1、第三章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数y=3sin x-33cos x的最大值是()A.3+33B.43C.6D.3解析:函数y=3sin x-33cos x=6sinx-3,所求的最大值是6.答案:C2.函数y=2sin3-x-cos6+x(xR)的最小值等于()A.-3B.-2C.-1D.-5解析:y=2sin3-x-cos6+x=2cos6+x-cos6+x=cos6+x,故最小值为-1.答案:C3.计算34cos215-38等于()A.-3316B.3316C.316D
2、.-316解析:34cos215-38=38(2cos215-1)=38cos 30=3832=3316.答案:B4.函数g(x)的图像是函数f(x)=sin 2x-3cos 2x的图像向右平移12个单位长度得到的,则函数g(x)的图像的对称轴为()A.直线x=4B.直线x=3C.直线x=2D.直线x=6解析:f(x)=sin 2x-3cos 2x=2sin2x-3,其图像向右平移12个单位长度得到g(x)=2sin2x-12-3=2sin2x-2=-2cos 2x.由cos 2x=1,得2x=k(kZ),即x=k2(kZ),所以函数g(x)的图像的对称轴为直线x=k2(kZ).只有选项C符合
3、条件.答案:C5.在ABC中,C=90,则函数y=sin2A+2sin B的最值情况是()A.有最大值,无最小值B.无最大值,有最小值C.有最大值,也有最小值D.无最大值,也无最小值解析:y=sin2A+2sin B=sin2A+2cos A=1-cos2A+2cos A=-(cos A-1)2+2,而0cos A1,故函数无最大值也无最小值.答案:D6.如图,在平面直角坐标系中,已知两点A(cos 80,sin 80),B(cos 20,sin 20),则AB的长为()A.12B.22C.32D.1解析:由两点间的距离公式,得AB=(cos80-cos20)2+(sin80-sin20)2=
4、2-2(cos80cos20+sin80sin20)=2-2cos(80-20)=2-2cos60=2-212=1.答案:D7.已知向量a=(cos 2,sin ),b=(1,2sin -1),2,若ab=25,则tan+4=()A.13B.27C.17D.23解析:由ab=25,得cos 2+sin (2sin -1)=25,解得sin =35.又2,所以cos =-45,tan =-34,则tan+4=tan+tan41-tantan4=17.答案:C8.已知sin =35,523,则tan2+cos2的值为()A.1010-3B.3-1010C.-30+1010D.30+1010解析:因
5、为sin =35,523,所以cos =-45,又5420,sin x-2cos x=0.tan x=2.原式=2cosx(sinx+cosx)1+sinxcosx=2cos2x(sinx+cosx)cosx+sinx=2cos2x=2cos2xsin2x+cos2x=2tan2x+1=222+1=25.答案:C12.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x有以下四个结论:P1:最大值为2;P2:把函数f(x)=2sin 2x-1的图像向右平移4个单位长度后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的图像;P3:递增区间为k+78,k+118(kZ);P4:图像
6、的对称中心为k2+8,-1(kZ).其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:因为f(x)=2sin xcos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=2sin2x-4-1,所以最大值为2-1,所以P1错误;将f(x)=2sin 2x-1的图像向右平移4个单位长度后得到f(x)=2sin2x-4-1=2sin2x-2-1的图像,所以P2错误;由-2+2k2x-42+2k,解得-8+kx38+k(kZ),即递增区间为-8+k,38+k(kZ),所以P3正确;由2x-4=k(kZ),得x=k2+8(kZ),所以对称中心为k2+8,-1(kZ),所以P4正确.答案:B二、填
7、空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.函数y=tanx2-1sinx的最小正周期是.解析:y=1-cosxsinx-1sinx=-cosxsinx=-1tanx,T=.答案:14.函数f(x)=(sin x+cos x)2的递增区间是.解析:f(x)=(sin x+cos x)2=1+sin 2x.令-2+2k2x2+2k(kZ),得-4+kx4+k(kZ),所以f(x)的递增区间是-4+k,4+k(kZ).答案:-4+k,4+k(kZ)15.已知0,2,且tan+4=3,则log5(sin +2cos )+log5(3sin +cos )=.解析:tan+
8、4=tan+11-tan=3,tan =12,则log5(sin +2cos )+log5(3sin +cos )=log53sin2+7sincos+2cos2sin2+cos2=log53tan2+7tan+2tan2+1=log55=1.答案:116.在平面直角坐标系xOy中,已知任意角以坐标原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边,若终边经过点P(x0,y0),且|OP|=r(r0),定义:sos =y0+x0r,称“sos ”为“正余弦函数”,对于“正余弦函数”y=sos x,有同学得到以下性质:该函数的值域为-2,2;该函数的图像关于原点对称;该函数的图像关于直线x=34对称;该函数为周
9、期函数,且最小正周期为2;该函数的递增区间为2k-34,2k+4,kZ.其中正确的是.(填上所有正确性质的序号)解析:由“正余弦函数”的定义可知,y=sos x=sin x+cos x=2sinx+4,由三角函数的性质可得正确.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知tan =2.(1)求tan+4的值;(2)求sin2sin2+sincos-cos2-1的值.解(1)tan+4=tan+tan41-tantan4=tan+11-tan=2+11-2=-3.(2)sin2sin2+sincos-cos2-1=2sincossin
10、2+sincos-(2cos2-1)-1=2sincossin2+sincos-2cos2=2tantan2+tan-2=2222+2-2=1.18.(12分)若函数f(x)=1+cos2x4sin2+x-asinx2cos-x2的最大值为2,求实数a的值.解f(x)=1+cos2x4sin2+x-asinx2cos-x2=2cos2x4cosx+asinx2cosx2=12cos x+a2sin x=14+a24sin(x+),其中满足sin =11+a2,则该函数的最大值为14+a24,由已知,得14+a24=22,a2=15,a=15.19.(12分)已知函数f(x)=a(cos2x+s
11、in xcos x)+b.(1)当a0时,求f(x)的递增区间;(2)当a0),其最小正周期为2.(1)求f(x)的解析式;(2)将函数f(x)的图像向右平移8个单位长度,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图像,若关于x的方程g(x)+k=0在区间0,2上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.解(1)f(x)=3sin xcos x+cos2x-12=32sin 2x+cos2x+12-12=sin2x+6.由题意,知f(x)的最小正周期T=2,则22=2,所以=2,所以f(x)=sin4x+6.(2)将f(x)的图像向右平移8个单位长度后,得到y=sin4x-3的图像,再将所得图像所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin2x-3的图像,所以g(x)=sin2x-3.因为0x2,所以-32x-323.g(x)+k=0在区间0,2上有且只有一个实数解,即函数y=g(x)与y=-k的图像在区间0,2上有且只有一个交点,由正弦函数的图像可知-32-k32或-k=1,所以-32k32或k=-1.
