1、求函数值域的十种方法一直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1求函数的值域。【解析】，函数的值域为。【练习】1求下列函数的值域：；，。【参考答案】；。二配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。例2求函数（）的值域。【解析】。，。函数（）的值域为。例3求函数的值域。【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。例4若，试求的最大值。【分析与解】本题可看成第
2、一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。利用两点，确定一条直线，作出图象易得：，y=1时，取最大值。【练习】2求下列函数的最大值、最小值与值域：；，；。【参考答案】；三反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例5求函数的值域。分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而便于求出反函数。反解得，故函数的值域为。【练习】1求函数的值域。2求函数，的值域。【参考答案】1；。四分离变量法：适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分
3、离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例6：求函数的值域。解：，函数的值域为。适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为(常数)的形式。例7：求函数的值域。分析与解：观察分子、分母中均含有项，可利用分离变量法；则有 。不妨令：从而。注意：在本题中若出现应排除，因为作为分母.所以故。另解：观察知道本题中分子较为简单，可令，求出的值域，进而可得到的值域。【练习】1求函数的值域。【参考答案】1五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式
4、里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。例8：求函数的值域。解：令（），则，。当，即时，无最小值。函数的值域为。例9：求函数的值域。解：因，即。故可令，。，故所求函数的值域为。例10.求函数的值域。解：原函数可变形为：可令X=，则有当时，当时，而此时有意义。故所求函数的值域为 例11. 求函数，的值域。解：令，则由且可得：当时，当时，故所求函数的值域为。 例12. 求函数的值域。解：由，可得故可令当时，当时，故所求函数的值域为：六、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例13：求
5、函数的值域。解：由变形得，当时，此方程无解；当时，解得，又，函数的值域为七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例14：求函数的值域。解：当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，函数在定义域上是增函数。，函数的值域为。例15. 求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为适用类型2：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）例16：求函数的值域。分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：配方得
6、：由复合函数的单调性（同增异减）知：。八、利用有界性：一般用于三角函数型，即利用等。例17：求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：即即解得：故函数的值域为注：该题还可以使用数形结合法。，利用直线的斜率解题。例18：求函数的值域。解：由解得，函数的值域为。九、图像法（数形结合法）：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例19：求函数的值域。解： ，的图像如图所示，由图像知：函数的值域为 例20. 求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。由上图可
7、知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为： 例21. 求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为例22. 求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：例23、：求函数的值域.分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知
8、两点求直线的斜率的公式，将原函数视为定点(2，3)到动点的斜率，又知动点满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。例24求函数的值域。分析与解答：令，则，原问题转化为 ：当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图1知：当经过点时，；当直线与圆相切时，。所以：值域为十：不等式法：利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、
9、添项和两边平方等技巧。 例25. 求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为： 例26. 求函数的值域。解：当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为：十一、 多种方法综合运用： 例27. 求函数的值域。解：令，则（1）当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法 例28. 求函数的值域。解：令，则当时，当时，此时都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 第12页 共 12页
