1、2023年中考数学考前冲刺：圆综合压轴解答题 高频压轴题1如图，在ABC中，BABC以AB为直径作O分别交BC、AC于D、F两点，点E为AC延长线上一点，连结AD、BE，若EDAC（1）求证：ADCEBA；（2）求证：AFCF；（3）若CECF，BD1，求O半径2如图，AB是O的直径，弦CDAB于H，G为O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EGEK，EG的延长线交AB的延长线于F（1）求证：EF是O的切线；（2）连接DG，若ACEF时求证：KGDKEG；若cosC，AK，求BF的长3如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADCD，ACAB，O为ABC的外接圆（1）如图1，求
2、证：AD是O的切线；（2）如图2，CD交O于点E，过点A作AGBE，垂足为F，交BC于点G求证：AGBG；若AD2，CD3，求FG的长4如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BECD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC5，BE3，点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足设BQx，CPy（1）求半圆O的半径（2）求y关于x的函数表达式（3）如图2，过点P作PRCE于点R，连结PQ，RQ当PQR为直角三角形时，求x的值作点F关于QR的对称点F，当点F落在BC上时，求的值5如图，ABC内接于O，ABBC，A为中点，CD与AB相交于点E过B作BFAC
3、，交CD延长线于F（1）求证：ACEABC；（2）求证：BFFE；（3）延长FB交AO延长线于M若tanF，CD8，求BM的长6（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易例如：如图1，在ABC中，ABAC，BAC90，D是ABC外一点，且ADAC，求BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆A，则点C、D必在A上，BAC是A的圆心角，而BDC是圆周角，从而可容易得到BDC （2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，BADBCD90，BDC25，求BAC的度数小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问
4、题快速解决，他是这样思考的：ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题（3）【问题拓展】如图3，在ABC中，BAC45，AD是BC边上的高，且BD6，CD2，求AD的长7如图，AB为O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E（1）求证：BCPF；（2）若O的半径为，DE1，求AE的长度；（3）在（2）的条件下，求DCP的面积8【证明体验】（1
5、）如图1，O是等腰ABC的外接圆，ABAC，在上取一点P，连结AP，BP，CP求证：APBPAC+PCA；【思考探究】（2）如图2，在（1）条件下，若点P为的中点，AB6，PB5，求PA的值；【拓展延伸】（3）如图3，O的半径为5，弦BC6，弦CP5，延长AP交BC的延长线于点E，且ABPE，求APPE的值9如图CD是O直径，A是O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且BACADB（1）求证：直线AB是O的切线；（2）若BC2OC，求tanADB的值；（3）在（2）的条件下，作CAD的平分线AP交O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB2，求AEAP的值10如图，A
6、B为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BCCD，CEAD于点E（1）求证：直线EC为圆O的切线；（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，求证：PC2PFPA若PC5，PF4，求sinPEF的值11如图，O的直径AB垂直于弦CD于点E，AB10，CD6，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连结AP交O于点Q，连结CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变（1）如图1，当DP4时，求tanP的值；（2）如图2，连结AC，DQ，在点P运动过程中，设DPx，求证：ACQCPA；求y与x之间的函数关系式12如图，在RtABC中，C90，D是AC上一点（不与点
7、A，C重合），以A为圆心，AD长为半径作A交AB于点E，连结BD并延长交A于点F，连结ED，EF，AF（1）求证：EAF2BDE；（2）如图，若EBD2EFD，求证：DF2CD；（3）如图，BC6，AC8若EAF90，求A的半径长；求BEDE的最大值13如图，点A在y轴正半轴上，OA1，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，C两点，D，C两点的横坐标是方程x24x+30的两个根，OCOD，连接BC（1）如图（1），连接BD求ABD的正切值；求点B的坐标（2）如图（2），若点E是的中点，作EFBC于点F，连接EB，ED，EC，求证：2CFBC+CD14已知，在ABC中，ACB90，
8、BC6，以BC为直径的O与AB交于点H，将ABC沿射线AC平移得到DEF，连接BE（1）如图1，DE与O相切于点G求证：BEEG；求BECD的值；（2）如图2，延长HO与O交于点K，将DEF沿DE折叠，点F的对称点F恰好落在射线BK上求证：HKEF；若KF3，求AC的长15如图1，ABC中，ABC的平分线和外角ACD的平分线交于点E，我们把E叫做ABC中A的好望角（1）如图1，已知ABC，点D是BC延长线上的一点，E是ABC中A的好望角，ABC60，ACB80，求E的度数；（2）如图2，四边形ABCD内接于O，且AC是O的直径，点E是弧AD上的动点，弧AD弧BD，CD和BE的延长线交于点F，连
9、接DE，AE，当F是ABC中BAC的好望角时求EAC的度数；求证：AEEF；若AB8，CD5，求O的直径16如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点（1）求证：MD是O的切线；（2）若B30，AB8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；（3）若点E恰好运动到ACB的角平分线上，连接CE并延长，交O于点F，交AD于点P，连接AF，CP3，EF4，求AF的长17如图1，O的两条弦AB，CD互相垂直，垂足为E，直径CF交线段BE于点G，且，BGxAE（1x2）（1）求证：ABCD
10、；（2）当点E是AG的中点时，求的度数和x的值；（3）设求y关于x的函数表达式；如图2，连结BF，若CEG的面积是BGF面积的3倍，求tanBFG的值18【基础巩固】（1）如图1，在ABC中，D为AB上一点，AC2ADAB求证：ACDB【尝试应用】（2）如图2，在ABCD中，E是AB上一点，连结AC，EC已知AE4，AC6，CD9求证：2AD3EC【拓展提高】（3）如图3，四边形ABCD内接于O，AC、BD相交于点E已知O的半径为2，AECE，ABAE，BD，求四边形ABCD的面积19如图1，AB是O的直径，C是O上一点，过点B作O的切线，与AC的延长线相交于点D，E是BD的中点，分别延长AB
11、、CE相交于点P；（1）求证：PC是O的切线；（2）如图2，若CHAB于H，连接AE与交CH于N，求证：N是HC的中点；（3）在（2）的条件下，若BEEN，且BH2，求O的半径20如图1，在直角坐标系中，点E从O点出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，B（4，2），以BE为直径作M，M与x轴另一交点为A，连接AB，设点E运动时间为t（0t4）（1）如图1，当M与y轴相切于点C时，求t的值；（2）如图2，在（1）的条件下，延长BA到H，使得BHAE，D是的中点，连接DH，求的值；（3）如图3，若点E先出发2秒，点F再从O点出发，以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动，连接AF交M于点P，问A
12、PAF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由并求其值；若变化，请求其值的变化范围参考答案1证明：（1）ABBC，BACACB，ECAD，ADCEBA，（2）如图，连接BF，AB是O的直径，AFB90，又ABBC，AFCF；（3）由（2）知，AFCF，CECF，AEAF+CF+CE3AF，ABBC，AFB90，AC2AF，由（1）知，ADCEBA，BD1，ABBC，AB3，O半径为AB2解：（1）如图，连接OGEGEK，KGEGKEAKH，又OAOG，OGAOAG，CDAB，AKH+OAG90，KGE+OGA90，EF是O的切线（2）ACEF，EC，又CAGD，EAGD，又DKGGKE，KGDK
13、EG；连接OG，AK，设cosC，CH4k，AC5k，则AH3k，KEGE，ACEF，CKAC5k，HKCKCHk在RtAHK中，根据勾股定理得AH2+HK2AK2，即，解得k1，CH4，AC5，则AH3，设O半径为R，在RtOCH中，OCR，OHR3k，CH4k，由勾股定理得：OH2+CH2OC2，即（R3）2+42R2，在RtOGF中，3（1）证明：如图1，连接OA，OB，OC在OAC和OAB中，OACOAB（SSS），OACOAB，AO平分BAC，AOBC又ADBC，ADAO，AD是O的切线（2）证明：如图2，连接AEBCE90，BAE90又AFBE，AFB90BAG+EAFAEB+EA
14、F90，BAGAEBABCACBAEB，BAGABC，AGBG解：在ADC和AFB中，ADCAFB（AAS），AFAD2，BFCD3设FGx，在RtBFG中，FGx，BF3，BGAGx+2，FG2+BF2BG2，即x2+32（x+2）2，x，FG4解：（1）如图1，连接OD，设半径为r，CD切半圆于点D，ODCD，BECD，ODBE，CODCBE，解得r，半圆O的半径为；（2）由（1）得，CACBAB52，BQx，AP，CPAP+AC，y；（3）显然PRQ90，所以分两种情形，当RPQ90时，则四边形RPQE是矩形，PRQE，PRPCsinC，x，当PQR90时，过点P作PHBE于点H，如图，
15、则四边形PHER是矩形，PHRE，EHPR，CRCPcosC，PHRE3xEQ，EQRERQ45，PQH45QPH，HQHP3x，由EHPR得：（3x）+（3x），x，综上，x的值为或；如图，连接AF，QF，由对称可知QFQF，CP，CRx+1，ER3x，BQx，EQ3x，EREQ，FQREQR45，BQF90，QFQFBQtanB，AB是半圆O的直径，AFB90，BFABcosB，x，5证明：（1）A为中点，ACEABCCAEBAC，ACEABC；（2）ACEABC，ABBC，CACECEACAEBFAC，FBECAEFEBCEA，FBEFEBBFFE解：（3）连接OB，OC，设AM与CD交
16、于点H，如图，A为中点，OACD，CHHDCD4，AEH+EAH90FEBAEH，FEB+EAH90FBE+EAH90OBOA，EAHOBAOBA+FBE90即OBFMBOM+M90OHCD，F+M90，BOMFtanBOMtanFBFAC，ACHF，tanACHtanF，tanACH，AH3设圆的半径为x，则OHx3在RtOHC中，OC2OH2+CH2，解得：xOB在RtOBM中，tanBOM，BM6解：（1）如图1，ABAC，ADAC，以点A为圆心，点B、C、D必在A上，BAC是A的圆心角，而BDC是圆周角，BDCBAC45，同理，当点D在弧BC上时，BDC135故答案是：45或135；（
17、2）如图2，取BD的中点O，连接AO、COBADBCD90，点A、B、C、D共圆，BDCBAC，BDC25，BAC25，（3）如图3，作ABC的外接圆，过圆心O作OEBC于点E，作OFAD于点F，连接OA、OB、OCBAC45，BOC90在RtBOC中，BC6+28，BOCO4OEBC，O为圆心，BEBC4，DEOF2在RtBOE中，BO4，BE4，OEDF4在RtAOF中，AO4，OF2，AF2，AD2+47（1）证明：连接OD，如图，D为劣弧的中点，ODBCPF是O的切线，ODPF，BCPF；（2）连接OD，BD，如图，设AEx，则AD1+xD为劣弧的中点，CDBD，DCBCADCDEAD
18、C，CDEADC，CD2DEAD1（1+x）1+xBD21+xAB为O的直径，ADB90，AD2+BD2AB2O的半径为，AB2，解得：x3或x6（不合题意，舍去），AE3（3）连接OD，BD，设OD与BC交于点H，如图，由（2）知：AE3，ADAE+DE4，DB2，ADB90，cosDABOAOD，DABADO，cosADOcosDABOHBC，BHCH，cosADO，DHDEOHODDHBH，CHBHAB为O的直径，ACB90，由（1）知：ODPD，OHBC，四边形CHDP为矩形，P90，CPDH，DPCH，DCP的面积CPDP8（1）证明：ABAC，APBABCABCABP+CBP，AB
19、PACP，CBPPAC，ABCPAC+PCAAPBPAC+PCA（2）解：延长BP至点D，使PDPC，连接AD，如图，点P为的中点，PAPC，ABPCBPPAPDDPADAPBPAD+D2PADABAC，APBABCABCABP+CBP2ABP，PADABPDD，DAPDBA，DPAD，PADABP，DABPADAB6设PAx，则PDx，BD5+x，x2+5x360解得：x4或9（负数不合题意，舍去）PA4；（3）连接OP，OC，过点C作CHBP于点H，如图，O的半径为5，CP5，OPOCPC5，OPC为等边三角形POC60PBCPOC30 在RtBCH中，BHBCcos3063，CHBC3
20、在RtPCH中，PH4PBPH+BH4+3四边形ABCP是圆的内接四边形，PCEBAPEABP，EPCBPAAPPEPCBP5（4+3）20+159（1 ）证明：连接OA，CD是O的直径，CAD90，OAC+OAD90，又OAOD，OADODA，又BACADB，BAC+OAC90，即BAO90，ABOA，又OA为半径，直线AB是O的切线；（2）解：BACADB，BB，BCABAD，设半径OCOAr，BC2OC，BC2r，OB3r，在RtBAO中，AB， 在RtCAD中，tanADC；（3）解：在（2）的条件下，AB2r2，r，CD2，在RtCAD中，AC2+AD2CD2，解得AC2，AD2，A
21、P平分CAD，CAPEAD，又APCADE，CAPEAD，AEAPACAD22410证明：（1）CEAD于点E，DEC90，BCCD，C是BD的中点，又O是AB的中点，OC是BDA的中位线，OCAD，OCECED90，OCCE，又点C在圆上，CE是圆O的切线；（2）连接AC，OCCE，ECO90，AB是直径，ACB90ECO，ECAOCB，OCOB，OCBOBCACE，ABFACF，OBCABFACEACF，EBCECF，且EBCCAP，ECFCAP，且CPFCPA，PCFPAC，PC2PFPAAB是直径，点F在圆上，AFBPFE90CEA，EPFEPA，PEFPAE，PE2PFPAPEPC在
22、直角PEF中，sinPEF11（1）解：连接OD，如图，O的直径AB垂直于弦CD于点E，DEECCD3，AB10，OAOBOD5，OE4，AEOA+OE9，DP4，PEDP+DE7PEAE，tanP；（2）证明：连接BQ，如图，AB为O的直径，AQB90，QAB+B90，PEAE，QAB+P90，PB，BACQ，ACQCPA解：CEAB，AC3四边形AQDC为圆的内接四边形，PDQQAC，ACQCPA，PDQCAQ，PDQ与DCQ是等高的三角形，yy与x之间的函数关系式为y12（1）证明：在优弧EF上任意取一点G，连接GE，GF，四边形EDCG是圆内接四边形，EDF+G180，EDB+EDF1
23、80，GBDE，EAF2G，EAF2BDE；（2）作AHDF于H，EBD2EFD，2EFDBAD，EBDBAD，BDAD，在BDC和ADH中，BDCADH（AAS），CDDH，AHDF，DF2DH，DF2CD；（3）解：在RtABC中，由勾股定理得，AB10，BDCADFAFD，CEAF90，CDBAFB，解得r5；作EGAD于G，EGBC，AEGABC，AG，EGr，DGr，在RtEDG中，由勾股定理得，DEr，BEDE（10r）r+2r，当r5时，BEDE最大值为513（1）解：以AB为直径的圆的圆心为P，过点P作PHDC于H，作AFPH于F，连接PD、AD，则DHHCDC，四边形AOHF
24、为矩形，AFOH，FHOA1，解方程x24x+30，得x11，x23，OCOD，OD1，OC3，DC2，DH1，AFOH2，设圆的半径为r，则PH，PFPHFH1，在RtAPF中，AP2AF2+PF2，即r222+（1）2，解得：r，AOD90，OAOD1，AD，AB为直径，ADB90，BD3，tanABD；过点B作BEx轴于点E，作AGBE于G，则OAPHBE，P为AB的中点，OE2OH4，BG2PF2，BEBG+GE3，点B的坐标为（4，3）；（2）证明：过点E作EHx轴于H，点E是的中点，EDEB，四边形EDCB为圆P的内接四边形，EDHEBF，在EHD和EFB中，EHDEFB（AAS）
25、，EHEF，DHBF，在RtEHC和RtEFC中，RtEHCRtEFC（HL），CHCF，2CFCH+CFCD+DH+BCBFBC+CD14（1）证明：将ABC沿射线AC平移得到DEF，BECF，ACB90，CBEACB90，连接OG，OE，DE与O相切于点G，OGE90，OBEOGE90，OBOG，OEOE，RtBOERtGOE（HL），BEGE；解：过点D作DMBE于M，DMB90，由（1）知CBEBCF90，四边形BCDM是矩形，CDBM，DMBC，由（1）可知BEGE，同理可证CDDG，设BEx，CDy，在RtDME中，MD2+EM2DE2，（xy）2+62（x+y）2，xy9，即BE
26、CD9；（2）证明：延长HK交BE于点Q，设ABC，OBOH，BHOOBH，BOQBHO+OBH2，BQO902，ABC沿射线AC平移得到DEF，DEF沿DE折叠得到DEF，DEFDEFABC，BEF902，BQOBEF，HKEF；解：连接FF，交DE于点N，DEF沿DE折叠，点F的对称点为F，EDFF，FNFF，HK是O的直径，HBK90，点F恰好落在射线BK上，BFAB，ABC沿射线AC方向平移得到DEF，ABDE，BCEF，点B在FF的延长线上，BC是O的直径，HKEF，在HBK和ENF中，HBKENF（AAS），BKNF，设BKx，则BFBK+KF+FFx+3+2x3x+3，OBOK，
27、OBKOKB，又HBKBCF90，HBKFCB，解得：x13，x24（不合题意，舍去），BK3，在RtHBK中，sinBHK，BHK30，ABC30，在RtACB中，tanABCtan30，AC6tan3062，即AC的长为215（1）解：ABC60，ACB80，A180ABCACB40，BE是ABC的平分线，EBCABC，CE是ACD的平分线，ECDACD，BECECDEBCACDBACA20，即E20；（2）AC是O的直径，ABC90，F是ABC中BAC的好望角，BF平分ABC，CBEABC45，EACCBE45；证明：AC是O的直径，ADC90，ADF90，四边形AEDC是圆内接四边形，
28、FDECAE45，ADEFDE45，F是ABC中BAC的好望角，FBAC，BDCBACF+DBF，FDBF，DFDB，又DEDE，FEDAED（SAS），AEEF；联结AF，过点A作AH垂直于FB于点H，在等腰直角AHB中，ABH45，AB8，AHAB4FEDAED，ADFD，ADF是等腰直角三角形，FAD45，FADEAC45，FAEDAC，又AEEF，FAEAFE，AFEDAC，sinAFEsinDAC，设ADx，则，AD，CD5，AC16证明：（1）连接OD，交BC于点N，如图，AB为直径，ACB90BCM90AD平分BAC，ONBCDMAC，四边形CNDM为矩形ODMDOD为圆的半径，
29、MD是O的切线；解：（2）在点E运动过程中，EC+EM存在最小值理由：过点C作CFAB，并延长交O于点F，连接MF，交AB于点E，连接EC，则此时EC+EM的值最小，如图，B30，ACB90，CAB60AD平分BAC，CADDAB30与的度数为60AB是直径，的度数为60ABCF，AB是直径，180为半圆FD为圆的直径由（1）知：MD是O的切线，FDMD由题意：AB垂直平分FC，ECEFEC+EMEF+EMFMCFDDAB，DAB30，CFD30AB8，FD8由（1）知：四边形MCND为矩形，MDNCONBC，CNBC在RtACB中，sinCAB，BCABsin6084MDCNBC2在RtFD
30、M中，MF2EC+EM的最小值为MF2解：（3）如图，FC平分ACB，ACB90，ACFBCF45BAFBCF45AD平分BAC，CADBADPAFBAD+BAF，APFACF+CAD，PAFAPF，AFFPFCFP+CPAF+3FABACF45，FF，FAEFCAFA2FEFC4（AF+3）AF24AF120解得：AF6或AF2（不符合题意，舍去），AF617解：（1）如图1，连结BC，AD，OA，CF是直径，且，AOC90，CBACDAAOC45，ABCD，DCBABC45，DAEADC45，BECE，AEDE，AE+BECE+DE，即ABCD；（2）如图2，连结OA，CA，CB，过点G作
31、GHCB于点HABCD，CEACEG90，点E是AG的中点，AEGE，CECE，RtCAERtCGE（HL），ACEGCE，ACFAOF45，ACEGCE22.5，CAB67.5，的度数为135，GCE22.5，CBACDA45，CG是ECB的角平分线，BHG是等腰直角三角形，AEGEGHBHBG，（3）如图3连结AO交CE于点P，DF，AOCAOF90，OPCAPE，OAGOCP，OCOA，OAGOCP（ASA），CPAG，又AEPCEG90，AEPCEG，即，化简得，CF是直径，CDF90CEB，EGDF，AEDE，BECE，如图4，连结AC，过点F作FQBG于点Q，CEGFQG90，CG
32、EFGQ，CEGFQG，CEG的面积是BGF面积的3倍，EGCE3BGFQ，即，解得，x24（舍），tanBFGtanCAE18（1）AC2ADAB，又AA，ACDABC，ACDB（2）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AE4，AC6，CD9，AC2AEAB，同（1）得：ACEABC，即，2AD3EC（3）连结OA交BD于点F，连结OB，AECE，ABAE，AB2AEAC，同（1）得：ABEACB，ABDACB，点A是弧BD的中点，OABD，OAOB2，BD2，AFOF1，SABD，AECE，SABESCBE，SADESCDE，S四边形ABCD2 SABD219解：（1）连接OC、BC，A
33、B是圆的直径，故BCA90，在RtBCD中，点E是斜边BD的中点，则ECEBED，故EBCECB，OCOB，OBCOCB，EBOECO，BD是圆O的切线，EBO90，ECOEBO90，CO是圆的半径，故PC是O的切线；（2）CHAB，CHOEBO90，BDHC，ABEAHN，同理可得：，BEDE，HNNC，即点N是HC的中点；（3）设圆的半径为R，由（1）得：BE、EC都是圆O的切线，BEECEN，过点E作EGHC于点G，NGNC，EGHCHBEBO90CHA，四边形BEGH为矩形，EGBH2，ENGANH，ENGANH，即，解得R3，即圆的半径为320解：（1）如图1，连接CM，设点E运动时间为t（0t4），则E（t，0），BE是M的直径，BAE90，B（4，2），A（4，0），AE4t，AB2，BE，M是BE的中点，M（，1），M与y轴相切于点C，MCy轴，且MCBE，MC，解得：t，t的值为；（2）如图2，过点D作DFAE于点F，作DGBH于点G，连接DE，DB，AD，由（1）知：E（，0），BHAE4，AHBHAB2，BE是M的直径，BDE90，BE，D是的中点，DBDE，BDE是等腰直角三角形，DBEDEB45，DBDEBE，DAEDBE45，AFD90，
