1、3指数函数第1课时指数函数的图像与性质问题问题引航引航1.1.指数函数的概念是什么指数函数的概念是什么?它的解析式有哪它的解析式有哪些特征些特征?2.2.指数函数的图像与性质有哪些指数函数的图像与性质有哪些?3.3.指数函数单调性的简单应用有哪些指数函数单调性的简单应用有哪些?1.1.指数函数的概念指数函数的概念前提条件：前提条件：a_0a_0且且_._.解析式：解析式：y=_,xRy=_,xR.a1a1a ax xa1a10a10a1a10a10a0 x0时时,_;,_;当当x0 x0 x0时时,_;,_;当当x0 x1y10y10y10y10y1y1增函数增函数减函数减函数1.1.判一判：
2、判一判：(正确的打正确的打“”,”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)指数函数的图像一定在指数函数的图像一定在x x轴的上方轴的上方.(.()(2)(2)因为函数因为函数y=2y=2-x-x的底数是的底数是2,2,所以它是增函数所以它是增函数.(.()(3)(3)指数函数指数函数y=ay=ax x(a(a0,a1),0,a1),当当x x1 1xx2 2时时,有有f(xf(x1 1)f(x)00且且a1)a1)中，若中，若f(2)f(1),f(2)f(1),则则a a的取值范围的取值范围为为_._.x4y(),5【解析【解析】1.(1)1.(1)正确正确.直接观察指数函数的图像知指数函数的
3、图直接观察指数函数的图像知指数函数的图像一定在像一定在x x轴的上方轴的上方.(2)(2)错误错误.因为函数因为函数y=2y=2-x-x即为即为 底数为底数为 是减函数是减函数.(3)(3)错误错误.当当a a1 1时，若时，若x x1 1x x2 2，则，则f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)；当；当0 0a a1 1时，若时，若x x1 1x x2 2，则，则f(xf(x1 1)f(xf(x2 2).).答案：答案：(1)(2)(1)(2)(3)(3)x1y(),21,22.(1)2.(1)由题意知由题意知 所以所以a=a=答案：答案：(2)(2)因为因为所以所以 在在R R上是减函数
4、上是减函数.答案：答案：减减2a21,a0,a1，3.232x44y()01,55，x4y()5(3)(3)因为因为f(x)=af(x)=ax x(a(a00且且a1)a1)，f(2)f(1),f(2)f(1),所以所以f(xf(x)=a)=ax x在在R R上是增函数上是增函数,所以所以a1.a1.答案：答案：(1,+)(1,+)【要点探究【要点探究】知识点知识点1 1 指数函数的概念指数函数的概念1.1.指数函数的概念及其特征分析指数函数的概念及其特征分析(1)(1)定义的形式：与其他常见函数的定义形式相同定义的形式：与其他常见函数的定义形式相同,以解析式的以解析式的形式定义形式定义.(2
5、)(2)特征：特征：2.2.指数函数中规定底数指数函数中规定底数a a0 0且且a1a1的原因的原因(1)(1)若若a=0a=0，(2)(2)若若a a0 0，如，如y=(-2)y=(-2)x x,对于对于 等，在实数范围内的等，在实数范围内的函数值不存在函数值不存在.(3)(3)若若a=1,y=1a=1,y=1x x=1=1，是一个常量，没有研究的意义，是一个常量，没有研究的意义.xxx0a0 x0a.当 时，等于，当时，无意义11xx68，【微思考【微思考】指数函数中含有几个参数，对它的要求如何？指数函数中含有几个参数，对它的要求如何？提示：提示：只含有一个参数只含有一个参数a,aa,a0
6、0且且a1.a1.【即时练【即时练】1.(20141.(2014宝鸡高一检测宝鸡高一检测)下列以下列以x x为自变量的函数中，是指数为自变量的函数中，是指数函数的是函数的是()()2.2.函数函数y=(2a-1)y=(2a-1)x x是指数函数，则是指数函数，则a a的取值范围是的取值范围是_._.2xxx3A.y2 B.y3 2 C.ye D.yxg【解析【解析】1.1.选选C.C.只有只有C C符合符合y=ay=ax x(a(a00且且a1)a1)这种形式这种形式.2.2.因为因为y=(2a-1)y=(2a-1)x x是指数函数，是指数函数，所以所以 所以所以答案：答案：2a10,2a11
7、,1a,2a1.1(,1)(1,)2知识点知识点2 2 指数函数的图像与性质指数函数的图像与性质1.1.对指数函数图像的两点说明对指数函数图像的两点说明(1)(1)画指数函数的图像时，可列三个关键点画指数函数的图像时，可列三个关键点 (0,1),(1,a).(0,1),(1,a).(2)(2)指数函数的图像与底数的关系指数函数的图像与底数的关系当当0 0a a1 1时时,x,x趋于正无穷大时趋于正无穷大时,y,y趋于趋于0,0,函数函数y=ay=ax x的图像是的图像是下降的下降的,即函数在即函数在R R上是减少的上是减少的,a,a的值越小的值越小,递减的速度越快递减的速度越快.当当a a1
8、1时时,x,x趋于正无穷大时趋于正无穷大时,y,y也趋于正无穷大也趋于正无穷大,函数函数y=ay=ax x的的图像是上升的图像是上升的,即函数在即函数在R R上是增加的上是增加的,a,a的值越大的值越大,递增的速度递增的速度越快越快.1(1,),a2.2.对指数函数的性质的四点说明对指数函数的性质的四点说明(1)(1)强调结合图像特征性质，体会性质与图像的对应关系强调结合图像特征性质，体会性质与图像的对应关系.(2)(2)恒过定点恒过定点(0,1)(0,1)的意义，即在指数函数的意义，即在指数函数y=ay=ax x(a(a00且且a1)a1)中中无论无论a a取什么值，均有取什么值，均有f(0
9、)=1.f(0)=1.(3)(3)指数函数的单调性，要讨论底数指数函数的单调性，要讨论底数a a与与1 1的大小的大小.(4)(4)值域值域y(0,+)y(0,+)，即，即a ax x(a(a00且且a1)0a1)0恒成立恒成立.【知识拓展【知识拓展】定义法证明指数函数的单调性定义法证明指数函数的单调性如证明如证明a1a1时，时，y=ay=ax x是增函数是增函数.设设x x1 1,x,x2 2R,R,且且x x1 1xx2 2,则则x x1 1-x-x2 20.1a1时，由于时，由于x x1 1-x-x2 20,1a1时时,y=a,y=ax x是增函数是增函数.对对0a10a00且且a1)a
10、1)是非奇非偶函是非奇非偶函数数.【即时练【即时练】1.1.当当a1a1时时,函数函数y=ay=ax x和和y=(a-1)xy=(a-1)x2 2的图像只可能是的图像只可能是()2.2.函数函数f(xf(x)=a)=ax-1x-1(a0(a0且且a1)a1)图像恒过定点图像恒过定点.【解析【解析】1.1.选选A.A.由由a1a1知函数知函数y=ay=ax x的图像过点的图像过点(0,1),(0,1),分布在第分布在第一和第二象限一和第二象限,且从左到右是上升的且从左到右是上升的.由由a1a1知函数知函数y=(a-1)xy=(a-1)x2 2的的图像开口向上图像开口向上,对称轴为对称轴为y y轴
11、轴,顶点为原点顶点为原点.综合分析可知选项综合分析可知选项A A正确正确.2.2.令令x-1=0,x-1=0,得得x=1,x=1,此时此时y=ay=a0 0=1,=1,故图像恒过定点故图像恒过定点(1,1).(1,1).答案：答案：(1,1)(1,1)【题型示范【题型示范】类型一类型一 指数函数的定义域与值域指数函数的定义域与值域【典例【典例1 1】(1)(2014(1)(2014西安高一检测西安高一检测)函数函数 的定义域为的定义域为_._.(2)(2014(2)(2014咸阳高一检测咸阳高一检测)求下列函数的定义域和值域：求下列函数的定义域和值域：x1y()64815x 1xx 1y0.4
12、;y3;y21.【解题探究【解题探究】1.1.题题(1)(1)中的函数应满足什么条件？中的函数应满足什么条件？2.2.题题(2)(2)中的函数怎样转化成指数函数的问题？中的函数怎样转化成指数函数的问题？【探究提示【探究提示】1.1.2.2.利用换元法把函数分解，如利用换元法把函数分解，如 中令中令 可转化为可转化为y=0.4y=0.4t t,的问题的问题.x1()64.81x 1y0.41t,x11tx1【自主解答【自主解答】(1)(1)由题意知：由题意知：即即8 8-x-x64=864=82 2.因为因为y=8y=8x x在在xRxR上是增函数，上是增函数，所以所以-x2-x2即即x-2.x
13、-2.答案：答案：(-,-2(-,-2(2)(2)令令 则则t0,t0,所以所以y=0.4y=0.4t t1,1,所以函数所以函数 的定义域为的定义域为x|x1,x|x1,值域为值域为y|y1.y|y1.x1()64081t,x11x 1y0.4 由题意知由题意知5x-10,5x-10,所以所以定义域为定义域为令令 则则t0,t0,则则y=3y=3t t330 0=1,=1,故函数故函数 的值域为的值域为1,+).1,+).1x,51,)5，t5x1,5x 1y3因为因为y=2y=2x x0,0,所以所以y=2y=2x x+11,+11,故函数故函数y=2y=2x x+1+1的定义域为的定义域
14、为R R，值域为，值域为(1,+).(1,+).【延伸探究【延伸探究】若题若题(1)(1)中的条件改为函数中的条件改为函数 的定义域的定义域为为(-,-2(-,-2,则则a a的取值范围是的取值范围是_._.【解题指南【解题指南】本题本质是本题本质是a ax x-640-640，x(-,-2x(-,-2恒成立恒成立.xya64【解析【解析】由题意知由题意知a ax x-640,-640,即即a ax x6464，x(-,-2x(-,-2恒成立恒成立.当当a1a1时，时，a ax x的值接近的值接近0 0，舍去，舍去，当当0a10a1时，时，y=ay=ax x在在(-,-2(-,-2上是递减的，
15、上是递减的，所以所以y yminmin=a=a-2-2,则则a a-2-264,64,即即aa故故aa答案：答案：12164,81(0.8，1(08，【方法技巧【方法技巧】函数函数y=ay=af(xf(x)的定义域、值域的求法的定义域、值域的求法(1)(1)定义域：函数定义域：函数y=ay=af(xf(x)的定义域与的定义域与y=f(xy=f(x)的定义域相同的定义域相同.(2)(2)值域：值域：换元，令换元，令t=f(xt=f(x););求求t=f(xt=f(x)的定义域的定义域xDxD;求求t=f(xt=f(x)的值域的值域tMtM;利用利用y=ay=at t的单调性求的单调性求y=ay=
16、at t,tM,tM的值域的值域.【变式训练【变式训练】(1)(2014(1)(2014济宁高一检测济宁高一检测)函数函数 的定的定义域为义域为_，值域为，值域为_._.【解析【解析】由由16-216-2x x00得得2 2x x16=216=24 4,所以所以x4,x4,定义域为定义域为(-,4(-,4,又因为又因为 在在(-,4(-,4上是减少的，上是减少的，所以所以0y4.0y4.答案：答案：(-,4(-,4 0,4)0,4)xy162xy162(2)(2)求函数求函数y=1-2y=1-2-x-x的值域的值域.【解析【解析】方法一：方法一：令令t=2t=2x x，则，则t t0 0，所以
17、所以 即即y y1 1，所以函数所以函数y=1-2y=1-2-x-x的值域是的值域是(-(-，1).1).方法二：方法二：因为因为xRxR，所以所以所以所以 即即y y1 1，所以函数所以函数y=1-2y=1-2-x-x的值域是的值域是(-(-，1).1).x1y12，1y1t ，110,11,ttx1y1()2，xx11()0()022，x11()12，【补偿训练【补偿训练】函数函数f(xf(x)的定义域是的定义域是(0,1),(0,1),求求f(2f(2-x-x)的定义域的定义域.【解析【解析】因为函数因为函数f(xf(x)中中,0 x1,0 x1,所以所以f(2f(2-x-x)中满足中满
18、足0202-x-x1=21=20 0,即即-x0.-x0,x0,即所求定义域为即所求定义域为(0,+).(0,+).类型二类型二 比较大小比较大小【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014宜昌高一检测宜昌高一检测)设函数设函数f(xf(x)=a)=a-|x|-|x|(a(a00且且a1),a1),且且f(2)=4,f(2)=4,则则()A.f(-2)f(-1)B.f(-1)f(-2)A.f(-2)f(-1)B.f(-1)f(-2)C.f(1)f(2)D.f(-2)f(2)C.f(1)f(2)D.f(-2)f(2)(2)(2)比较下列各题中两个值的大小比较下列各题中两个值的大小.1.7
19、1.72.52.51.71.73 3;0.80.8-0.1-0.10.80.8-0.2-0.2;1.71.70.30.30.80.80.20.2.【解题探究【解题探究】1.1.题题(1)(1)中要比较函数值的大小中要比较函数值的大小,需要确定什么需要确定什么?2.2.题题(2)(2)中比较指数式大小的依据是什么中比较指数式大小的依据是什么?【探究提示【探究提示】1.1.确定函数的单调性比较大小确定函数的单调性比较大小.2.2.比较指数式的大小的依据是指数函数的单调性比较指数式的大小的依据是指数函数的单调性,关注底数关注底数a a与与1 1的大小或者借助于函数值的分布求解的大小或者借助于函数值的
20、分布求解.【自主解答【自主解答】(1)(1)选选A.A.因为因为f(2)=af(2)=a-|2|-|2|=所以所以 即即又又f(xf(x)为偶函数，所以为偶函数，所以f(-2)=f(2)=4,f(-1)=f(1)=2,f(-2)=f(2)=4,f(-1)=f(1)=2,可知选项可知选项.(2)(2)令令y=1.7y=1.7x x,因为因为1.711.71，所以，所以y=1.7y=1.7x x在在R R上是增加的上是增加的.又又32.5,32.5,所以所以1.71.73 31.71.72.52.5.21()4,a1a,2 x1f x().2令令y=0.8y=0.8x x，因为，因为00.81,0
21、0.8-0.2,-0.1-0.2,所以所以0.80.8-0.2-0.20.80.8-0.1-0.1.令令y=1.7y=1.7x x,因为因为1.71,1.71,所以所以y=1.7y=1.7x x在在R R上是增加的，上是增加的，又又0.300.30，所以，所以1.71.70.30.31.71.70 0=1.=1.又令又令y=0.8y=0.8x x,因为因为00.81,00.80,0.20,所以所以0.80.80.20.20.80.80.80.20.2.答案：答案：【延伸探究【延伸探究】若题若题(2)(2)中中,0.8,0.8改为改为a,a,大小如何大小如何?【解题指南【解题指南】按按a1a1和
22、和0a10a1a1时时,y=a,y=ax x在在R R上是增函数上是增函数,因为因为-0.1-0.2,-0.1-0.2,所以所以a a-0.1-0.1aa-0.2-0.2,当当0a10a-0.2,-0.1-0.2,所以所以a a-0.1-0.1a1a1时时,若若x0,x0,则则a ax x1.1.若若x0,x0,则则0a0ax x1.1.当当0a10a0,x0,则则0a0ax x1,1,若若x0,x1.1.(3)(3)图像法：图像法：不同底数的指数函数在同一坐标系下画出图像求解不同底数的指数函数在同一坐标系下画出图像求解.如如0.80.80.90.9与与0.90.90.80.8的大小比较的大小
23、比较.因为因为00.80.91,00.80.91,所以指数函数所以指数函数y=0.8y=0.8x x与与y=0.9y=0.9x x在定义域在定义域R R上都是减函数上都是减函数,且在区且在区间间(0,+)(0,+)上函数上函数y=0.8y=0.8x x的图像在函数的图像在函数y=0.9y=0.9x x的图像的下方的图像的下方(如如图所示图所示).).所以所以0.80.80.80.80.90.90.80.8.因为因为00.81,00.81,所以指数函数所以指数函数y=0.8y=0.8x x在定义域在定义域R R上是减函数上是减函数.又因为又因为0.80.9,0.80.9,所以所以0.80.80.
24、90.90.80.80.80.8.于是于是,由由和和两式可得两式可得0.80.80.90.90.9-2.6,-1.8-2.6,所以所以 (2)(2)因为因为所以所以 在定义域在定义域R R上是减函数上是减函数.又因为又因为所以所以所以所以x3301,y()441.82.633()().44501,8x5y()820,320355()()1,88235()1.8(3)(3)因为因为0.60.6-2-20.60.60 0=1,=1,所以所以(4)(4)因为因为y=3y=3x x在定义域在定义域R R上是增函数上是增函数,又因为又因为-0.3-0.2,-0.3-0.2,所以所以3 3-0.3-0.3
25、33-0.2-0.2.所以所以20344()()1,3322340.6().30.30.31()3,30.30.21()3.3【补偿训练【补偿训练】比较下列各组数的大小：比较下列各组数的大小：10.244122551()().6612()1.53 0.8().4与与与【解析【解析】(1)(1)考查函数考查函数因为因为所以函数所以函数 在在(-,+)(-,+)上是减函数上是减函数.又因为又因为 所以所以(2)(2)考查函数考查函数因为因为所以函数所以函数 在在(-,+)(-,+)上是减函数上是减函数.又又-0,-0,所以所以x5y().6501,6x5y()610.24,4 10.24455()
26、().66x1y().101,x1y()011()()1.(3)(3)考查函数考查函数y=0.8y=0.8x x，因为因为00.81,00.81,所以函数所以函数y=0.8y=0.8x x在在(-,+)(-,+)上是减函数上是减函数.又又-20,-20.80.80 0=1,=1,再考查函数再考查函数因为因为 所以函数所以函数 在在(-,+)(-,+)上是增函数上是增函数.又又 所以所以综上可知综上可知x5y().451,4x5y()410,210255()()1.4412250.8().4另：另：考查函数考查函数因为因为所以函数所以函数 在在(-,+)(-,+)上是增函数，上是增函数，因为因为
27、 所以所以所以所以222450.8()(),54x5y(),4514，x5y()412,2 12255()(),4412250.8().4类型三类型三 解指数不等式解指数不等式【典例【典例3 3】(1)(2014(1)(2014新余高一检测新余高一检测)若若 则实数则实数a a的取值范的取值范围是围是()()(2)(2)求不等式求不等式a a5x5xaax+8x+8(a0,(a0,且且a1)a1)的解集的解集.2a132a11()()44，1A.()B.(1)21C.1 D.()2，【解题探究【解题探究】1.1.题题(1)(1)中可利用哪个函数的单调性求中可利用哪个函数的单调性求a a的取值范
28、的取值范围？围？2.2.题题(2)(2)中中a a的取值未知，解题时首先应考虑什么？的取值未知，解题时首先应考虑什么？【探究提示【探究提示】1.1.题题(1)(1)可考虑利用指数函数可考虑利用指数函数 的单调性求的单调性求a a的取值范围的取值范围.2.2.题题(2)(2)应考虑应考虑a a的取值范围，即分的取值范围，即分a a1 1和和0 0a a1 1两种情况处两种情况处理理.x1y()4【自主解答【自主解答】(1)(1)选选A.A.函数函数 在在R R上为减函数，上为减函数，所以所以2a2a13132a2a，所以，所以 故选故选A.A.(2)(2)当当a1a1时，由时，由a a5x5xa
29、ax+8x+8得得5xx+85xx+8，解得，解得x2.x2.当当0a10aaax+8x+8得得5xx+85xx+8，解得解得x2.x1a1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为x|xx|x22；当当0a10a1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为x|xx|x2.2.x1y()41a.2【方法技巧【方法技巧】解指数不等式的一般思路解指数不等式的一般思路(1)(1)利用指数函数的单调性将指数不等式化为一元一次不等式利用指数函数的单调性将指数不等式化为一元一次不等式.(2)(2)在利用指数函数的单调性时，要使不等式两侧都为幂的形在利用指数函数的单调性时，要使不等式两侧都为幂的形式，而且要化为
30、同底数幂式，而且要化为同底数幂.(3)(3)底数不确定时，要注意分类讨论，分类的标准是底数与底数不确定时，要注意分类讨论，分类的标准是底数与1 1的的大小比较大小比较.【变式训练【变式训练】(1)(1)已知已知3 3x x330.50.5,则实数则实数x x的取值范围是的取值范围是.(2)(2)已知已知0.20.2x x25,0(a0且且a1)a1)满足以下条满足以下条件，求件，求x x的范围的范围.(1)y(1)y1 1=y=y2 2.(2)y.(2)y1 1yy2 2.【解析【解析】(1)(1)因为因为y y1 1=y=y2 2,所以所以a a2x-12x-1=a=a1-x1-x,所以所以
31、2x-1=1-x,2x-1=1-x,即即(2)(2)因为因为y y1 1yy2 2,所以当所以当a1a1时，有时，有2x-11-x,2x-11-x,所以所以当当0a10a1时，有时，有2x-11-x,2x-10,a1)-1(a0,a1)在区间在区间-1,1-1,1上的上的最大值为最大值为14,14,求求a a的值的值.【审题【审题】抓信息抓信息,找思路找思路【解题【解题】明步骤明步骤,得高分得高分【点题【点题】警误区，促提升警误区，促提升失分点失分点1 1：解题时：解题时处没有采取换元与转化而造成无从下手处没有采取换元与转化而造成无从下手.失分点失分点2 2：换元后，未讨论：换元后，未讨论处处
32、a a与与1 1的大小，而直接认为的大小，而直接认为uu 而造成解题失误而造成解题失误.失分点失分点3 3：忽略：忽略处的总结，导致解析不完整失分处的总结，导致解析不完整失分.1,aa【悟题【悟题】提措施提措施,导方向导方向1.1.注重转化与化归思想的应用注重转化与化归思想的应用在解答非基本函数的问题时在解答非基本函数的问题时,可通过转化与化归的方法转化成可通过转化与化归的方法转化成两个基本初等函数问题两个基本初等函数问题,如本例转化成指数函数与二次函数问如本例转化成指数函数与二次函数问题题.2.2.注重分类讨论的思想的应用注重分类讨论的思想的应用当问题中含有参数时需有分类讨论的意识当问题中含
33、有参数时需有分类讨论的意识,如本例中如本例中u=au=ax x,x,x-1,1-1,1是一个指数函数是一个指数函数,它的单调性取决于它的单调性取决于a a与与1 1的大小的大小.3.3.常用性质的应用常用性质的应用要牢固掌握基本初等函数的性质要牢固掌握基本初等函数的性质,它是我们处理问题的关键它是我们处理问题的关键,如如本例中指数函数的单调性、二次函数在给定区间内的最值问题本例中指数函数的单调性、二次函数在给定区间内的最值问题.【类题试解【类题试解】设设0 x2,0 x2,求函数求函数 的最大值的最大值和最小值和最小值.【解析【解析】设设2 2x x=t,=t,因为因为0 x2,0 x2,所以
34、所以1t4.1t4.原式化为：原式化为：当当a1a1时，时，在在1,41,4上是增函数，上是增函数，故故12xx2ay4a 212g21yta1,1t4,2 21yta1222minmaxa3aya,y4a9;222当当 时，时，在在1,a1,a上是减函数，在上是减函数，在a,4a,4上是增函数，上是增函数，故故y yminmin=1,y=1,ymaxmax=当当 时，时，在在1,a1,a上是减函数，在上是减函数，在a,4a,4上是增函数，上是增函数，故故y yminmin=1,y=1,ymaxmax=当当a4a4时，时，51a221yta122a4a9;25a4221yta122a3a;2222minmaxaa3y4a9,ya.222
