1、高等数学分类汇编第二章函数一、选择题（共40题） 1（安徽卷）函数 的反函数是AB CD解：有关分段函数的反函数的求法，选C。也可用特殊点排除法，原函数上有（1，2）和（-1，-1）两点，反函数上有（2，1）和（-1，-1），检验知C。2（安徽卷）函数的反函数是（）A B C D解：由得：，所以为所求，故选D。3（北京卷）已知是上的减函数，那么的取值范围是（A） （B） （C）（D）解：依题意，有0a1且3a10，解得0a，又当x7a1，当x1时，logax1且3a0，解得1a3，又当x1时，（3a）x4a35a，当x1时，logax0，所以35a0解得a，所以1a11 |0) B.y= (x
2、0) D. .y= (x1，函数0，解得，=， 原函数的反函数是，选A.7（福建卷）函数的反函数是（A）（B）（C）（D）解：由函数解得(y1)， 原函数的反函数是.8（福建卷）已知是周期为2的奇函数，当时，设则（A）（B）（C）（D）解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，0，选D.9（广东卷）函数的定义域是A. B. C. D. 解：由，故选B.10（广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. B. C. D. 解：B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.图211（广东卷）函数的反函数的图像与轴交于
3、点（如图2所示），则方程在上的根是A.4 B.3 C. 2 D.1解：的根是2，故选C12（湖北卷）设，则的定义域为A B C D解：f（x）的定义域是（2，2），故应有22且22解得4x1或1x4故选B13（湖北卷）关于的方程，给出下列四个命题：存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是A0 B1 C2 D3解：关于x的方程可化为（1）或（1x0恒成立，故a0若0，即1a0，则应有f（）恒成立，故1a0综上，有a故选C17（江西卷）某地一年的气温Q（t）（单位：c）
4、与时间t（月份）之间的关系如图（1）示，已知该年的平均气温为10c，令G（t）表示时间段0,t的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ ）G(t)126ttOG(t)10c612图（1）O612tG(t)10cAO10cBOt12610cG(t)C126OG(t)10cDt 解：结合平均数的定义用排除法求解A44812162024图（1）4481620241216448122416201618（江西卷）某地一天内的气温（单位：）与时刻（单位：时）之间的关系如图（1）所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）与之间的函数关系用下列图象表示，则正确
5、的图象大致是（）44816202412164481224162016解：结合图象及函数的意义可得D。19（辽宁卷）设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A)是奇函数 (B)是奇函数 (C) 是偶函数 (D) 是偶函数【解析】A中则，即函数为偶函数，B中，此时与的关系不能确定，即函数的奇偶性不确定，C中，即函数为奇函数，D中，即函数为偶函数，故选择答案D。【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算。20（辽宁卷）与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为(A) (B) (C) (D) 解：，即：，所以，故选择答案A。21（全国卷I）已知函数的图象与函数的图象关于直线对
6、称，则A BC D解：函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以是的反函数，即=， ，选D.22（全国II）函数ylnx1(x0)的反函数为（A）yex1(xR) （B）yex1(xR) （C）yex1(x1) (D)yex1(x1)解析:所以反函数为故选B23（全国II）函数yf(x)的图像与函数g(x)log2x(x0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为(A)f(x)(x0) (B)f(x)log2(x)(x0)(C)f(x)log2x(x0) (D)f(x)log2(x)(x0)解析：(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),所以 选D本题主要考察对称的性质和对数的相关性质,比较简
7、单,但是容易把与搞混,其实24（全国II）如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为（A）（B）（C）（D）解：以y，x代替函数中的x，得 的表达式为，选D25（全国II）函数f(x)的最小值为（A）190 （B）171 （C）90 （D）45解析:表示数轴上一点到1,2,319的距离之和,可知x在119最中间时f(x)取最小值.即x=10时f(x)有最小值90,故选C本题主要考察求和符号的意义和绝对值的几何意义,难度稍大,且求和符号不在高中要求范围内,只在线性回归中简单提到过.26.（山东卷）函数y=1+ax(0a1)的反函数的图象大致是 （A） （B） （C） （D）解：函数
8、y=1+ax(0a0,a1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于( )A.6 B.5 C.4 D.3解析：函数f(x)=loga(x+b)(a0，a1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，则，或(舍)，b=1，a+b=4，选C30.(陕西卷)函数f(x)= (xR)的值域是( )A.(0,1) B.(0,1 C.0,1) D.0,1解析：函数f(x)= (xR)， 1，所以原函数的值域是(0，1 ，选B.31.(陕西卷)设函数f(x)=loga(x+b)(a0,a1)的图象过点(0, 0),其反函数的图像过点(1,2),则a+b等于( )A.6 B.
9、5 C.4 D.3解析：函数f(x)=loga(x+b)(a0，a1)的图象过点(0，0)，其反函数的图象过点(1，2)，则，a=3，则a+b等于4，选C.32.（四川卷）函数的反函数是（A） （B） （C） （D） 解析：函数，解得(yR)，所以原函数的反函数是，选A.33.（天津卷）已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（） A B C D 解析：已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称,则，记=当a1时，若在区间上是增函数，为增函数，令，t, ，要求对称轴，矛盾；当0a2)，所以原函数的反函数是，选D.36.（天津卷）如果函数在区间上是
10、增函数，那么实数的取值范围是（）解析：函数y且可以看作是关于的二次函数，若a1，则是增函数，原函数在区间上是增函数，则要求对称轴0，矛盾；若0a1，则是减函数，原函数在区间上是增函数，则要求当(0t1)时，在t(0，1)上为减函数，即对称轴1，实数的取值范围是，选B.37.（浙江卷）)已知，则(A)1nm (B) 1mn (C)mn1 (D) nm1【考点分析】本题考查对数函数的性质，基础题。解析：由知函数为减函数，由得，故选择A。38.（浙江卷）对a,bR,记maxa,b=，函数f（x）max|x+1|,|x-2|(xR)的最小值是(A)0 (B) (C) (D)3解：当x1时，|x1|x1
11、，|x2|2x，因为（x1）（2x）3x1；当1x时，|x1|x1，|x2|2x，因为（x1）（2x）2x10，x12x；当xx2；故据此求得最小值为。选C39.(重庆卷)如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的倍，则函数y=f(x)的图象是 解析：如图所示，单位圆中的长为，与弦AB所围成的弓形面积的2倍，当的长小于半圆时，函数的值增加的越来越快，当的长大于半圆时，函数的值增加的越来越慢，所以函数的图像是D. 40.(重庆卷)设函数的反函数为，且的图像过点，则的图像必过（A） （B） （C） （D）解：当x时，2x10，即yf（x）的图象过点（0，1），所
12、以的图像必过（1，0）故选C。二、填空题（共14题）41.（安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若则_。解：由得，所以，则。42.（北京卷）已知函数的反函数的图象经过点（-1，2），那么a的值等于 . 解：依题意，当x2时，y1，代入中，得a243.（江西卷）设f（x）log3（x6）的反函数为f1（x），若f1（m）6f1（n）627,则f（mn）_解：f1（x）3x6故f1（m）6f1（x）63m3n3m n27mn3f（mn）log3（36）2。44.（辽宁卷）设则_【解析】.【点评】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.45.（辽宁卷）方程的解为 解：，即解得（负值舍去），所以。46
13、.（全国卷I）已知函数，若为奇函数，则_。解析：函数若为奇函数，则，即，a=.47.(上海卷)若函数（0，且1）的反函数的图像过点（2，1），则 解：由互为反函数关系知，过点，代入得：；48.(上海卷)方程的解是_.解：方程的解满足，解得x=5. 49.（浙江卷）对a,bR,记max|a,b|=函数f（x）max|x+1|,|x-2|(xR)的最小值是. 【考点分析】本题考查新定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题。解析：由，故，其图象如右，则。【名师点拔】数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养。50.(重庆卷)设，函数有最大值，则不等式的解集为 。解析：设，函数有最大值，有最小值，
14、0a1， 则不等式的解为，解得2x1，所以不等式可化为x11，即x2.52.（上海春）方程的解 . 解：由log3(2x-1)，化为同底数的对数，得log3(2x-1)=log33，2x-1=3 ，即 x=2 从而应填2.53.（上海春）函数的反函数 .解：先求原函数的值域，再反解由y=3x+5，x0,1 ，得y5,8 解出 ，从而 ，x5,8 . 从而应填 .54.（上海春）已知函数是定义在上的偶函数. 当时，则 当时， .解：当x(0,+) 时，有-x(-,0)，注意到函数f(x) 是定义在 (-,+)上的偶函数，于是，有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4 从而应填-x-x
15、4三、解答题（共6题）55.（广东卷）是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：对任意的，都有；存在常数，使得对任意的，都有.(I)设 ，证明：(II)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的；(III) 设，任取，令，证明：给定正整数，对任意的正整数，成立不等式解：(I)对任意,所以，对任意的，所以00时，函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段，由0知m(t)在上单调递增，g(a)=m(2)=a+2(2)当a=0时，m(t)=t, ,g(a)=2.(3)当a0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即则若，即则若，即则综上有 (III)解法一：情形1：当时，此时
16、，由，与a0时，此时g(a)=a+2, 由，由a0得a=1.综上知，满足的所有实数a为或a=157.（浙江卷）设f(x)=3ax,f(0)0，f(1)0，求证：()a0且-2-1；()方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根. 解析：本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。满分14分。证明：（I）因为，所以.由条件，消去，得；由条件，消去，得，.故.（II）抛物线的顶点坐标为，在的两边乘以，得.又因为而所以方程在区间与内分别有一实根。故方程在内有两个实根.58.(重庆卷) 已知定义域为R的函数满足 （I）若，求;又若，求; （II）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式
17、59.(重庆卷)已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；解析：（）因为是奇函数，所以=0，即 又由f（1）= -f（-1）知 （）解法一：由（）知，易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得：即对一切有：，从而判别式解法二：由（）知又由题设条件得：，即：，整理得上式对一切均成立，从而判别式60.（上海春） 设函数.（1）在区间上画出函数的图像；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.解：（1） （2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此. 由于. （3）解法一 当时，. ， . 又， 当，即时，取， . ， 则. 当，即时，取， . 由 、可知，当时，. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. 解法二 当时，.由 得， 令 ，解得 或， 在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点. 如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. - 19 -
