1、极差极差、方差方差、标准差、标准差20.2数据的波动程度 小明初一时对数学不感兴趣，遇到问题不爱动脑筋，作业能做就做，小明初一时对数学不感兴趣，遇到问题不爱动脑筋，作业能做就做，不会做就不做，因此他的数学成绩不太好，初一的一学年中四次考试的不会做就不做，因此他的数学成绩不太好，初一的一学年中四次考试的数学成绩分别是数学成绩分别是7575、7878、7777、7676初一暑假时，小明参加了科技活动小初一暑假时，小明参加了科技活动小组，在活动中，小明体会到学好数学的重要性，逐渐对数学产生了兴趣，组，在活动中，小明体会到学好数学的重要性，逐渐对数学产生了兴趣，遇到问题时从多方面去思考，深入钻研因此小
2、明的数学成绩进步很快，遇到问题时从多方面去思考，深入钻研因此小明的数学成绩进步很快，初二的一学年中，小明在四次考试的数学成绩是初二的一学年中，小明在四次考试的数学成绩是8080、8585、9292、9595 看完这则例子，看完这则例子，你以为在这些数据中最能反映小明数学成绩进步的你以为在这些数据中最能反映小明数学成绩进步的是哪两个数据是哪两个数据?两者相差多少两者相差多少?最低：最低：75 最高最高 9595-75=20 在某旅游景区上山的一条小路上，有在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续高低不等的台阶。如图是其一些断断续续高低不等的台阶。如图是其中的中的甲甲、乙乙两段台阶路的示意图。
3、请你用两段台阶路的示意图。请你用极差的知识说说，哪段台阶路走起来更舒极差的知识说说，哪段台阶路走起来更舒服？为什么？服？为什么？151616141415111518171019甲甲乙乙解：甲段台阶走起来更舒服些解：甲段台阶走起来更舒服些 因为甲段台阶的极差为因为甲段台阶的极差为2，乙段台阶，乙段台阶的极差为的极差为8。甲段台阶的极差比乙段台阶。甲段台阶的极差比乙段台阶的极差小。的极差小。一组数据中的最大的数据与最小的数据的一组数据中的最大的数据与最小的数据的差叫做这组数据的差叫做这组数据的极差极差。极差极差=最大值最大值-最小值最小值 极差是最简单的一种度量数据波动极差是最简单的一种度量数据波
4、动情况的量情况的量,能够反映数据的波动范围。能够反映数据的波动范围。1424191620241014252051424191620问题问题1:1:你会计算一组数据的变化范围吗？你会计算一组数据的变化范围吗？怎么算怎么算?最大值最小值最大值最小值极差极差问题问题3:问题问题2:班级里个子最高的学生比个子最矮的学生高多少？班级里个子最高的学生比个子最矮的学生高多少？家庭中年纪最大的长辈比年纪最小的孩子大多少？这些家庭中年纪最大的长辈比年纪最小的孩子大多少？这些都是求极差的例子都是求极差的例子1.在数据统计中在数据统计中,能反映一组数据变化范围大小的指标是能反映一组数据变化范围大小的指标是()A 平
5、均数平均数 B 众数众数 C 中位数中位数 D 极差极差D2.数据数据 0,-1,3,2,4 的极差是的极差是.54.数据数据 -1,3 ,0,x 的极差是的极差是 5,则则 x=.-2 或或 43.某日最高气温是某日最高气温是4,温差是温差是 9,则最低气温是则最低气温是.-51.1.试计算下列两组数据的极差：试计算下列两组数据的极差：A A组：组：0,5,5,5,5,5,5,5,10,50,5,5,5,5,5,5,5,10,5；B B组：组：4,6,3,7,2,8,1,9,5,114,6,3,7,2,8,1,9,5,11 练习练习2 2：不能准确的衡量数据中的波动程不能准确的衡量数据中的波
6、动程度。度。老师的烦恼老师的烦恼甲、乙两个同学本学期五次测验的数学成绩分别如下甲、乙两个同学本学期五次测验的数学成绩分别如下（单位：分）（单位：分）下星期三就要数学竞赛了，甲，乙两名同学只能从中挑选一个下星期三就要数学竞赛了，甲，乙两名同学只能从中挑选一个参加。若你是老师，你认为挑选哪一位比较适宜？参加。若你是老师，你认为挑选哪一位比较适宜？)(90)(90_分分分分乙乙甲甲 xx80859095100成绩（分）成绩（分）现要挑选一名同学参加竞现要挑选一名同学参加竞 赛，若你是老师，你认为挑赛，若你是老师，你认为挑 选哪一位比较适宜？为什么？选哪一位比较适宜？为什么？请分别计算两名同学的平均成
7、绩；请分别计算两名同学的平均成绩；请根据这两名同学的成绩在请根据这两名同学的成绩在 下图中画出折线统计图；下图中画出折线统计图；012345甲，乙两名同学的测试成绩统计如下：甲，乙两名同学的测试成绩统计如下：考试次数考试次数老师的烦恼老师的烦恼)(90)(90_分分分分乙乙甲甲 xx甲同学成绩与平均成绩的偏差的和：甲同学成绩与平均成绩的偏差的和：乙同学成绩与平均成绩的偏差的和：乙同学成绩与平均成绩的偏差的和：（85-90）+（90-90）+（90-90）+（90-90）+（95-90）=0（95-90）+（85-90）+（95-90）+（85-90）+（90-90）=0甲同学成绩与平均成绩的偏
8、差的平方和：甲同学成绩与平均成绩的偏差的平方和：乙同学成绩与平均成绩的偏差的平方和：乙同学成绩与平均成绩的偏差的平方和：（85-90）2+（90-90）2+（90-90）2 +（90-90）2+（95-90）2 =50（95-90）2+（85-90）2+（95-90）2 +（85-90）2+（90-90）2 =100上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？与考试次数有关！与考试次数有关！所以要进一步用所以要进一步用各偏差平方的平均数各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性来衡量数据的稳定性设一组数据设一组数据x1、x2、xn中，各数据与它们的平均数的差的平方分别
9、是中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1x)2、(x2x)2、(xnx)2，那么我们用它们的平均数，即用，那么我们用它们的平均数，即用S2=(x1x)2(x2x)2 (xnx)2 1n甲，乙两名射击手现要挑选一名射击手甲，乙两名射击手现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？一位比较适宜？教练的烦恼教练的烦恼甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：请分别计算两名射手的平均成绩；请分别计算两名射手的平均成绩；教练的烦恼教练的烦恼乙x=8（环）=8（环）甲甲x012234546810甲，乙两名射击手的
10、测试成绩统计如下：甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：成绩（环）成绩（环）射击次序射击次序 请分别计算两名射手的平均成绩；请分别计算两名射手的平均成绩；请根据这两名射击手的成绩在请根据这两名射击手的成绩在 下图中画出折线统计图；下图中画出折线统计图；教练的烦恼教练的烦恼012234546810甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：成绩（环）成绩（环）射击次序射击次序 请分别计算两名射手的平均成绩；请分别计算两名射手的平均成绩；请根据这两名射击手的成绩在请根据这两名射击手的成绩在 下图中画出折线统计图；下图中画出折线统计图；现要挑选一名射击手参加比现要挑选一名射
11、击手参加比 赛，若你是教练，你认为挑赛，若你是教练，你认为挑 选哪一位比较适宜？为什么？选哪一位比较适宜？为什么？教练的烦恼教练的烦恼甲射击成绩与平均成绩的偏差的和：甲射击成绩与平均成绩的偏差的和：乙射击成绩与平均成绩的偏差的和：乙射击成绩与平均成绩的偏差的和：（7-8）+（8-8）+（8-8）+（8-8）+（9-8）=0（10-8）+（6-8）+（10-8）+（6-8）+（8-8）=0（10-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2+（8-8）2=（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2=甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：甲射击成绩与平均成绩的偏差的平
12、方和：乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：找到啦！有区别了！找到啦！有区别了！216上述各偏差的平方和的大小还与什么上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？有关？与射击次数有关！与射击次数有关！进一步用进一步用各偏差平方的平均数各偏差平方的平均数来衡来衡量数据的稳定性量数据的稳定性 在样本容量相同的情况下在样本容量相同的情况下 方差越小，波动越小，越稳定方差越小，波动越小，越稳定.方差越大，波动越大，越不稳定方差越大，波动越大，越不稳定.方差意义方差意义(或作用或作用）：用来衡量一批数据的波动大小用来衡量一批数据的波动大小.(即这批即这批数据偏离平均数的大小数
13、据偏离平均数的大小).S2=(x1x)2(x2x)2 (xnx)2 1n方差方差定义定义:各数据与它们的平均数的差的平方的平均数各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.v 计算方差的计算方差的步骤步骤可概括为可概括为“先平均，后求差，平方后，再先平均，后求差，平方后，再平均平均”.；02s.0212xxxsn，则 练习：练习：1 1。样本方差的作用是（。样本方差的作用是（）（A)A)表示总体的平均水平表示总体的平均水平 （B B）表示样本的平均水平）表示样本的平均水平 （C C）准确表示总体的波动大小）准确表示总体的波动大小 （D D）表示样本的波动大小）表示样本的波动大小 2.2.在样本方差
14、的计算公式在样本方差的计算公式 数字数字10 10 表示（表示（）数字）数字2020表示（表示（）3.3.一个样本的方差是零，若中位数是一个样本的方差是零，若中位数是a,a,则它的平均数是（则它的平均数是（）（A A）等于）等于 a (B)a (B)不等于不等于a (C)a (C)大于大于a (Da (D）小于）小于a a 4.4.从种植密度相同的甲、乙两块玉米地里从种植密度相同的甲、乙两块玉米地里,各抽取一个容量足够大各抽取一个容量足够大 的的 样本样本,分别统计单株玉米的产量分别统计单株玉米的产量.结果结果:=下列下列 给出对两块玉米地的五种估计给出对两块玉米地的五种估计,哪几种是有道理的
15、哪几种是有道理的?(1)(1)甲块田平均产量较高甲块田平均产量较高 (2)(2)甲块田单株产量比较稳定甲块田单株产量比较稳定 (3)(3)两块田平均产量大约相等两块田平均产量大约相等 (4)(4)两块田总产量大约相等两块田总产量大约相等 (5)(5)乙块田总产量较高乙块田总产量较高)20(2.)20(22)20(121012sxnxxs2甲s2乙x甲x乙D样本容量样本容量样本平均数样本平均数A 练习：练习：1 1。样本方差的作用是（。样本方差的作用是（）（A)A)表示总体的平均水平表示总体的平均水平 （B B）表示样本的平均水平）表示样本的平均水平 （C C）准确表示总体的波动大小）准确表示总
16、体的波动大小 （D D）表示样本的波动大小）表示样本的波动大小 2.2.在样本方差的计算公式在样本方差的计算公式 数字数字10 10 表示（表示（）数字）数字2020表示（表示（）3.3.一个样本的方差是零，若中位数是一个样本的方差是零，若中位数是a,a,则它的平均数是（则它的平均数是（）（A A）等于）等于 a (B)a (B)不等于不等于a (C)a (C)大于大于a (Da (D）小于）小于a a 4.4.从种植密度相同的甲、乙两块玉米地里从种植密度相同的甲、乙两块玉米地里,各抽取一个容量足够大各抽取一个容量足够大 的的 样本样本,分别统计单株玉米的产量分别统计单株玉米的产量.结果结果:
17、=下列下列 给出对两块玉米地的五种估计给出对两块玉米地的五种估计,哪几种是有道理的哪几种是有道理的?(1)(1)甲块田平均产量较高甲块田平均产量较高 (2)(2)甲块田单株产量比较稳定甲块田单株产量比较稳定 (3)(3)两块田平均产量大约相等两块田平均产量大约相等 (4)(4)两块田总产量大约相等两块田总产量大约相等 (5)(5)乙块田总产量较高乙块田总产量较高(1)有有5个数个数1，4，a,5,2的平均数是的平均数是a，则这个，则这个 5个数的方差是个数的方差是_.(2)绝对值小于绝对值小于 所有整数的方差是所有整数的方差是_.(3)一组数据：一组数据：a,a,a,-,a (有有n个个a)则
18、它的方差为则它的方差为_;220 注意几点（1）研究离散程度可用2S（2）方差应用更广泛衡量一组数）方差应用更广泛衡量一组数 据的波动据的波动大小大小（3）方差主要应用在平均数相等或接近时）方差主要应用在平均数相等或接近时（4）方差大波动大，方差小波动小，一般选波）方差大波动大，方差小波动小，一般选波动小的动小的农科院对甲农科院对甲,乙两种甜玉米各用乙两种甜玉米各用10块试验田进行块试验田进行试验试验,得到两个品种每公顷产量的两种数据得到两个品种每公顷产量的两种数据:根据这些数据，应为农科院选择甜玉米种子提出怎样的根据这些数据，应为农科院选择甜玉米种子提出怎样的建议？建议？说明在说明在试验田试
19、验田中中,甲甲,乙两种甜玉米的平均产量相差不大乙两种甜玉米的平均产量相差不大,由此估计在由此估计在这个地区这个地区种植这两种甜玉米种植这两种甜玉米,它们的平均产量它们的平均产量相差不大相差不大.用计算器算得样本数据的平均数是：用计算器算得样本数据的平均数是：X甲甲7.54X乙乙7.52用计算器算得样本数据的方差是：用计算器算得样本数据的方差是：S2甲甲0.01,S2乙乙0.002 得出得出 S2甲甲S2乙乙说明在试验田中说明在试验田中,乙种甜玉米的产量比较稳定乙种甜玉米的产量比较稳定,进而可以推测要进而可以推测要这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲的稳定这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲的稳定.综合
20、考虑甲乙两个品种的产量和产量的稳定性综合考虑甲乙两个品种的产量和产量的稳定性,可以推测这可以推测这个地区更适合种植乙种甜玉米个地区更适合种植乙种甜玉米.解：解：甲团乙团166816821671661652164163165816716631652164163乙甲xx75.2836.18)166168()166164()166163(16516716516416516322222222ss乙甲）（）（）（.22员的身高更整齐可知，甲芭蕾舞团女演由乙甲ss 1.1.计算下列各组数据的方差：计算下列各组数据的方差：（1）6 6 6 6 6 6 6；（2）5 5 6 6 6 7 7；（3）3 3 4
21、6 8 9 9；（4）3 3 3 6 9 9 9；练习二 2.一个样本的方差是零，若中位数是一个样本的方差是零，若中位数是a,则它的平均数是（则它的平均数是（）（A）等于）等于 a (B)不等于不等于a (C)大于大于a （D）小于）小于 a 3.从种植密度相同的甲、乙两块玉米地里从种植密度相同的甲、乙两块玉米地里,各抽取一个容量足够大的样本各抽取一个容量足够大的样本,分分别统计单株玉米的产量别统计单株玉米的产量.结果结果:=,下列下列 给出对两块玉米地的五种估计给出对两块玉米地的五种估计,哪几种是有道理的哪几种是有道理的?(1)甲块田平均产量较高；甲块田平均产量较高；(2)甲块田单株产量比较
22、稳定甲块田单株产量比较稳定(3)两块田平均产量两块田平均产量大约相等大约相等；(4)两块田总产量大约相等；两块田总产量大约相等；(5)乙块田总产量较高。乙块田总产量较高。答案：答案：（3）（）（4）s2甲s2乙x甲x乙A小明的烦恼小明的烦恼在学校，小明本学期五次测验的数学成绩和英语成绩分别如下在学校，小明本学期五次测验的数学成绩和英语成绩分别如下（单位：分）（单位：分）通过对小明的两科成绩进行分析，你有何看法？对小明的学习通过对小明的两科成绩进行分析，你有何看法？对小明的学习你有什么建议？你有什么建议？平均数平均数:都是都是85方差方差:数学数学 110;英语英语 10建议：英语较稳定但要提高
23、建议：英语较稳定但要提高;数学不够稳定有待努力进步数学不够稳定有待努力进步!._,1313131322.2._2223.143214321321321方差是的平均数是、，则，方差是平均数是、数据的平均数是、，则、的平均数是、数据xxxxxxxxxxxxxx例例2：为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条：为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行件下对他们的电脑知识进行10次测验，成绩（单位：分）如下：次测验，成绩（单位：分）如下：（1）填写下表：）填写下表：84900.514.4（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩
24、进行评价）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价从众数看，甲成绩的众数为从众数看，甲成绩的众数为84分，乙成绩的众数是分，乙成绩的众数是90分，乙的成绩比甲好；分，乙的成绩比甲好；从方差看，从方差看，s2甲甲=14.4，s2乙乙=34，甲的成绩比乙相对稳定；，甲的成绩比乙相对稳定；从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是84分，两人成绩一样好；分，两人成绩一样好；从频率看，甲从频率看，甲85分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好。分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好。;,.256,17222222甲组较优度看从数据的离散程度的角
25、因为）（乙甲乙甲ssss2、某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎，为了保持公司信誉，公司严把鸡腿的进货质量，现有甲、某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎，为了保持公司信誉，公司严把鸡腿的进货质量，现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近，快餐公司决定通过乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近，快餐公司决定通过检查鸡腿的重量来确定选购哪家公司的鸡腿，检查人员以两家的鸡腿中各抽取检查鸡腿的重量来确定选购哪家公司的鸡腿，检查人员以两家的鸡腿中各抽取15个鸡腿，记录它们个鸡腿，记录它们的质量如下（单位：的质量如下（单位：g）：）：甲甲 74
26、 74 75 74 76 73 76 73 76 75 78 77 74 72 73乙乙 75 73 79 72 76 71 73 7278 74 77 78 80 71 75根据上面的数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？根据上面的数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？7.7415737274757474 甲x9.7415757172797375 乙x62.27.74737.74747.74741512222 甲s2.89.74759.74739.74751512222 乙s22乙甲ss因为 ，所以选择甲厂鸡腿加工。标准差的定义标准差的定义 为了使得与数据单位一致，可用方差的
27、为了使得与数据单位一致，可用方差的算术平方根来表示（即标准差）：算术平方根来表示（即标准差）：，S为标准差。为标准差。22221)()()(1xxxxxxnSn特殊的：如果方差与标准差为零，说明数据特殊的：如果方差与标准差为零，说明数据都没有偏差，即每个数都一样都没有偏差，即每个数都一样。一般来说，一组数据的方差或标准差越小，这组数据离散程度越小，一般来说，一组数据的方差或标准差越小，这组数据离散程度越小，这组数据就越稳定。这组数据就越稳定。练习：2.一组数据的一组数据的7、8、9、10、11、12、13的方差是的方差是_.标准差是标准差是_.3.已知一组数据已知一组数据-1，x，0，1，-2
28、的平均数的平均数是是0，那么这组数据的方差是，那么这组数据的方差是_.（探究题）已知数据（探究题）已知数据x1、x2、x3、x4、x5的的平均数是平均数是2，方差是，方差是 ，那么另一组数据那么另一组数据2x11，2x21，2x31，2x41，2x51的的平均数和方差分别是（平均数和方差分别是（）A、2，B、4，C、2，D、3，31313132D34总结：总结：若若x1，x2，x3，x4，xn方差为方差为S2，则则x1a，x2a，x3a，x4a，xna的的方差仍是方差仍是S2，而，而ax1，ax2，ax3，ax4，axn的的方差是方差是a2S2。若若x1，x2，x3，x4，xn平均数为平均数为
29、x，则则x1a，x2a，x3a，x4a，xna的的平均数是平均数是x+a，而，而ax1，ax2，ax3，ax4，axn的平均数是的平均数是ax。已知一组数据已知一组数据1，2，n的方差是的方差是a。平均数。平均数是是b则数据则数据1-4,2-4,n4的方差是的方差是 ；平均；平均数数_.数据数据 31，32，3n的方差是的方差是 。平均数。平均数是是_.数据数据31，32，3n 方差是方差是.平均数是平均数是_.ab-49a3b3b-49a 极差、方差和标准差的区别与联系：极差、方差和标准差的区别与联系：联系：联系：极差、方差和标准差都是用来衡量极差、方差和标准差都是用来衡量 （或描述）一组（
30、或描述）一组数据数据偏离平均数的大小偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较（即波动大小）的指标，常用来比较两组数两组数据的波动情况。据的波动情况。区别：区别：极差极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的变化范围，主要反映一组数据中两个极端值之间的数据的变化范围，主要反映一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他的数据的波动不敏感。差异情况，对其他的数据的波动不敏感。方差方差是用是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组方法得到的结果，主要反
31、映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数年据的变化数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数年据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标。在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数标。在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小。据的波动大小。标准差实际是方差的一个变形标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据单位，只是方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。1 1、极差、方差的概念及计
32、算、极差、方差的概念及计算.2 2、极差反应数据的变化范围，、极差反应数据的变化范围，3 3、方差表示数据的离散程度，方差越大、方差表示数据的离散程度，方差越大,说明数据的波动越说明数据的波动越大大,越不稳定越不稳定4 4、用样本的方差来估计总体的方差、用样本的方差来估计总体的方差仅供学习交流！仅供学习交流！小结：小结：1.方差方差:各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这 批数据批数据的方差的方差.2.方差意义：方差意义：用来衡量一批数据的用来衡量一批数据的波动大小波动大小(即这批数据即这批数据偏离平均数的大小偏离平均数的大小).在样本容量相同的情况下在样本容量相同的情况下,方差越大方差越大,说明数据的说明数据的波动越大波动越大,越不稳定越不稳定.S2=(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2 n1
