1、 向量运算在几何证明与计算中的应用向量运算在几何证明与计算中的应用.掌握利用向量运算解几何题的方法掌握利用向量运算解几何题的方法.解简单的立体几何问题解简单的立体几何问题.教学目标教学目标知识目标知识目标 培养学生学会从培养学生学会从“感性认识感性认识”到到“理性认识理性认识”过程中获取新知过程中获取新知.注重数形结合，掌握解析法研究几注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法何问题的一般方法.充分利用学生已有的解决平面几何充分利用学生已有的解决平面几何问题的知识基础，对新旧知识进行问题的知识基础，对新旧知识进行类比，达到温故知新的效果类比，达到温故知新的效果.能力目标能力目标情感目标情感
2、目标 理解并掌握向量方法解决立体几何理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法（问题的一般方法（“三步曲三步曲”）.建立立体图形与空间向量之间的联系，建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题把立体几何问题转化为向量问题.教学重难点教学重难点重点重点难点难点 一般的，由直线、平面的位置关系以及一般的，由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳如下结论：如下结论：设直线设直线l、m的方向向量分别为的方向向量分别为a、b，平面，平面，的法向量分别为的法向量分别为u，v，则，则线线平行：线线平行：l/m a/b a=k
3、b；线面平行：线面平行：l/au au=0;面面平行：面面平行：/u/v u=kv.线线垂直：线线垂直：lm ab ab=0线面垂直：线面垂直：l a/u a=ku面面垂直：面面垂直：uv uv=0线线垂直：线线垂直：l,m的夹角为的夹角为(0)cos=线面垂直：线面垂直：l,的夹角为的夹角为(0)sin=面面垂直：面面垂直：,的夹角为的夹角为(0)cos=|a bab|a uau|u v|u|v|注意注意：（1）这里的线线平行平行包这里的线线平行平行包括重合，线面平行包括线在面括重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合内，面面平行包括面面重合.（2）这里的线线夹角、线面这里的线线夹角
4、、线面夹角、面面夹角都是按照相关夹角、面面夹角都是按照相关定义给出的，即定义给出的，即二面角二面角的大小是指其两个半平面的张开程度的大小是指其两个半平面的张开程度.仿照仿照“平面与平面平行的判定定理平面与平面平行的判定定理”的的证明证明,我们得出以下两个判定定理：我们得出以下两个判定定理：直线与平面平行的判定定理：直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行平面外一条直线与此平面内的一条直线平行平面与平面垂直的判定定理：平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直面垂直.立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法
5、“三步曲三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题体几何问题转化为向量问题.（2）进行向量运算，研究点、直线、平面之间进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系（距离和夹角等的关系（距离和夹角等).（3）根据运算结果的几何意义来解释相关问题根据运算结果的几何意义来解释相关问题.解：解：化为向量问题：化为向量问题：，进行向量运算：进行向量运算：如图，如图，M、N分别是棱长为分别是棱长为1的正的正方体方体 的棱的棱 ，的的中点，求异面直线中点，求异面
6、直线MN与与 所成的角所成的角ABCDA B C DBBB CCDMN1()2CCBCCDMN CD 1()2CCBC()CCCD(|)CCCC CDBC CCBC CD212 CCCD MNDABCD AB C 例例 1 ，回到图形问题：回到图形问题：求得求得 cos CCCDCCBCBCCD0CC CD 0BC CC 0BC CD MN CD 122|CC12,MN CD 12,MN CD 60MNDABCD AB C 我们同样可以用向量法求解，我们同样可以用向量法求解，解答过程如下：解答过程如下：如右图：将如右图：将F1分解为一个向上的分力分解为一个向上的分力F11和和一个指向钢板重心的
7、分力一个指向钢板重心的分力F12，这两个分力，这两个分力互相垂直互相垂直.F=F1cos60=F1，F12=F11=对对F2,F3可以得到同样大的向上的分力，因可以得到同样大的向上的分力，因此合力为此合力为 .cosFF1130312FFF22112123F123200 63F12F11F1F 在上节课中我们提到用坐标法来解在上节课中我们提到用坐标法来解决立体几何问题，这节课，我们结合向量决立体几何问题，这节课，我们结合向量法和坐标法来解决例题几何问题，由于法法和坐标法来解决例题几何问题，由于法向量对坐标法有着极其重要的作用向量对坐标法有着极其重要的作用.让我们首先回顾让我们首先回顾法向量法向
8、量的定义：的定义：法向量法向量定义：如果直线定义：如果直线l ,取直线取直线l的的方向向量为方向向量为 ，则向量，则向量 叫作平面叫作平面的法的法向量利用法向量，可以巧妙的解决空间角向量利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离度和距离.AB n利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离.讨论：讨论：如何利用法向量求线面角？如何利用法向量求线面角？面面角？面面角？直线直线AB与平面与平面所成的角所成的角，可看成是向量，可看成是向量所在直线与平面所在直线与平面的法向量所在直线夹角的余角，的法向量所在直线夹角的余角，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的从而
9、求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的法向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的余弦公式余弦公式 ，我们可以得到如下，我们可以得到如下 向量法的公式向量法的公式：abcos a,b=ab ABnsin=cos AB,n=ABn 长方体长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，AD=AA1=2，AB=4，E、F分别是分别是A1D1、AB的中点，的中点，O是是BC1,B1C的交点的交点.求直线求直线OF与与平面平面DEF所成角的正弦所成角的正弦.解：解：以点以点D为空间直角坐标系的为空间直角坐标系的原点，原点，DA、DC、DD1为坐标轴为坐标轴建立如图所示的
10、空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系.则则D(2,2,0),E(1,0,2),F(2,2,0),O(1,4,1),C(0,4,0),设平面设平面DEF的法向量为的法向量为(,)nx y z例例 2 则则 ，而，而 ，即，即 ，解得：解得：x：y：z=-2：2：1，而，而所以，直线所以，直线OF与平面与平面DEF所成角的正弦为所成角的正弦为 n nD DE En nD DF FDE=(1,0,2)DE=(1,0,2)D DF F=(2 2,2 2,0 0)ngDE=0ngDE=0ngDF=0ngDF=0 x x+2 2z z=0 02 2x x+2 2y y=0 0(2,2,1)n n O
11、F=|n|OF|cosOF=|n|OF|cos OF=(1,-2,-1)OF=(1,-2,-1)()()cos|()()()n OFnOF 222222 122117 618221121 7 618OP3.2-1（1）laAPB3.2-1（2）（1）取一点取一点O为基点，空间中为基点，空间中任任 意一点意一点P的位置就可以用向的位置就可以用向量量 来表示来表示.如图如图3.2-1（1）OP（2）空间任意一条直线空间任意一条直线l的位置的位置可以由可以由l上的一个定点上的一个定点A以及一以及一个定方向确定个定方向确定.如图如图3.2-1（2）AP=tAB课堂小结课堂小结bOPalaA3.2-1（
12、4）3.2-1（3）（3）空间中平面空间中平面 的位置可的位置可以由以由 内的两条相交直线来内的两条相交直线来确定确定.如图如图3.2-1（3）（4）如图如图3.2-1（4），直，直线线l ，去直线，去直线l的方向的方向a，则，则向量向量a叫做叫做平面的法向量平面的法向量OPxy ab 一般的，由直线、平面的位置关系以及直一般的，由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳如下线的方向向量和平面的法向量，可以归纳如下结论：结论：设直线设直线l、m的方向向量分别为的方向向量分别为a、b，平面，平面，的法向量分别为的法向量分别为u，v，则，则线线平行：线线平行：l/m a/b
13、a=kb；线面平行：线面平行：l/au au=0;面面平行：面面平行：/u/v u=kv.线线垂直：线线垂直：lm ab ab=0线面垂直：线面垂直：l a/u a=ku面面垂直：面面垂直：uv uv=0线线垂直：线线垂直：l,m的夹角为的夹角为(0)cos=线面垂直：线面垂直：l,的夹角为的夹角为(0)sin=面面垂直：面面垂直：,的夹角为的夹角为(0)cos=|a bab|a uau|u v|u|v|直线与平面平行的判定定理：直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行平面外一条直线与此平面内的一条直线平行平面与平面垂直的判定定理：平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另
14、一个平面的垂线，则这两个平一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直面垂直.法向量法向量定义：如果直线定义：如果直线l ,取直线取直线l的方向的方向向量为向量为 ，则向量，则向量 叫作平面叫作平面的法向量利用的法向量利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离.a a 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法“三步曲三步曲”：（1）建立立体图形与空白键向量的联系，用空建立立体图形与空白键向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题立体几何问题转化为向量问题.（2）进行向量运算，研究点
15、、直线、平面之间进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系的关系(距离和夹角等距离和夹角等).（3）根据运算结果的几何意义来解释相关问题根据运算结果的几何意义来解释相关问题.1下列命题中，假命题是（下列命题中，假命题是（）A若若a、b是异面直线，是异面直线，则则一定存在平面过一定存在平面过a且与且与b平行平行B若若a、b是异面直线，是异面直线，则则一定存在平面过一定存在平面过a且与且与b垂直垂直C若若a、b是异面直线，是异面直线，则则一定存在平面与一定存在平面与a、b所成角相等所成角相等D若若a、b是异面直线，是异面直线，则则一定存在平面与一定存在平面与a、b的距离相等的距离相等B课堂练习课堂
16、练习 2.下列命题中，真命题是（下列命题中，真命题是（）若直线若直线m、n都平行于都平行于则则m/nB.设设 l-是直二面角，若直线是直二面角，若直线m l则则m C.若若m、n在平面在平面内的射影依次是一个点和一条内的射影依次是一个点和一条直线，且直线，且m n，则，则 或或n/D.若直线若直线m、n是异面直线，是异面直线，m/，则，则n与与相交相交nC 二、填空题二、填空题1.已知正四棱锥已知正四棱锥PABCD的高为的高为4，侧棱长，侧棱长与底面所成的角为与底面所成的角为60，则该正四棱锥的侧，则该正四棱锥的侧面积是面积是 2.已知已知,是三个互不重合的平面，是三个互不重合的平面，是一条直
17、线，给出下列四个命题：是一条直线，给出下列四个命题：若若 ，l，则则l/若若l l，l/则则 若若l上有两个点到上有两个点到的距离相等，则的距离相等，则l/若若 ,/,则则 其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是_ 32 73 解答题解答题 1.如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥P-ABCD，底面，底面ABCD为菱形，为菱形，PA平面平面ABCD，ABC=60,E，F分别是分别是BC,PC的中点的中点.（）证明：）证明：AEPD;（）若）若H为为PD上的动点，上的动点，EH与平面与平面PAD所成最大角的正切值为所成最大角的正切值为 ，求二面角，求二面角EAFC 的余弦值的余弦值.62 （）证明
18、：）证明：由四边形由四边形ABCD为菱形，为菱形，ABC=60，可得，可得ABC为正三角形为正三角形.因为因为E为为BC的中点，所以的中点，所以AEBC.又又 BCAD，因此，因此AEAD.因为因为PA平面平面ABCD，AE 平面平面ABCD，所以所以PAAE.而而PA 平面平面PAD，AD 平面平面PAD 且且PAAD=A，所以所以 AE平面平面PAD，又，又PD 平面平面PAD.所以所以 AEPD.（）由（由（）知）知AE，AD，AP两两两两垂直，以垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又间直角坐标系，又E、F分别为分别为BC、PC的中的中点，所以
19、点，所以E、F分别为分别为BC、PC的中点，所以的中点，所以A(0,0,0)，B(,-1,0)C(C,0,0)，D(0,2,0)P(0,0,2)，E(,0,0)F()所以所以设平面设平面AEF的一法向量为的一法向量为m(x1,y1,z1)31,1223 1(3,0,0),(,1).22AEAF 33则则 因此因此取取 z1=1则则 m=（0，2，-1）因为因为 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以所以 BD平面平面AFC故故 为平面为平面AFC的一法向量的一法向量.又又 =（-），），所以所以 cos m,=因为因为 二面角二面角E-AF-C为锐角，为锐角，所以所求二面角的余弦值为所以所求二
20、面角的余弦值为0,0,m AEm AF 111130,310.22xxyzBD BD 3,3,0BD 2 315.5|512m BDmBD 15.5 2.如图，在三棱柱如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，中，AB侧面侧面BB1C1C，E为棱为棱CC1上异于上异于C、C1的一点，的一点，EAEB1，已知，已知AB=，BB1=2，BC=1，BCC1=，求：，求：?C?1?B?1?A?B?C?A?1?E（）异面直线）异面直线AB与与EB1的距离；的距离；（）二面角）二面角AEB1A1的平面角的正切值的平面角的正切值2 3 3?C?1?B?1?A?B?C?A?1?E?x?z?y3 解（解（I）以以B为
21、原点，为原点，、分别为分别为y、z轴轴建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系 由于由于BC=1，BB1=2，AB=,BCC1=在三棱柱在三棱柱ABCA1B1C1中有中有B（0，0，0），），A（0，0，）B1（0，2，0），），1BBBA2)0,23,23(),0,21,23(1CC2设设又又AB面面BCC1B1，故，故ABBE 因此因此BE是异面直线是异面直线AB、EB1的公垂线，的公垂线，113E(,a,0),EAEB,EAEB=0,2由得即 330=(-,-a,2)(-,2-a,0)22233=+a(a-2)=a-2a+,441113133 1(a-)(a-)=0,a=a=(),E(,0)2222223 13333BE EB=(,0)(-0)=-+=0,BEEB.222244得即或舍去 故即 则，则，故异面直线故异面直线AB、EB1的距离的距离1（II）由已知有）由已知有故二面角故二面角A-EB1-A1的平面角的平面角的大小为向量的夹角的大小为向量的夹角31|BE|=+=144,1111EBABEBEA11111131B A=BA=(0,0,2),EA=(-,-,2),22EA B A2cos=,|EA|B A|32tan=.2因故即?C?1?B?1?A?B?C?A?1?E?x?z?y
