1、 1 2016-2017 学年第二学期高一承智班第 2 次月考数学试卷 一、选择题 1. 若球的大圆的面积扩大为原来的 3倍，则它的体积扩大为原来的 （ ） A. 3倍 B. 27倍 C. 3 倍 D. 倍 【答案】 C 【解析】 设原球的半径 ， 球的大圆的面积扩大为原来的 3倍， 则半径扩大 倍， 体积扩大 倍 故选 C 2. 对于用 “ 斜二测画法 ” 画平面图形的直观图，下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 B. 梯形的直观图可能不是梯形 C. 正方形的直观图为平行四边形 D. 正三角形的直观图一定为等腰三角形 【答案】 C 【解析】试题分析：由题意得，根据斜
2、二测画法中，平行性标准不变，所以正方形的直观图的对边仍是平行的，所以正方形的直观图为平行四边形是正确的，故选 C. 考点：斜二测画法 . 3. 已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为 2 A. B. C. D. 【答案】 C 4. 如图，设正 方体 的棱长为 ， 是底面 上的动点， 是线段 上的动点，且四面体 的体积为，则 的轨迹为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 如图， 当 点在线段 上运动时， 到 的距离即为两平行线 与 的距离， 正方体的棱长为 1， 与
3、 的距离为 设 到 的距离为 ，则 ， 再设 到平面 的距离为 ， 3 的轨迹为平面 内与平面 平行，且距离为 的一条线段 故选： A 【点睛】本题考查了轨迹方程，棱锥的体积公式，其中 “ 等积法 ” 的 应用是解题的关键 . 5. 正方体 的棱长为 1, 分别是棱 ， 的中点，过直线 的平面分别与棱 、 交于 ，设 ， ，给出以下四个命题： 四边形 为平行四边形； 若四边形 面积 , ,则 有最小值； 若四棱锥 的体积 ， ，则 为常函数； 若多面体 的体积 ， ，则 为单调函数 其中 假命题 为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试题分析： 平面 ADDA 平面 BCCB
4、 ， ENMF ，同理： FNEM ， 四边形 EMFN为平行四 边形，故正确； MENF 的面积 s=f（ x） =（ EFMN ）， 当 M为 BB 的中点时，即 x=时， MN最短，此时面积最小故正确； 连结 AF， AM， AN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥， 4 它们以 AEF为底，以 M， N分别为顶点的两个小棱锥因为三角形 AEF的面积是个常数 M， N到平面 AEF的距离和是个常数，所以四棱锥 C-MENF的体积 V为常数函数，故正确 多面体 ABCD-MENF的体积 V=h（ x） =VABCD-ABCD =为常数函数，故错误 考点：命题的真假判断与应用；正方体的几何特征，函
5、数 的最值，函数的单调性 6. 设 是两条直线， 是两个平面，则下列 4组条件中： ， ； ； ， ； ， ， 。 能推得 的条件有（ ）组。 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ： 过 与 相交的直线 ，若 则结论成立，否则不成立； 在 内作直线 垂直于 的交线，故结论成立； 故结论成立； ， 过 与 相交的直线 ， ，故结论成立 故选 C 7. 一个几何体的三视图中主视图和左视图是边长为 的 等边三角形 ,俯视图为圆 ,则该几何体的体积是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据几何体的三视图知，该几何体是底面直径为 2，母线长为 2的圆锥， 这个圆锥的体积
6、是 故选 D 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时根据三视图得出该几何体的形状是解题的关键， 8. 四棱锥的底面是一个正方形， PA 平面 ABCD,PA=AB=2,E是棱 PA的中点，则异面直线 BE与 AC所成角的余弦值是 （ ） 5 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】取 的中点 ，连接 . 为 的中点， ， 就是异面直线 与 所成的角 . ，四边形是正方形， ， .又 平面 ， ， .连接 ，与 交于 ，连接 . 四边形 是正方形， 为 的中点， ， 平面 ， . ， . 在中， ， ， ，即异面直线 与所成角的余弦值为 ；故选 B. 点睛： 本题是一道有关
7、异面直线所成角的题目，在求解的过程中，首先要找到异面直线所成的平面角，根据题意取 的中点 ，连接 ，分析可知 就是异面 直线 与 所成的角；然后再由勾股定理可知， 为直角三角形，由此即可求出 的余弦值，进而求出结果 . 6 9. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为底部为正方体，上部为正四棱锥的组合体，所以其体积为 ,故选 B. 考点：三视图与几何体的体积 10. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为 的直角三角形，俯视图是半径为 ，圆心角为 的扇形，则该几何体的表面积是（ ） A.
8、B. C. D. 7 【答案】 A 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个圆锥的，其中圆锥的底面半径是 ，高是 ，从而可得该几何体的表面积是 ，故选 A. 考点： 1、三视图； 2、锥体的体积 . 11. 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( ) A. 4 B. C. D. 6 【答案】 B 【解析】由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为 1的正方形，下底面是边长为 2的正方形，高为 2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积 V (12 22)2 ，故选 B. 12. 个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 4 B. C. 8 D. 8 【答案】 C
9、 【解析】 由三视图知几何体为三棱锥，其直观图如图， 由俯视图与侧视图知：三棱锥的底面三角形一边长为 4，且该边上的高为 ， 由正视图与侧视图知：三棱锥的高为 故选 C 【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积问题，解题的关键是由三视图判断几何体的相关元素的数据 二、填空题 13. 某个几何体的三视图如下，单位： cm，则此几何体的体积为 _. 【答案】 【解析】试题分析：该几何体是一个长方体截去一角，长方体底面边长分别为 2,4，高为 2， 所以，此几何体的体积为 。 考点：三视图，几何体体积计算。 点评：简单题，三视图问题，已成为高考必考题目，结合几何体的特征，考查面积、体积计算。 14.
10、正方体的全面积是 ，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是_ 。 9 【答案】 12 【解析】试题分析：设球的半径为 R，则正方体的对角线长为 2R， 依题意知 4R2=3a2=12,即 R2=3， S 球 =4R 2=4?3=12 （ cm2）故答案为： 12 考点：球内接多面体；球的体积和表面积 15. 如图所示，在长方体中 则在长方体表面上连接 两点的所有曲线长度最小值为 _ 【答案】 【解析】试题分析：将长方体的面分别展开平铺，当四边形 和四边形 在同一平面内时，最小距离为四边形 的对角线，长度是 ，当四边形和四边形 在同一平面内时，最小距离为四边形 的对角线，长度是，四边形 和四
11、边形 在同一平面内时，最小距离为四边形的对角线，长度是 ，所以最小距离是 考 点：平铺展开求最值 【易错点睛】该题考查的是几何体的表面距离的最值问题，结合平面内连结两点的直线段是最短的，所以将长方体的侧面沿着不同的方向展开，使得两个点落在同一平面内，利用勾股定理来求解，选出最小的那个就是，容易出错的地方在于考虑不全面，沿着一个方向展开求得结果就是，从而出现错误，所以一定要注意应该有三条路径 16. 已知正方体的棱长为 1，则正方体的外接球的体积为 _ 【答案】 【解析】试题分析：正方体棱长为 1，所以体对角线为 ，所以10 考点：正方体外接球 三、解答题 17. 已知四棱锥 P ABCD的三视
12、图如下图所示， E是侧棱 PC上的动点 （ 1）求证： BDAE （ 2）若点 E为 PC的中点，求二面角 D AE B的大小 . 【答案】 (1)证明见解析； (2) 【解析】试题分析：（ 1）要证明线线垂直，先证明线面垂直，所以观察几何体，先证明平面 ,而要证明线面垂直，先证明线与平面内的两条相交直线垂直，即证明, ; （ 2）法一，几何法，观察 ,所以可选择在平面 DAE内过点 D作 DFAE 于 F，连结 BF， DFB 为二面角 D AE B的平面角，或法二，采用空间向量的方法，以点 C为 原点， CD， CB， CP 所在的直线分别为 x， y， z轴建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量， 或 . 试题解析：（ 1）由三视图可知，四棱锥 P ABCD的底面是边长为 1的正方形， 侧棱 PC 底面 ABCD，且 PC 2. 连结 AC， ABCD 是正方形， BDAC. PC 底面 ABCD，且 BD?平面 ABCD， BDPC. 又 ACPC C， BD 平面 PAC.
