1、 1 河南省南阳市 2017-2018 学年高一数学上学期第四次月考试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：每小题 5 分 ,共 60 分 .每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.集合 A? 斜 棱 柱 ， B? 直 棱 柱 ， C? 正 棱 柱 ， D? 方 体长 则下列命题中正确的是（ ） A D B C苘 B AC? 棱 柱 C CD? 正 四 棱 柱 D BD 2.在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中三条棱长分别是 1 1AA? ， 2AB? ， 4AD? ，则从 A 点出发，沿长方体的表面到 1C 的最短距离是（ ） A 5 B 7 C 29
2、D 37 3.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰三角形组成，正方形的边长为 2 ，俯视图为等腰三角形，该 多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A 10 B 12 C 14 D 16 4.已知 ? 、 ? 是平面， m 、 n 是直线，则下列命题不正确的是（ ） A若 mn ， m? ，则 n ? B若 m? ， m ? ，则 ? C.若 m? ， mn ， n ? ，则 ? D若 m ? ， n? ，则 mn 5.如图所示，已知四边形 ABCD 的直观图是一个边长为 1的正方形，则原图形的 周长为（ ） 2 A 22 B 6 C.8 D 4 2
3、 2? 6.给出下列命题： 如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体； 如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体； 如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体； 如果 一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台 . 其中正确命题的个数是（ ） A 3 B 0 C.2 D 1 7.在空间四面体 SABC 中， SC AB? ， AC SC? ，且 ABC 是锐角三角形，那么必有（ ） A平面 SAC? 平面 SCB B平面 SAB? 平面 ABC C.平面 SCB? 平面 ABC D平面 SAC? 平面 SAB 8.四面体 S ABC
4、? 中，各个侧面都是边长为 a 的正三角形， E ， F 分别是 SC 和 AB 的中点，则异面直线 EF 与 SA 所成的角等于（ ） A 90? B 60? C.45? D 30? 9.已知函数1(1 2 ) 3 1() 21xa x a xfx x? ? ? ?， 的值域是 R ，则 a 的取值范围是（ ） A ( 0?， B 1(2?， C. 10 )2， D 1(0 )2， 10.设函数 ()fx定义在实数集上，且函数 ( 1)y f x?是偶函数，当 1x 时， () xf x a?（ 01a?），则有（ ） 3 A 11(2)32f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B
5、 11(2)23f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ?C. 11(2)32f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D 11 (2)23f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11.函数 1( ) ( )3 xf x x?的零点所在的区间为（ ） A 1(0 )3， B 11()32， C. 1( 1)2， D (1 2)， 12.已知函数 ()fx是定义在 R 上的偶函数，若方程 2( 1) | 2 3 |f x x x? ? ? ?的实根分别为1x ， 2 nxx， 12 nx x x? ? ? ?（ ） A n B n? C. 2n? D 3n? 二、填空题（每题
6、 5 分，满分 20 分，将答案填在 答题纸上） 13.如图，已知四边形 ABCD ， ABEF 都是矩形， M 、 N 分别是对角线 AC 和 BF 的中点，则 MN 与平面 BCE 的关系是 14.方程 1122lo g (9 5 ) lo g (3 2 ) 2xx? ? ? ?的解为 15.已知函数 | | 3|31() 31xx xfx ? ?（ x?R ）的最大值为 M ，最小值为 m ，则 Mm? 的值为 16.已知棱长为 1的 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， E 、 F 分别为棱 1AA 、 1BB 的中点， G 为棱 11AB 上一点，且 1AG? （
7、01?），则点 G 到平面 1DEF 的距离为 4 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， AC BC? ，点 D 是 AB 的中点 . （ 1）求证： 1BC 平面 1CAD ； （ 2）求证：平面 1CAD? 平面 11AABB . 18. 已知函数2() 1ax bfx x ? ?是 ( 1 1)?， 上的奇函数，且 12()25f ? . （ 1）求 ()fx的解析式； （ 2）判断 ()fx的单调性，并加以证明； （ 3）若实数满足 ( 1) ( ) 0f t f t?
8、 ? ?，求 t 的取值范围 . 19. 已知四棱锥 P ABCD? ，底面 ABCD 是边长为 a 的菱形且 60A? ? ? ，又 PD? 平面ABCD ，且 PD CD? ，点 M 、 N 分别是棱 AD 、 PC 的中点 . 5 （ 1）证明： DN 平面 PMB ； （ 2）证明：平面 PMB? 平面 PAD ； （ 3）求点 A 到平面 PMB 的距离 . 20. 如图 1，在直角梯形 ABEF 中（图中数字表示线段的长度），将直角梯形 DCEF 沿 CD折起，使平面 DCEF? 平面 ABCD ，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图 2. （ ）求证： BE 平面 ADF ；
9、（ ）求三棱锥 F BCE? 的体积 . 21. 如图已知平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的底面 ABC 是菱形，且11 60C C B C C D B C D? ? ? ? ? ? ? （ 1）证明： 1CC BD? ； （ 2）当1CDCC 的值为多少时能使 1AC? 平面 1CBD ？请给出证明 . 22.已知函数 2( ) 2 5f x x ax? ? ?（ 1a? ） . （ 1）若 ()fx的定义域和值域均是 1 a， ，求实数 a 的值； 6 （ 2）若 ()fx在区间 ( 2?， 上是减函数，且对任意的 1 1xa?， ，都有 ( ) 0fx ，求实数 a
10、 的取值范围； （ 3）若 2( ) 2 log ( 1)xg x x? ? ?，且对任意的 0 1x? ， ，都存在 0 0 1x ? ， ，使得0( ) ( )f x g x? 成立，求实数 a 的取值范围 . 高一月考 4 数学答案 一、选择题 1-5:CABDC 6-10:DCCCC 11、 12： BB 二、填空题 13.平行 14.2 15.2 16. 55 三、解答题 17.【解答】解：如图，（ 1）连接 1AC ，交 1AC 于点 O ，连接 DO 在 1ABC 中，点 D 是 AB 的中点，点 O 是 1AC 的中点 1BC DO ， 1BC 平面 1CAD ， DO? 平面
11、 1CAD 1BC 平面 1CAD （ 2） AC BC? ， D 是 AB 的中点， CD AB? 直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，平面 11AABB? 平面 ABC ，平面 11AABB 平面 ABC AB? CD? 平面 11AABB ，又 CD? 平面 1CAD 平面 1CAD? 平面 11AABB 18.【答案】（ 1）2() 1xfx x? ?， ( 1 1)x?， ；（ 2） ()fx在 ( 1 1)?， 上递增；证明见解析；（ 3） 1 12 t? 试题解析：（ 1）由已知得(0) 0112212514fbabf? ? ? ?，解得 10ab?2() 1xfx x?
12、?， ( 1 1)x?， （ 2）设 1x ， 2 ( 1 1)x ?， ，且 12xx? ，则7 1212 2212( ) ( ) 11xxf x f x xx? ? ?221 2 2 112( 1) ( 1)( 1)( 1)x x x xxx? ? ? ? 221 2 2 1 1 22212( 1)( 1)x x x x x xxx? ? ? ?1 2 1 22212( )(1 )( 1)( 1)x x x xxx? ? 1x ， 2 ( 1 1)x ?， 1210xx?，又 12xx? 12( ) ( ) 0f x f x?， 12( ) ( )f x f x? ()fx在 ( 1 1)
13、?， 上递增 . （ 3） ( 1) ( ) 0f t f t? ? ?， ( 1) ( )f t f t? ? ，函数 ()fx为奇函数，( 1) ( )f t f t? ? ? . 又函数 ()fx在 ( 1 1)?， 上为增递增， 1 1 1111tttt? ? ? ? ? ? ?，即021112ttt? ? ? ? ?解得 1 12 t? ，实数 t 的取值范围为 1( 1)2， 19.（ 1）证明：取 PB 中点 Q ，连接 MQ 、 NQ ， 因为 M 、 N 分别是棱 AD 、 PC 中点， 所以 QN BC MD ，且 QN MD? ，于是 DN MQ . ?P M B D N
14、D N M QMQ P M BD N P M B? ?平 面 平 面平 面 （ 2） P A B C D P D M BM B A B C DD ? ? ? 平 面平 面又因为底面 ABCD 是 60A? ? ? ，边长为 a 的菱形，且 M 为 AD 中点，所以 MB AD? . 又 AD PD D? ， 所以 MB? 平面 PAD PAD P M B P A DM B P M BMB ? ? ? ?平 面 平 面 平 面平 面（ 3）因为 M 是 AD 中点，所以点 A 与 D 到平面 PMB 等距离 . 过点 D 作 DH PM? 于 H ，由（ 2）平面 PMB? 平面 PAD ，所以
15、 DH? 平面 PMB . 8 故 DH 是点 D 到平面 PMB 的距离 . 52552a aDH aa? 点 A 到平面 PMB 的距离为 55a . 20. 证明：（ ）证法一：取 DF 中点为 G ，连结 AG ， EG 中 12CE DF? ， EG CD 且 EG CD? 又 AB CD 且 AB CD? ， EG AB 且 EG AB? 四边形 ABEG 为平行四边形， BE AG BE? 平面 ADF ， （ ）解法 1： F BCE B CEFVV? 由图 1 可知 BC CD? 平面 DCEF? 平面 ABCD ，平面 DCEF 平面 ABCD CD? ， BC? 平面 A
16、BCD ， BC? 平面 DCEF ，由图 1 可知 1DC CE?， 1122C E FS C E D C? ? ? ?所以 1136F B C E B C E F C E FV V B C S? ? ? ? ?解法 2：由图 1 可知 CD BC? ， CD CE? ， BC CE C? CD? 平面 BCE ， DF DC 9 点 F 到平面 BCE 的距离等于点 D 到平面 BCE 的距离为 1， 由图 1 可知 1BC CE?， 1122BC ES BC C E? ? ?， 1136F B C E B C EV C D S? ? ? ? ?21.本小题主要考查直线与直线直线与平面的关
17、系，逻辑推理能力，满分 12 分 （ ）证明：连结 11AC ， AC ， AC 和 BD 交于 O ，连结 1CO 四边形 ABCD 是菱形 AC BD? ， BC CD? 又 11BCC DCC? ? ? ， 11CC CC? 11C BC C DC ， 11CB CD? DO OB? ， 1CO BD? ，又 AC BD? ， 1AC CO O? BD? 平面 1AC 又 1CC? 平面 1AC 1CC BD? （ ）当1 1CDCC? 时，能使 1AC? 平面 1CBD 证明一：1 1CDCC? ， 1BC CD CC?，又 11B C D C C B C C D? ? ? ? ? 由此可推得 11BD C B C D? 三棱锥 1C CBD? 是正三棱锥 . 设 1AC 与 1CO相交于 G . 11AC AC ，且 11: 2:1AC OC ? 1 : 2:1CO GO? 又 1CO是正三角形 1CBD 的 BD 边上的高和中线， 点 G 是正三角形 1CBD 的中心 . CG? 平面 1CBD 即 1AC? 平面 1CBD 10 当1 1CDCC? 时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可得 11BC AC? 又 1BD BC B? 1AC? 平面 1CBD 22.【答案】（ 1） 2a
