1、 - 1 - 定远重点中学 2017-2018学年第二学期教学段考卷 高一数学试题 一选择题（本题有 12 小题，每小题 5分，共 60 分。） 1. 三边 满足 ，则 为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】 A 【解析】由题意可得： a2+b2+c2?ab?bc?ac=0， 2 a2+2b2+2c2?2ab?2bc?2ac=0， a2?2ab+b2+b2?2bc+c2+a2?2ac+c2=0， 即 (a?b)2+(b?c)2+(c?a)2=0， a?b=0， b?c=0， c?a=0， a=b=c， ABC为等边三角形。 本题选择 A选
2、项 . 点睛： 解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系另外，在变形过程中要注意 A， B， C的范围对三角函数值的影响 2. ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a,b,c，已知 sinB+sinA（ sinC cosC） =0， a=2， c= ，则 C=（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解： sinB=sin（ A+C） =sinAcosC+cosAsinC， sin
3、B+sinA （ sinC cosC） =0， sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC sinAcosC=0， cosAsinC+sinAsinC=0 ， sinC0 ， cosA= sinA， tanA= 1， - 2 - A ， A= ， 由正弦定理可得 ， a=2 ， c= ， sinC= = ， a c， C= ， 故选： B 点睛 ： 本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题 .在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据 . 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出
4、现 及、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答 . 3. 中，若 ，则 的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】 B 【解析】由三角形面积公式可得： ， 故选 B. 4. 数列 的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试题分析：根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用（ 1） n+1来控制各项的符号，再由各项的分母为一等比数列，分子 2n+1，由此可得数列的通项公式 详解：由已知中数列 ? - 3 - 可得数列各项的分母为一等比数列 2n，分子 2
5、n+1， 又 数列所有的奇数项为正，偶数项为负 故可用（ 1） n+1来控制各项的符号， 故数列的 一个通项公式为 an=（ 1） n+1 故选： D 点睛：本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质，或者通过发现规律直接找到通项 . 5. 已知锐角 的外接圆半径为 ，且 ，则 ( ) A. B. C. 2 D. 5 【答案】 B 【解析】因为 ，因为 A为锐角，所以 ，所以本题选择 B选项 . 6. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ） A. 3 B.
6、 4 C. 5 D. 6 【答案】 B 【解析】 等差数列 an的前 n项和为 Sn,且 a2=2,S4=9， ，解得 ， . 本题选择 B选项 . 7. 在等差数列 an中， 3(a2 a6) 2(a5 a10 a15) 24，则此数列前 13项之和为 ( ) A. 26 B. 13 C. 52 D. 156 【答案】 A 【解析】 在等差数 中， ， ，解得 ， 此数列前 13项之- 4 - 和为： ，故选 A. 8. 已知数列 是公比为 2的等比数列，且满 足 ，则 的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析： 由题知：因为 考点：等比数列 9. 等比数列 的
7、前 项和为 ，若 ， ，则 （ ） A. 9 B. 16 C. 18 D. 21 【答案】 C 【解析】由题意可得： ， 解得： ， 则 ： . 本题选择 C选项 . 10. 若 ，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】试题分析：因 ,故 ,故应选 C. 考点：不 等式的性质及运用 . 11. 区域 构成的几何图形的面积是（ ） A. 2 B. 1 C. D. - 5 - 【答案】 D 【解析】试题分析：画出约束条件 对应的可行域，代入三角形面积公式，可得答案 详解：约束条件 对应的可行域，如下图所示： 这是一个腰长为 1的等腰直角三角形， 故面积 S= 11= ， 故
8、选： D 点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域 (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型 ）、 斜率型（ 型 ） 和距离 型（ 型 ） (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解 (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形 . 12. 一货轮航行至 处，测得灯塔 在货轮的北偏西 ，与灯塔相距 80海里，随后货轮沿北偏东 的方向航行了 50 海里到达 处，则此时货轮与灯塔 之间的距离为（ ）海里 - 6 - A. 70 B. C. D. 【答案】 A 【解析】
9、由题意结合余弦定理可得货轮与灯塔 之间的距离为： . 本题选择 A选项 . 二 、填空题（本题有 4 小题，每小题 5分，共 20分。） 13. 在 中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，若 ，则 _. 【答案】 【解析】试题分析：由三角形的三边 a， b及 c，利用余弦定理表示出 cosB，把已知的等式变形后代入即可求出 cosB的值，根据 B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角 B的度数 详解：由已知可得 b2=a2+c2+ac，得到 a2+c2 b2=-ac， 所以根据余弦定理得： cosB= ， B （ 0， ）， 则 B= 故答案为： 点睛 ： 本题主要考查正弦定理及余弦
10、 定理的应用以及三角形面积公式，属于难题 .在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据 . 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答 . - 7 - 14. 在 中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，已知 ，若 ，则 的值为 _ 【答案】 故答案为： 。 15. 在 数列 中， ，则 的值为 _. 【答案】 397 【解析】试题分析：由等差数列的定义，判断出是等差数
11、列，利用等差数列的通项公式求出通项，求出 a100 详解： a n+1 an=4 数列 an是以 a1=1为首项，以 4为公差的等差数列 a n=1+（ n 1） 4=4n 3 a 100=400 3=397 故答案为 397 点睛：注意在利用等差数列的通项公式前，先判断出数列是等差数列，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质 . 16. 在等比数列 中 , 若 是方程 的两根，则 =_. 【答案】 【解析】 是方程 的两根，所以 ，在等比数列 中， = 故答案为 点睛：本题是一元二次方程中韦达定理及等比数
12、列 中通项的性质的考查，在等比数列中，若 则 . - 8 - 三、解答题（本题有 6 小题，共 70分。） 17. 解关于 的不等式： . 【答案】见解析 【解析】试题分析：讨论 a=0、 a 0和 a 0时，分别求出对应不等式的解集即可 详解：不等式 ax2+（ 2 a） x 2 0化为（ ax+2）（ x 1） 0， 当 a=0时，不等式化为 x 1 0， 解得 x 1； 当 a 0 时，不等式化为（ x+ ）（ x 1） 0， 且 1，解不等式得 x 或 x 1； 当 a 0 时，不等式化为（ x+ ）（ x 1） 0， 若 a 2，则 1，解不等式得 x 1； 若 a= 2，则 =1，
13、不等式化为（ x 1） 2 0，解得 x ?； 若 2 a 0，则 1，解不等式得 1 x ； 综上， a=0时不等式的解集为 x|x 1； a 0时不等式的解集为 x|x 或 x 1； a 2 时，不等式的解集为 x| x 1； a= 2时，不等式的解集为 ?； 2 a 0时，不等式的解集为 x|1 x 点睛：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是中档题，对于含参的二次不等式问题，先判断二次项系数是否含参，接着讨论参数等于 0，不等于 0，再看式子能否因式分解，若能够因式分解则进行分解，再比较两根大小 ,结合图像得到不等式的解集 . 18. 如图，在 中，角 A,B,C所对的边分
14、别为 a,b,c，若 . （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若点 D 在边 AC 上，且 BD 是 ABC 的平分线， AB=2,BC=4 ，求 AD 的长 . - 9 - 【答案】（ 1） （ 2） 【解析】试题分析：（ 1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出 ，从而得出 的大小；（ 2）利用余弦定理求出 ，根据 是 的平分线，可得 ，故而可求得结果 . 试题解析： (1)在 中， , 由正弦定理得 ， ， ， ， . (2)在 中，由余弦定理得 ， 即 ,解得 ,或 （负值，舍去） 是 的平分线， ， , . 19. 已知等差数列 满足 ， 求等差数列 的通项公式； 求数列
15、的前项和 ，及使得 取最大值时 的值 . 【答案】（ 1） （ 2） ， 最大值 25 【解析】试题分析：（ 1）由题意，可得公差 d，带入可得通项公式 （ 2）利用等差数列的求和公式，得前 n项和 ， n=5时， Sn最大。 试题解析：（ 1）设等差数列 的公差为 ， ，解得 ， 通项公式 （ 2）由（ 1）得前 n项和 ， 当 n=5时，取得最大值 25. 考点：数列的通项与求和。 20. 已知公差不为 0的等差数列 的前 项和为 ， ，且 成等比数列。 - 10 - （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设 ，求数列 的前 项和 。 【答案】（ 1） （ 2） 【解析】试题分析： （ 1）由已知条件，利用等差数列
