1、一、 整数四则运算定律（1） 加法交换律：的等比数列求和（2） 加法结合律：（3） 乘法交换律：（4） 乘法结合律： （5） 乘法分配律：；（6） 减法的性质：（7） 除法的性质：；（8） 除法的“左”分配律：；，这里尤其要注意，除法是没有“右”分配律的，即是不成立的！备注：上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用二、 加减法中的速算与巧算速算巧算的核心思想和本质：凑整。常用的思想方法总结如下：（1） 分组凑整法把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千，就把其中的一个数叫做另
2、一个数的“补数”（2） 加补凑整法有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整（3） 数值原理法先把加在一起为整十、整百、整千的数相加，然后再与其它的数相加（4） “基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）三、 乘法凑整思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。例如：， （去8数，重点记忆） （三个常用质数的乘积，重点记忆）理论依据：乘法交换率：ab=ba乘法结合率：(ab) c=a(bc)乘法分配率：(a+b) c=ac+bc积不变规律：ab=(ac) (
3、bc)=(ac) (bc)四、 乘、除法混合运算的性质（1） 商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变即：，（2） 在连除时，可以交换除数的位置，商不变即：（3） 在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）例如：（4） 在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：括号前是“”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变即 括号前是“”时，去括号后，括号内的“”变为“”，“”变为“”即添加括号情形：加括号时，括号前是“”时，原符号不变；括号前是“”时，原符号“”变为“”，“”变为“”即 （5） 两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再
4、相乘即上面的三个性质都可以推广到多个数的情形五、 利用位值原理思想进行巧算（1） 位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。（2） 位值原理的表达形式：以六位数为例：以具体数字为例：六、 提取公因数思想1. 乘法运算中的提取公因数：（1） 乘法分配律：或（2） 提取公因数即乘法分配律的逆用：或2. 除法运算中的提取公因数：（1） 除法的“左”分配律：；（2） 除法的“左”提取公因
5、数： 七、 要注意添括号或者去括号对运算符号的影响（1） 在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号都不变；（2） 在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号都改变，其中“”号变成“”号，“”号变成“”号；（3） 在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号都不变，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算；（4） 在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号都改变，其中“”号变成“”号，“”号变成“”号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算一、 加减速算【例 1】 计算：【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】3星 【题型】计算【解析】 这道题考察学生对于
6、速算技巧的把握，在四则混合运算中，中括号中的加减法的速算技巧尤为重要，在之前我们已经学习过，再利用乘法运算中提取公因数的方法，简化运算原式【答案】【巩固】 计算： 【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式 【答案】【例 1】 求的末四位数 【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式，原式的末四位为【答案】【巩固】 求的末三位数字 【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式的末三位数字和每个加数的末三位数字的和的末三位相同，这些加数的末三位中有个，个，个，所以原式的末三位数字为【答案】【例 2】 求算式的计算结果的各位数字之和 【
7、考点】位值原理 【难度】 【题型】解答 【解析】 ，数字和为：【答案】.【巩固】 从1到2009这些自然数中所有的数字和是多少？ 【考点】位值原理 【难度】4星 【题型】计算【解析】 向大家介绍两种方法，（都是先算0到999）方法一：我们把0到999全看成三位数，不足三位的在前面加0补齐这样从0到999共1000个自然数，用了（个）数字，很显然这3000个数字中有300个0，300个1，300个9，所以数字和为方法二：组合法，比如0和999，1和998，245和754，总之可以找到每两个数它们的和刚好是999，因为不存在进位，所以每两个数的数字和都是，共1000个数，所以可以组成500对，和就
8、是：算完0到999后再看1000到1999，比较发现每个数都比0到999的多一个千位数1，所以1000到1999的和是最后还要算2000到2009的数字和：，所以这个题的结果是：【答案】【例 3】 计算：【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【解析】 把66666分解为，然后应用乘法分配律巧算原式【答案】【巩固】 计算：【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【解析】 把前一个加数中的99999分解成，然后应用乘法分配律巧算原式 3333300000【答案】【例 4】 计算： = 【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【关键词】2
9、008年，第九届，中环杯，决赛【解析】 原式【答案】【巩固】 计算： 【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】3星 【题型】计算【关键词】2008年，迎春杯【解析】 原式【答案】【例 5】 计算：【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】3星 【题型】计算【解析】 通过整体观察算式，可以把拆分成，那么方法一：原式方法二：原式【答案】【巩固】【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式【答案】【例 6】 【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【关键词】年，第四届，IMC，五年级，复赛【解析】 原式 【答案】【巩固】 计算：_.【考点】四则混合
10、运算之提取公因数，特殊数字 【难度】2星 【题型】计算【关键词】2010年，学而思杯，5年级【解析】 原式 【答案】【例 7】 计算【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】3星 【题型】计算【解析】 注意到在被除数和除数的表达式中均出现了，而且分别有相近的数与，我们可以考虑把被除数做如下变形：被除数所以被除数是除数的倍，所以这道题的答案是【答案】【巩固】 计算 【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】3星 【题型】计算【解析】 注意到在被除数和除数的表达式中均出现了56，而且分别有相近的数72与71，我们可以考虑把被除数做如下变形：被除数所以被除数是除数的倍，所以这道题的答案是【答案】【例
11、 8】 计算：【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式【答案】【巩固】 计算： 。【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【关键词】2004年，第2届，走美杯，决赛，5年级【解析】 【答案】【例 9】 计算：【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式【答案】【巩固】 计算： 【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式【答案】【随练1】 计算：、 【考点】乘法凑整，平方差公式 【难度】 【题型】解答【解析】【答案】; ;. 【随练2】 计算：【考点】四则混合运算之提取公因数 【难
12、度】2星 【题型】计算【关键词】全国小学数学奥林匹克【解析】 原式【答案】【随练3】 计算：【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【解析】 观察算式，我们注意到前四个乘法算式中都有一个数是7的倍数,而最后一个数中的62加1也是7的倍数,这启发我们利用乘法的分配律来计算结果.原式【答案】【随练4】 计算： 。【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【关键词】2007年，第五届，走美杯，五年级，初赛【解析】【答案】【作业1】【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式【答案】【作业2】 求这10个数的和 【考点】位值原理 【难
13、度】 【题型】解答【解析】 先计算这10个数的个位数字和为； 再计算这10个数的十位数字和为49=36，加上个位的进位的3，为； 再计算这10个数的百位数字和为48=32，加上十位的进位的3，为； 再计算这10个数的千位数字和为47=28，加上百位的进位的3，为； 再计算这10个数的万位数字和为46=24，加上千位的进位的3，为；【答案】。【作业3】 计算：的得数中有 个数字是奇数。 【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【关键词】2008年，学而思杯，3年级【解析】 原式有个数字是奇数。【答案】【作业4】 计算：【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式【答案】【作业5】 计算：【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【关键词】2008年，日本小学算术奥林匹克大赛，初赛【解析】 原式 【答案】【作业6】 计算：【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【解析】 不断地提取公因数原式【答案】
