1、一元二次方程培优专题复习考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式：难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A、B、C、D、变式：当k时，关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。针对练习：1、方程的一次项系数是，常数项是。2、若方程是关于x的一元一次方程，求m的值：；写出关于x的一元一次方程：。3、若方程是关于x的一元二次方
2、程，则m的取值范围是。4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知的值为2，则的值为。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为。例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为。针对练习：1、已知方程的一根是2，则k为，另一根是。2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。求k的值；方程的另一个解。3、已知m是方程的
3、一个根，则代数式。4、已知是的根，则。5、方程的一个根为（）AB1CD6、若。考点三、解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法：对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：=0;例2、解关于x的方程：例3、若，则x的值为。针对练习：下列方程无解的是（）A.B.C.D.类型二、因式分解法:方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如，典型例题：例1、的根为（）ABCD例2、若，则4x+y的值为。变式1：。变式2：若，则x+y的值为。变式3：若，则x+y的值为。例3、方程的解为（）A.B.C.D.例4、解方程：得例5、已知,则的
4、值为。变式：已知,且,则的值为。针对练习：1、下列说法中：方程的二根为，则.方程可变形为正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、以与为根的一元二次方程是（）ABCD3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：4、若实数x、y满足，则x+y的值为（）A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或25、方程：的解是。6、已知，且，求的值。类型三、配方法在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例、已知x、y为实数，求代数式的最小值。针对练习：1、已知，则.2、若，则t
5、的最大值为，最小值为。类型四、公式法条件：公式：,典型例题：例、选择适当方法解下列方程：类型五、“降次思想”的应用求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题：例1、已知，求代数式的值。例2、如果，那么代数式的值。例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。考点四、根的判别式根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是()A.B.C.D.例3、已知关于x的方程(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。
6、例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.例5、为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：1、当k时，关于x的二次三项式是完全平方式。2、当取何值时，多项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是.4、为何值时，方程组（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.5、当取何值时，方程的根与均为有理数？(2012山东德州中考,15,4,)若关于x的方程有实数解，那么实数a的取值范围是_（2012湖北襄阳，12，3分）如果关于x的一元二次方程kx2x10有两个不相等的实数根，那么k的取值范
7、围是AkBk且k0CkDk且k0考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例1、关于x的方程有两个实数根，则m为,只有一个根，则m为。例2、不解方程，判断关于x的方程根的情况。例3、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通
8、讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，）4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？5
9、、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提：对于而言，当满足、时，才能用韦达定理。主要内容：常用变形：，等应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是
10、方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.B.3C.6D.例2、解方程组：例3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例5、已知，求变式：若，则的值为。例6、已知是方程的两个根，那么.针对练习1已知，求的值。2、已知是方程的两实数根，求的值。3.（湖北中考题）设，且，则=_。4.(四川
11、中考题）如果方程x2pxq0的两个根是x1，x2，那么x1x2p，x1x2q请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2mxn0(n0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a215a50，b215b50，求的值；（3）已知a、b、c均为实数，且abc0，abc16，求正数c的最小值1.当k为何值时，关于x的方程有实数根2.已知方程是关于x的一元二次方程，求a，b的值3设和都是关于x的一元二次方程，求：的值。4解下列方程：（1）（2）（3）（4）5已知方程求证：不论m为何值，次方程均有两个不相等的实根。6已知三个关于x的一元二次方程恰有一个公
12、共实数根，求的值。7已知试求的值。8关于x的方程和方程只有一个相同的实根，求k的值及公共根。有两个不相等的实根，试判断三角形ABC的形状。10已知方程与方程的公共根和方程与方程的公共根相同，求m，n的值。11 m，n是方程的两个根，且求a的值。12甲，乙两同学分别同时解同一个一元二次方程，甲把以此项系数看错了解的两根为-3和5。乙把常数项看错了得两根为和，求原一元二次方程。13已知关于x的方程（1）求证无论m为何值，方程总有两个不相等的实根（2）设方程的两根为，求m的值。14要使关于x的一元二次方程的两根的平方和最小，求m的值。15已知函数y=和y=kx+1（x0）（1）若这两个函数都经过（1
13、，a）求a和k的值（2）当k取何值时，这两个函数图像总有公共点16某商店销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，调查发现如果每件降价1元则每天可以多销售2件，若商场平均每天盈利1200元，则每件应该降价多少元？17为实现国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”市政府加快了廉租房的建设力度。从2010年起，市政府开始投资，以后逐年增长，2011年投资了3亿元人民币。预计2012年底三年累计共投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内投资的增长率相同，求市政府投资的年增长率？18某商家从厂家以每件21元价格购进一批商品，
14、该商家可自行定价。若每件商品售价a元，则可卖出（350-10a）件，但物价部门限定每件商品加价不得超过定价的20%。商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品售价多少？一元二次方程培优训练1.已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1,则a=,b=.2关于的方程是一元二次方程，则；3.设是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为；4.当时，代数式的值为05.已知：，则关于的二次方程的解是；6方程的解是；7.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有一个根为1,则a+b+c=;若有一个根为-1,则b与a、c之间的关系为;若有一个根为零,则
15、c=.8、则xy=9、写出以4，-5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是10、如果是一个完全平方公式，则。11、已知两个数的差等于4，积等于45，则这两个数为和。12、当时，关于的方程为一元二次方程。13写出一个一元二次方程，使它的一个根为214当x=时，代数式15、方程的根是。16、用配方法解方程，则，所以。17.要使关于x的一元二次方程的两根的平方和最小，求m的值。7、下列方程是一元二次方程的是（）A、B、C、D、8、关于的一元二次方程有实数根，则（）A、0B、0C、0D、09、将方程的形式，指出分别是（）A、B、C、D、10、方程的解是；11、当y=时，y2-2y的值为3；12、已知方
16、程x2+kx+3=0?的一个根是-1，则k=_,另一根为_；13、写出以4，5为根且二次项系数为1的一元二次方程是_；14、某校去年投资2万元购买实验器材，预期今明两年的投资总额为8万元，若该校这两年购买实验器材的投资的年平均增长率为x，则可列方程_；15、设是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为；三部分1.方程不一定是一元二次方程的是()A.(a-3)x2=8(a0)B.ax2+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5D.2、若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（）A、1B、-1 C、1或-1D、3、把方程化成的形式，则m、n的值是（）A、4，13B、-
17、4，19 C、-4，13D、4，194、已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的第三边是（）5.关于的方程是一元二次方程的条件是-（）ABC且D或6等腰三角形的两边的长是方程的两个根，则此三角形周长为A.27B.33 C.27和33D.以上都不对7.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为()Ax(x1)1035Bx(x1)10352Cx(x1)1035D2x(x1)10358.一元二次方程2x(x3)5(x3)的根为()AxBx3 Cx13，x2Dx9.已知，则等于（）A.B.C.D.9.使分
18、式的值等于零的x是（）A.6B.-1或6 C.-1D.-610方程x2-4x+3=0的解是（）A.x=1或x=3B.x=1和x=3C.x=-1或x=-3D.无实数根11.关于x的方程x2-k2-16=0和x2-3k+12=0有相同的实数根,k的值是()A.-7B.-7或4 C.-4D.412、请判别下列哪个方程是一元二次方程（）A、B、C、D、13、请检验下列各数哪个为方程的解（）A、B、C、D、14、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（）A、若；B、；C、；D、的值为零，则。15、，则（）A、B、C、D、16、将方程的形式，指出分别是（）A、B、C、D、17、已知一元二次
19、方程，若方程有解，则必须（）A、B、C、D、18、若（）A、B、C、D、19、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（）A、B、C、D、三、解一元二次方程（1） x(2x-7)=2x（2）x2-2x+4=0（3）（4）2y2+7y-3=0（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）18、试证明关于的方程无论取何值，该方程都是一元二次方程；19、有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程的两根，求这个三角形的周长.20、已知，求的值。21已知关于x的方程（1）当a为何值时，方程是一元一次方程；（2）当a为何值时，方程是一元二次方程；（3）当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值22如图，在ABC中，B=90度，AB=6cm，BC=12cm，PABQC12cm6cm点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，PBQ的面积等于8cm2
