1、数学试题第 1页 扬州市 2020 届高三考前调研测试 数学 2020.06 （全全卷卷满满分分 160 分分，考考试试时时间间 120 分分钟钟） 注意事项： 1答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方 2试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效 一一、填填空空题题（本本大大题题共共 14 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 70 分分，请请将将答答案案填填写写在在答答题题卷卷相相应应的的位位置置上上） 1已知集合 2 1,0,Aa ， 1,1B ，则ABB，则实数a的值是 2已知复数z满足 34i i z (i 为虚数单位)，则| z 3某校在高一、
2、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个 年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年 级抽取名志愿者 4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 S0 I 1 WhileI4 SS+5 I I +1 End While Print S 第 4 题图第 9 题图 5已知抛物线 2 2yx 的准线也是双曲线 22 1 3 xy m 的一条准线，则该双曲线的两条渐近线方 程是 6某校机器人兴趣小组有男生 3 名，女生 2 名，现从中随机选出 3 名参加一个机器人大赛， 则选出的人员中恰好有一名女生的概率为 7已知数列 n
3、 a是等比数列， n T是其前n项之积，若 567 aaa，则 7 T的值是 8已知( )cos x f xxe，则(3)(31)0fxfx的解集为 9如图，已知正ABC是一个半球的大圆O的内接三角形，点P在球面上，且OP 面ABC， 则三棱锥PABC与半球的体积比为 10已知 3 sin() 283 ，则sincos. 数学试题第 2页 11设 t表示不超过实数t的最大整数(如 1.32 ，2.62)，则函数 ( )21f xxx的 零点个数为. 12 已知点M是边长为 2 的正ABC内一点， 且AMABAC ， 若 1 3 ， 则MB MC 的最小值为. 13已知等腰梯形ABCD中，60A
4、B ，2AB ，若梯形上底CD上存在点P，使得 2PAPB，则该梯形周长的最大值为. 14锐角ABC中，, ,a b c分别为角, ,A B C的对边，若cos(1cos)aBbA，则 2 2 ab bc 的取值 范围为. 二、解答题： （本大题共 6 道题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分 14 分） 设函数 2 3 ( )cossin()3cos 34 f xxxx ，Rx. (1) 求( )f x的最小正周期和对称中心； (2) 若函数( )() 4 g xf x ，求函数( )g x在区间, 6 6 上的最值 16 （本小题满分 14 分）
5、 如图， 四面体ABCD被一平面所截， 平面与四条棱,AB AC CD BD分别相交于,E F G H四 点，且截面EFGH是一个平行四边形，AD 平面BCD，BCCD. 求证： (1)EFBC； (2)EF 平面ACD. 数学试题第 3页 17.（本小题满分 14 分） 如图，边长为 1 的正方形区域 OABC 内有以 OA 为半径的圆弧AEC. 现决定从 AB 边上一 点 D 引一条线段 DE 与圆弧AEC相切于点 E，从而将正方形区域 OABC 分成三块：扇形 COE 为区域 I，四边形 OADE 为区域 II，剩下的 CBDE 为区域 III.区域 I 内栽树，区域 II 内种花， 区
6、域III内植草.每单位平方的树、 花、 草所需费用分别为5a、4a、a， 总造价是W， 设2AOE. (1) 分别用表示区域 I、II、III 的面积； (2) 将总造价 W 表示为的函数，并写出定义域； (3) 求为何值时，总造价 W 取最小值？ 18.（本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的右准线为直线4x ，左 顶点为A，右焦点为F. 已知斜率为 2 的直线l经过点F，与椭圆E相交于,B C两点，且O到 直线l的距离为2 5 5 . (1) 求椭圆E的标准方程； (2) 若过O的直线:m ykx与直线,AB AC分别相
7、交于,M N两点，且OMON，求k的 值. 数学试题第 4页 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 2 ( )(R) x f xeaxa. (1) 若曲线( )f x与直线:(2)(R)l yexb b在1x 处相切. 求a b 的值； 求证：当 0x 时， ( )(2)f xexb ； (2) 当0a 且(0,)x时，关于的x不等式 2 ( )2ln1x f xmxx有解，求实数m的取 值范围. 20 （本小题满分 16 分） 已知数列 n a的各项均为非零实数，其前n项和为 n S，且 +12 = nn nn Sa Sa . (1) 若 3=3 S，求 3 a的值； (2) 若 202
8、11 =2021aa，求证：数列 n a是等差数列； (3) 若 1=1 a， 2=2 a，是否存在实数，使得 22 22 nm a m a n aa对任意正整数mn，恒成 立，若存在，求实数的取值范围，若不存在，说明理由. 数学试题第 5页 扬州市 2020 届高三考前调研测试 数学 （全卷满分全卷满分 40 分，考试时间分，考试时间 30 分钟分钟） 202006 21. 已知矩阵 1 0 02 A ，求矩阵A的逆矩阵 1 A的特征值 22. 在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程是： 2cos , 2sin x ym (为参数).以O为极点,x轴 正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极
9、坐标方程为cos1 3 若直线l与曲线C相 交于PQ、两点,且2 3PQ ,求实数m的值. 数学试题第 6页 23. 如图，在三棱锥ABCD中，已知ABD，BCD都是边长为 2 的等边三角形，E为BD 中点，且AE 平面BCD，F为线段AB上一动点，记 BF BA (1) 当 1 3 时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值； (2) 当直线CF与平面ACD所成角的正弦值为 15 10 时，求的值. 24. 一个笼子里关着 10 只猫，其中有 7 只白猫，3 只黑猫把笼门打开一个小口，使得每次只 能钻出 1 只猫猫争先恐后地往外钻.如果 10 只猫都钻出了笼子，以X表示 7 只白猫被 3 只黑
10、猫所隔成的段数例如，在出笼顺序为“”中，则3X (1) 求三只黑猫挨在一起出笼的概率； (2) 求X的分布列和数学期望. 数学试题第 7页 扬州市 2020 届高三考前调研测试 参考答案 一、填空题 1.12. 53. 154. 155.3yx 6. 3 5 7. 18. 1 2, 2 9. 3 3 8 10. 2 3 11. 212. 1 3 13.3+ 514. 7 3 2 ， 二、解答题 15解解：(1) 由已知，f(x)cos x(1 2sin x 3 2 cos x) 3cos2x 3 4 1 2sin xcos x 3 2 cos2x 3 4 1 4sin 2x 3 4 (1cos
11、 2x)+ 3 4 1 4sin 2x 3 4 cos 2x1 2sin(2x 3) 4 分来 最小正周期为T，对称中心为)0 , 62 k （Zk .7 分 (2) 6 2sin( 2 1 )( xxg 8 分 )(xg在区间 6 , 6 上单调递增.10 分 2 1 ) 6 ()( max gxg12 分 min 1 ( )() 64 g xg 14 分 16. 证明：证明：(1) 因为四边形EFGH为平行四边形，所以EFHG， 又EF 平面BCD，HG 平面BCD，所以EF平面BCD，.4 分 又EF 平面ABC，平面ABC平面BCDBC，所以EFBC.7 分 (2) 因为AD 平面BC
12、D，BC 平面BCD，所以ADBC， 由(1)知EFBC，所以EFAD.10 分 因为BCCD，所以EFCD.12 分 又ADCDD，AD、CD 平面ACD， 所以EF 平面ACD.14 分 17. 解解：(1)如图， 1 1 (2 ) 1 224 S 2 分 连接 OD，则ODEODA，tanDA， 2 1 21 tantan 2 S ，4 分 数学试题第 8页 3 1tan 4 S . 5 分 (2) 123 54(3tan41)WaSaSaSa，7 分 由20, 2 ，知(0,) 4 ，所以函数的定义域为(0,) 4 9 分 (3) 2 3 (4) cos Wa ，11 分 由0W ，得
13、 3 cos 2 或 3 cos 2 （舍去） 又(0,) 4 ，所以 6 当0 6 时，0W ，函数在0, 6 上单调递减， 当 62 时，0W ，函数在, 6 2 上单调递增， 所以当 6 时，W取最小值. 答：= 6 时，总造价 W 取最小值14 分 18解：解：(1) 设椭圆E的焦距为2c， 则直线l的方程为2()yxc，即220xyc. 因为O到直线l的距离为 2 5 5 ， 22 2002 2 5 21 c c d ， 所以 22 5 55 c ，则1c .3 分 因为椭圆E的右准线的为直线4x ，则 2 4 a c ，所以 2 4a ， 222 3bac， 故椭圆E的标准方程为
14、22 1 43 xy .4 分 (2) 由(1)知l：2(1)yx，设 11 (,)B x y， 22 (,)C xy. 由 22 2(1), 3412 yx xy 得 2 193240xx，则 2 12 12 324 1940, 32 , 19 4 . 19 xx x x .6 分 由( 2,0)A ， 11 (,)B x y可知 1 1 :(2) 2 y AB yx x ， 数学试题第 9页 由 1 1 , (2) 2 ykx y yx x 得 1 11 2 (2) M y x k xy ，.9 分 同理 2 22 2 (2) N y x k xy ，因为OMON，所以 22 11 MN
15、kxkx， 由图可知0 MN xx，.12 分 所以 122211 2 (2)2 (2)0y k xyy k xy， 即 122211 (1) (2)2(1)(1) (2)2(1)0xk xxxk xx， 所以 121212 12211212 4(1)(1)4()1 (1)(2)(1)(2)2()4 xxx xxx k xxxxx xxx .14 分 432 41 4(43219) 1919 1 432 8324 19 24 1919 .16 分 19. 解：解：(1) 因为 2x f xeax，所以 2 x fxeax. 因为曲线 f x与直线: l(2)yexb在1x 处相切， 所以 12
16、2feae，所以1a . 所以 2x f xex，所以 11fe. 又切点(1,1)e 在直线l上，所以12eeb ， 所以1b ，所以2ab；4 分 由知1,1ab，可设 2 210 x h xexexx， 则 ( )22 ,2 xx g xh xexegxe， 当ln2x 时， 0g x，当ln2x 时， 0g x， 所以 h x在0,ln2上单调递减，在ln2,上单调递增， 由 030,10,0ln21heh，所以ln20 h ， 所以存在 0 0,ln2x ，使得 0 0h x，8 分 所以当 0 0,1,xx时， 0h x，当 0,1 xx时， 0h x， 所以 h x在 0 0,x
17、上单调递增，在 0,1 x上单调递减，在1,上单调递增. 因为 010hh，所以 0h x ， 即 21f xex，当且仅当1x 时取等号， 所以当0x 时， 2 21 x exex， 故当0x 时，( )2f xexb10 分 (3）先证1 x ex. 构造函数( )1 x p xex，则( )1 x p xe. 数学试题第 10页 故当(0,)x时，( )0p x，( )p x在(0,)上递增，当(,0)x 时，( )0p x，( )p x 在(,0)上递减， 所以( )(0)0p xp，即1 x ex12 分 又当0a ，且(0,)x时， 2 ( )2ln1x f xmxx等价于 2 2
18、ln1 x x ex m x 故原题等价于(0,)x时， 2 2ln1 x x ex m x 有解. 因为 2 2lnx2 2ln12ln1ln12ln1 1 xx x exexxxx xxx （当 2 ln0xx时取等号） ， 所以1m .16 分 20. (1) 解：由 +12 = nn nn Sa Sa ，令1n ，得 11 23 = Sa Sa ， 因为数列 n a的各项均为非零实数，所以 2123 =+=Saaa， 所以 31233 =23Saaaa， 所以 3 3 = 2 a.3 分 (2) 证明： 由 +12 = nn nn Sa Sa 得： 11 23 = Sa Sa ， 22
19、 34 = Sa Sa 33 45 = Sa Sa ， ， 11 1 = nn nn Sa Sa ，相乘得： 112 1 = nnn Sa a Sa a ， 因为数列 n a的各项均为非零实数，所以 21 = nnn a Sa a ， 当2n 时： 211 = nnn a Saa ，所以 22111 = nnnnnn a Sa Sa aaa ， 即 2111 = nnnnn aSSaaa ，即 211 = nnnn a aaaa ，因为0 n a ，所以 112 = nn aaa ， 所以数列 21n a 是等差数列，首项为 1 a，公差为 2 a， 所以 2021121 =+1010=202
20、1aaaa，所以 21 =2aa， 所以 21121 = +121 n aanana ， 2221 =+12 n aanana，所以 1 = n ana， 所以 11 = nn aaa ，所以数列 n a是等差数列.9 分 (3) 解：当 1=1 a， 2=2 a时，由(2)知= n an，所以 22 22 nm a m a n aa，即 22 22 nm nm， 不妨设mn，则22 mn ， 22 mn，所以 22 22 mn mn， 即 22 22 mn mn对任意正整数mn，（mn）恒成立， 则 22+1 +122 nn nn （），即220 n n对任意正整数n恒成立， 设 2 2n
21、n Cn，则 2 +12 +1 2+12 +=221 nnn nn CCnnn， 设221 n n Dn，则 1 +1 22(1)122122 nnn nn DDnn ， 当5n 时， +1 0 nn DD，所以 5 0 n DD，所以 5 0 n CC，所以 2 2nn， 所以 2 222 n nnn，当5n 且 2 +n时，220 n n， 所以不存在满足条件的实数.16 分 数学试题第 11页 三、加试题 21. 解：设矩阵 A 的逆矩阵为 ab cd ，则 10 02 ab cd = 10 01 ，即 22 ab cd = 10 01 ， 故1a ，0b ，0c ， 1 2 d . 所
22、以矩阵 A 的逆矩阵为 1 10 1 0 2 A .5 分 矩阵 1 A的特征多项式为 10 1 1 1 20 2 f 令 0f，解得 1 A的特征值为 12 1 1, 2 10 分 22. 解：曲线C的直角坐标方程为 2 2 4xym，表示圆心为0,m，半径为2的圆 由cos1 3 ，得 13 cossin1 22 ，320xy2 分 设圆心到直线l的距离为d，则 2 |032|32| 2 13 mm d ， 4 分 所以 2 32 2 4 4 m PQ ， 令 2 32 2 42 3 4 m ，得0m 或 4 3 3 m 10 分 23. 解：连接 CE，因为BCD 为正三角形，所以AE
23、DB 又因为AE 平面BCD，CE 平面 BCD，所以 AECE 以 ,EB EC EA 为正交基底建立如图空间直角坐标系， 则 0,0, 3 ,1,0,0 ,0, 3,0 ,( 1,0,0)ABCD ， 因为 F 为线段 AB 上一动点，且 BF BA ， 则 =1,0, 3(,0, 3 )BFBA ，所以(1,0, 3 )F. （1）当 1 4 时， 33 ( ,0,) 44 F， 73 ( ,0,),(1,3,0) 44 DFCB ， 数学试题第 12页 所以 2222 7 7 13 4 cos, 52 73 ( )()1(3) 44 DF CB ；4 分 （2）(2,0, 3 )DF
24、， 1, 3,0DC 设平面CDF的一个法向量为 1 n =, ,x y z 由 1 n DF, 1 n DC得 , ,2- ,0, 30 , ,1, 3,00 x y z x y z ，化简得 230 30 xz xy ， 取 1 n 2 3, 1,1 又平面BCD的一个法向量为 2 0,0,1n 设平面BCD与平面ACD所成角为，则 12 2 2 1 3 13 cos|cos,| 13 2 3111 n n . 解得 1 2 或1 （舍去） ，所以 1 2 .10 分 24. 解：(1) 设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件 A，则 3! 7! 81 10!15 P A 答：三只黑猫挨在一起出笼的概率为 1 15 3 分 (2) X 的取值为：1、2、3、4. 其中X=1 时，7 只白猫相邻，则 4! 7!1 1 10!30 P X ； 2X 时， (626262)7! 3!3 2 10!10 P X ； 12122 36362 7! 2 1 3 10!2 C AC A A P X ； 3 6 7!1 4 10!6 A P X ； 所以 131114 1234 3010265 E X .10 分
