1、 【类型综述】 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并 验根 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三 角形，这样列比例方程比较简便 【方法揭秘】 我们先看三个问题： 1已知线段 AB，以线段 AB 为直角边的直角三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 2已知线段 AB，以线段 AB 为斜边的直角三
2、角形 ABC有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 3已知点 A(4,0)，如果OAB 是等腰直角三角形，求符合条件的点 B 的坐标 图 1 图 2 图 3 如图 1，点 C 在垂线上，垂足除外如图 2，点 C 在以 AB 为直径的圆上，A、B 两点除外如图 3，以 OA 为边画两个正方形，除了 O、A 两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点 B，共 6 个 如图 4，已知 A(3, 0)，B(1,4)，如果直角三角形 ABC 的顶点 C 在 y 轴上，求点 C 的坐标 我们可以用几何的方法，作 AB 为直径的圆，快速找到两个符合条件的点 C 如果作 BDy 轴于 D，那么AOCCD
3、B来源:163文库 来源:163文库 设 OCm，那么 34 1 m m 这个方程有两个解，分别对应图中圆与 y 轴的两个交点 【典例分析】来源:163文库 ZXXK 例 1 如图 1，已知抛物线 E1：yx2经过点 A(1,m)，以原点为顶点的抛物线 E2经过点 B(2,2)，点 A、B 关于 y 轴的对称点分别为点 A、B （1）求 m 的值及抛物线 E2所表示的二次函数的表达式； （2）如图 1，在第一象限内，抛物线 E1上是否存在点 Q，使得以点 Q、B、B为顶点的三角形为直角 三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，P 为第一象限内的抛物线 E1上
4、与点 A 不重合的一点，连结 OP 并延长与抛物线 E2相交于 点 P，求PAA与PBB的面积之比 图 1 图 2 例 2 如图 1， 二次函数 yx2bxc 的图象与 x 轴交于 A(1, 0)、 B(3, 0)两点， 与 y 轴交于点 C， 连结 BC 动 点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 向点 B 运动，动点 Q 以每秒2个单位长度的速度从点 B 向点 C 运 动，P、Q 两点同时出发，连结 PQ，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点同时停止运动设运动的时间为 t 秒 （1）求二次函数的解析式； （2）如图 1，当BPQ 为直角三角形时，求 t 的值； （3）如图 2，当
5、t2 时，延长 QP 交 y 轴于点 M，在抛物线上是否存在一点 N，使得 PQ 的中点恰为 MN 的中点，若存在，求出点 N 的坐标与 t 的值；若不存在，请说明理由 图 1 图 2 例 3 如图 1，在 RtABC 中，ACB90 ，AB13，CD/AB，点 E 为射线 CD 上一动点（不与点 C 重合） ， 联结 AE 交边 BC 于 F，BAE 的平分线交 BC 于点 G （1）当 CE3 时，求 S CEF S CAF 的值； （2）设 CEx，AEy，当 CG2GB 时，求 y 与 x 之间的函数关系式； （3）当 AC5 时，联结 EG，若AEG 为直角三角形，求 BG 的长 图
6、 1 例 4 如图 1，二次函数 ya(x22mx3m2)（其中 a、m 是常数，且 a0，m0）的图像与 x 轴分别交 于 A、 B （点 A 位于点 B 的左侧） ， 与 y 轴交于点 C(0,3)， 点 D 在二次函数的图像上， CD/AB， 联结 AD 过 点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E，AB 平分DAE （1）用含 m 的式子表示 a； （2）求证： AD AE 为定值；来源:163文库 （3）设该二次函数的图像的顶点为 F探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，联结 GF，以线段 GF、 AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要
7、求的点 G 即可，并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由 图 1 例 5 如图 1，抛物线 2 13 4 42 yxx与 x 轴交于 A、B 两点（点 B 在点 A 的右侧） ，与 y 轴交于点 C， 连结 BC， 以 BC 为一边， 点 O 为对称中心作菱形 BDEC， 点 P 是 x 轴上的一个动点， 设点 P 的坐标为(m, 0)， 过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q （1）求点 A、B、C 的坐标； （2） 当点 P 在线段 OB 上运动时， 直线 l 分别交 BD、 BC 于点 M、 N 试探究 m 为何值时， 四边形 CQMD 是平行四边形，此时
8、，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由； （3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 例 6 如图 1，抛物线 2 33 3 84 yxx 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求点 A、B 的坐标； （2） 设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点， 当ACD 的面积等于ACB 的面积时， 求点 D 的坐标； （3）若直线 l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有 三 个时，求直
9、线 l 的解析式 图 1 【变式训练】 1 如图， 点 M 是直线 y=2x+3 上的动点， 过点 M 作 MN 垂直于 x 轴于点 N， y 轴上是否存在点 P， 使得MNP 为等腰直角三角形，则符合条件的点 P 有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） （ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 2如图，在矩形中，是边上的一个动点，当点 在（不含两点） 上运动时，若是以为斜边的直角三角形，则等于（ ） A B 或 C D或 3如图，在ABC 中，AB=2，AO=BO，P 是直线 CO 上的一个动点，AOC=60 ，当PAB 是以 BP 为直 角边的直角三角形时，AP 的长为（
10、） A,1,2 B,2 C,1 D，2来源:163文库 ZXXK 4如图，是的直径，弦， 是弦的中点，若动点 以的速度从 点出 发沿着方向运动，设运动时间为，连结，当是直角三角形时， （s）的值为 A B1 C或 1 D或 1 或 5若 D 点坐标(4，3)，点 P 是 x 轴正半轴上的动点，点 Q 是反比例函数 12 (0)yx x 图象上的动点，若 PDQ 为等腰直角三角形，则点 P 的坐标是_ 6如图，长方形 ABCD 中，A=ABC=BCD=D=90 ，AB=CD=6，AD=BC=10，点 E 为射线 AD 上的 一个动点，若ABE 与ABE 关于直线 BE 对称，当ABC 为直角三角
11、形时，AE 的长为_ 7如图，BOC=60 ，点 A 是 BO 延长线上的一点，OA=10cm，动点 P 从点 A 出发沿 AB 以 2cm/s 的速度 移动，动点 Q 从点 O 出发沿 OC 以 1cm/s 的速度移动，如果点 P，Q 同时出发，用 t（s）表示移动的时间， 当 t=_s 时，POQ 是等腰三角形；当 t=_s 时，POQ 是直角三角形 8如图，AB 是O 的直径，弦 BC=6cm，AC=8cm若动点 P 以 2cm/s 的速度从 B 点出发沿着 BA 的方 向运动，点 Q 以 1cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AC 的方向运动，当点 P 到达点 A 时，点 Q 也随之停
12、止运 动设运动时间为 t(s)，当APQ 是直角三角形时，t 的值为_ 9如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与 轴交于 、 两点，与 轴 交于 点，其中，. （1）若直线经过 、 两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点 ，使点 到点 的距离与到点 的距离之和最小，求出点 的坐标； （3）设点 为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点 的坐标. 10如图所示，已知抛物线经过点 A （2，0） 、 B （4，0） 、 C （0，8） ，抛物线 y a x 2 b x c （a0）与直线 y x 4 交于 B ， D 两点 （1）求抛物线的解析式并直接写出 D
13、 点的坐标； （2）点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线 BD 下方，试求出 BDP 面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3） 点 Q 是线段 BD 上异于 B 、 D 的动点， 过点 Q 作 QF x 轴于点 F ， 交抛物线于点 G 当 QDG 为直角三角形时，求点 Q 的坐标 11如图，抛物线 y=ax25ax+c 与坐标轴分别交于点 A，C，E 三点，其中 A（3，0） ，C（0，4） ，点 B 在 x 轴上， AC=BC， 过点 B 作 BDx 轴交抛物线于点 D， 点 M， N 分别是线段 CO， BC 上的动点， 且 CM=BN， 连接 MN，AM，AN （1）求抛物线的解析
14、式及点 D 的坐标； （2）当CMN 是直角三角形时，求点 M 的坐标； （3）试求出 AM+AN 的最小值 12如图所示，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（2，0） 、B（4，0） 、C（0，8） ，与直线 y=x 4 交于 B，D 两点 （1）求抛物线的解析式并直接写出 D 点的坐标； （2）点 P 为直线 BD 下方抛物线上的一个动点，试求出BDP面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3）点 Q 是线段 BD 上异于 B、D 的动点，过点 Q 作 QFx 轴于点 F，交抛物线于点 G，当QDG 为直角 三角形时，直接写出点 Q 的坐标 13如图，抛物线与直线交于 A、B
15、 两点.点 A 的横坐标为3，点 B 在 y 轴上，点 P 是 y 轴 左侧抛物线上的一动点，横坐标为 m，过点 P 作 PCx 轴于 C，交直线 AB 于 D. （1）求抛物线的解析式； （2）当 m 为何值时，； （3）是否存在点 P,使PAD 是直角三角形，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由. 14 （本小题满分 12 分）已知：直线 1 1 2 yx与y轴交于 A，与x轴交于 D，抛物线 2 1 2 yxbxc与 直线交于 A、E 两点，与x轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为 （1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）动点 P 在x轴上移动，当PAE 是直角三角形时，
16、求点 P 的坐标 （3）在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AMMC的值最大，求出点 M 的坐标 15如图，抛物线与 x 轴相交于点 A、B，与 y 轴相交于点 C，抛物线的对称轴与 x 轴相 交于点 MP 是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点 P、M、C 不在同一条直线上） 分别过点 A、B 作直线 CP 的垂线，垂足分别为 D、E，连接点 MD、ME （1）求点 A，B 的坐标（直接写出结果） ，并证明MDE 是等腰三角形； （2）MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点 P 的坐标；若不能，说明理由； （3）若将“P 是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点 P、M、C 不在同一条直线上）
17、”改为“P 是抛物线在 x 轴 下方的一个动点”，其他条件不变，MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点 P 的坐标（直接写出结 果） ；若不能，说明理由 16如图，直线与抛物线相交于和，点 P 是线段 AB 上异于 A、 B 的动点，过点 P 作轴于点 D，交抛物线于点 C 求抛物线的解析式； 是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； 连接 AC，直接写出为直角三角形时点 P 的坐标 y x O D E A B C 17如图，抛物线 y=x2x+与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）
18、求该抛物线的对称轴和线段 AB 的长； （2）如图 1，已知点 D（0，） ，点 E 是直线 AC 上访抛物线上的一动点，求AED 的面积的最大值； （3）如图 2，点 G 是线段 AB 上的一动点，点 H 在第一象限，ACGH，AC=GH，ACG 与ACG 关于 直线 CG 对称，是否存在点 G，使得ACH 是直角三角形？若存在，请直接写出点 G 的坐标；若不存在， 请说明理由 18如图，在矩形 OABC 中，点 O 为原点，点 A 的坐标为（0，8） ，点 C 的坐标为（6，0） 抛物线 y x2+bx+c 经过点 A、C，与 AB 交于点 D （1）求抛物线的函数解析式； （2）点 P
19、为线段 BC 上一个动点（不与点 C 重合） ，点 Q 为线段 AC 上一个动点，AQCP，连接 PQ，设 CPm，CPQ 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数表达式； 当 S 最大时，在抛物线 y x2+bx+c 的对称轴 l 上，若存在点 F，使DFQ 为直角三角形，请直接写出 所有符合条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 19已知，是边长的等边三角形，动点 以的速度从点 出发，沿线段向点 运动请分 别解决下面四种情况： （ ）如图 ，设点 的运动时间为，那么_时，是直角三角形； （ ）如图 ，若另一动点 从点 出发，沿线段向点 运动，如果动点 、 都以的速度同时出发设 运动时间为
20、，那么 为何值时，是直角三角形？ （ ）如图 ，若另一动点 从点 出发，沿射线方向运动连接交于 如果动点 、 都以的 速度同时出发设运动时间为，那么 为何值时，是等腰三角形？ （ ）如图 ，若另一动点 从点 出发，沿射线方向运动，连接交于 ，连接如果动点 、 都 以的速度同时出发请你猜想：在点 、 的运动过程中，和的面积有什么关系？并说明 理由 20如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线 AB 与直线 OA 相交于点 A（4，2） ，动点 M 在 y 轴上运动 （1）求直线 AB 的函数解析式； （2）动点 M 在 y 轴上运动，使 MA+MB 的值最小，求点 M 的坐标； （3）在 y 轴的负半轴上是否存在点 M，使ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形？如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，说明理由
