, ，的单调递增区间为； 5分（2）当时. 当变化时，的变化情况如下：-+极小值 由上表可知，函数的单调递减区间是； 单调递增区间是. 8分 （II）由得，9分 由已知函数为上的单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立. 即在上恒成立. 11分令，在上，所以在为
5、减函数. , 所以. 14分【2020年北京市西城区高三一模理】18.（本小题满分13分）已知函数，其中.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求的单调区间.【答案】（）解：当时， 2分由于，所以曲线在点处的切线方程是 4分（）解：， 6分 当时，令，解得 的单调递减区间为；单调递增区间为，8分当时，令，解得 ，或 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为， 10分 当时，为常值函数，不存在单调区间 11分 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为， 13分【2020北京市海淀区一模理】(18)（本小题满分13分）已知函数.（）求的单调区间；（）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出
6、的值；若不存在，请说明理由.【答案】解：（）的定义域为. ，即 . 2分令，解得：或. 当时，故的单调递增区间是. 3分当时，随的变化情况如下：极大值极小值所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.5分当时，随的变化情况如下：极大值极小值所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.7分（）当时，的极大值等于. 理由如下： 当时，无极大值.当时，的极大值为， 8分令，即 解得 或（舍）. 9分 当时，的极大值为. 10分因为 ， 所以 .因为 ，所以 的极大值不可能等于. 12分综上所述，当时，的极大值等于.13分【2020北京市房山区一模理】18（本小题共13分）已知函数（I）当时，求函数的单调递减区间；（II）求函数的极值；（III）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围【答案】解：（I）依题意，函数的定义域为， 当时， 2分由得，即解得或，又，的单调递减区间为 4分（II），（1）时，恒成立在上单调递增，无极值. 6分（2）时，由于所以在上单调递增，在上单调递减，从而 9分（III）由（II）问显然可知，当时，在区间上为增函数，在区间不可能恰有两个零点 10分当时，由（II）问知，又，为的一个零点 11分若在恰有两个零点，只需即 13分（注明：如有其它解法，酌情给分）
