1、 【典例分析】 例 1 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0，c0）交 x 轴于点 A，B，交 y 轴于点 C，设过点 A，B，C 三点的圆与 y 轴的另一个交点为 D （1）如图 1，已知点 A，B，C 的坐标分别为（-2，0） ， （8，0） ， （0，-4） ； 求此抛物线的函数解析式； 若点 M 为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求BDM 面积的最大值； （2）如图 2，若 a=1，c=-4，求证：无论 b 取何值，点 D 的坐标均不改变 例 2 已知抛物线经过 A(3，0), B(4，1)两点，且与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的函数关系式及点 C 的坐标； （2） 如
2、图 （1） ,连接 AB， 在题 （1） 中的抛物线上是否存在点 P， 使PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形？ 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（2）,连接 AC，E 为线段 AC 上任意一点（不与 A、C 重合）经过 A、E、O 三点的圆交直线 AB 于点 F，当OEF 的面积取得最小值时，求点 E 的坐标 例 3 如图，在平面直角坐标系中，圆 D 与 y轴相切于点 C(0，4)，与 x轴相交于 A、B两点，且 AB6. (1)求 D 点的坐标和圆 D的半径； (2)求 sin ACB的值和经过 C、A、B三点的抛物线对应的函数表达式； (3)设抛物线的顶
3、点为 F，证明直线 AF与圆 D相切 例 4 如图，已知二次函数 2 2 yxm4m（m0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点 来源:学*科*网 Z*X*X*K （1）写出A、B 两点的坐标（坐标用 m 表示） ； （2）若二次函数图象的顶点 P 在以 AB 为直径的圆上，求二次函数的解析式； （3）设以 AB 为直径的M 与 y 轴交于 C、D 两点，求 CD 的长 例 5 已知圆 P 的圆心在反比例函数 图象上，并与 x 轴相交于 A、B 两点 且始终与 y 轴相切于 定点 C(0，1) （1）求经过 A、B、C 三点的二次函数图象的解析式; （2）若二次函数图象的顶点为 D，问当 k 为
4、何值时，四边形 ADBP 为菱形 例 6 如图，二次函数 y=x2+px+q（p0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，-1） ，ABC 的面积为 5 4 。 （1）求该二次函数的关系式； （2）过 y 轴上的一点 M（0，m）作 y 轴的垂线，若该垂线与ABC 的外接圆有公共点，求 m 的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使四边形 ACBD 为直角梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若 不存在，请说明理由。 【变式训练】 1如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”已知点 A、B、C、D 分别是“果 圆”与坐标轴的交点，抛物线的
5、解析式为 y=x26x16，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的线 段 CD 的长为_ 2如图，抛物线 2 yxx与 x 轴交于 O、A 两点半径为 1 的动圆P，圆心从 O 点出发沿抛物线向靠 近点 A 的方向移动； 半径为 2 的动圆Q，圆心从 A 点出发沿抛物线向靠近点 O 的方向移动两圆同时出 发，且移动速度相等， 当运动到 P、Q 两点重合时同时停止运动设点 P 的横坐标为 t若P 与Q 相离， 则 t 的取值范围是 3如图，抛物线过点 A(2，0)、B(6，0)、C(1， 3)，平行于 x轴的直线 CD交抛物线于 C、D，以 AB 为 直径的圆交直线 CD于点 E、F，
6、则 CE+FD的值是_ 4如图，抛物线 y 1 2 x2 5 2 x 与 x 轴交于 O，A 两点. 半径为 1 的动圆（P） ，圆心从 O 点出发沿抛物 线向靠近点 A 的方向移动；半径为 2 的动圆（Q） ，圆心从 A 点出发沿抛物线向靠近点 O 的方向移动. 两 圆同时出发，且移动速度相等，当运动到 P，Q 两点重合时同时停止运动. 设点 P 的横坐标为 t . PQ A y x O 来源:Z。xx。k.Com （1）点 Q 的横坐标是 （用含 t 的代数式表示） ； （2）若P 与Q 相离，则 t 的取值范围是 . 6如图,圆 B 切 y 轴于原点 O,过定点 A(-,0)作圆 B 的
7、切线交圆于点 P，已知 tanPAB=,抛物线 C 经 过 A、P 两点。 (1)求圆 B 的半径. (2)若抛物线 C 经过点 B,求其解析式. (3)设抛物线 C 交 y 轴于点 M,若三角形 APM 为直角三角形,求点 M 的坐标. 7如图，将圆C 放置在直角坐标系中，圆 C 经过原点 O 以及点 A（2，0） ，点 B（0，2 3） 。 x y C B AO （1）求圆心的坐标以及圆 C 的半径； （4 分） （2）设弧 OB 的中点为 D，请求出同时经过 O,A,D 三个点的抛物线解析式。 并判断该抛物线的顶点是否在圆 C 上，说明理由。 （6 分） （3）若（2）中的抛物线上存在点
8、 P（m，n） ，满足APB 为钝角，直接写出 m 的取值范围。 （2 分） 8 如图， 已知抛物线 2 yaxbxc（a0） 的图象的顶点坐标是 （2， 1） ， 并且经过点 （4， 2） ， 直线1 2 1 xy 与抛物线交于 B，D 两点，以 BD 为直径作圆，圆心为点 C，圆 C 与直线 m 交于对称轴右侧的点 M（t，1） ， 直线 m 上每一点的纵坐标都等于 1 （1）求抛物线的解析式； （2）证明：圆 C 与 x 轴相切； （3）过点 B 作 BEm，垂足为 E，再过点 D 作 DFm，垂足为 F，求 MF 的值 9如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c
9、（a0）与 x 轴交于点 O、M对称轴为直线 x=2， 以 OM 为直径作圆 A，以 OM 的长为边长作菱形 ABCD，且点 B、C 在第四象限，点 C 在抛物线对称轴上， 点 D 在 y 轴负半轴上； （1）求证：4a+b=0； 来源:163文库 （2）若圆 A 与线段 AB 的交点为 E，试判断直线 DE 与圆 A 的位置关系，并说明你的理由； （3）若抛物线顶点 P 在菱形 ABCD 的内部且OPM 为锐角时，求 a 的取值范围 10已知一元二次方程的一根为 求 关于 的函数关系式； 求证：抛物线与 轴有两个交点； 设抛物线与 轴交于 、 两点（ 、 不重合） ，且以为直径的圆正好经过该
10、抛物线 的顶点，求 ， 的值 11如图，在平面直角坐标系中，圆 M 经过原点 O，且与 x 轴、y 轴分别相交于 A（-8，0） ，B（0，-6）两 点 （1）求出直线 AB 的函数解析式； （2）若有一抛物线的对称轴平行于 y 轴且经过点 M，顶点 C 在圆 M 上，开口向下，且经过点 B，求此抛物 线的函数解析式； （3）设（2）中的抛物线交 x 轴于 D、E 两点，在抛物线上是否存在点 P，使得 SPDE=SABC？若存在， 请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 12如图，在平面直角坐标系中， 为原点， 点坐标为， 点坐标为，以为直径的圆 与 轴 的负半轴交于点 （1）求图象经过
11、， ， 三点的抛物线的解析式； （2）设 点为所求抛物线的顶点，试判断直线与的关系，并说明理由 来源:163文库 13如图，已知C的圆心在 x 轴上，且经过 (1,0)A、( 3,0)B 两点，抛物线 2 ymxbxc（m0） 经过 A、B 两点，顶点为 P。 （1）求抛物线与 y 轴的交点 D 的坐标（用 m 的代数式表示） ； 14如图，抛物线cbxxy 2 2 1 与 x 轴的两个交点 A、B，与 y 轴交于点 C，A 点坐标为（4，0） ，C 点坐标（0，4） C. A B D P O x y x y O D C B A （1）求抛物线的解析式； （2）用直尺和圆规作出的外接圆M， （
12、不写作法，保留作图痕迹） ，并求M 的圆心 M 的坐标； 15已知直线 3 4 yxb与抛物线 2 yax交于点 A（1， 1 4 ） ，与y轴交于点 C （1）求抛物线的解析式和点 C 的坐标； （2）把（1）中的抛物线向右平移 2 个单位，再向上平移m个单位（m0） ，抛物线与x轴交于 P、Q 两 点，过 C、P、Q 三点的圆恰好以 CQ 为直径，求m的值； （3）如图，把抛物线向右平移 2 个单位，再向上平移n个单位（n0） ，抛物线与x轴交于 P、Q 两点， 过 C、P、Q 三点的圆的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值和此时n的值；若不存在，请说 明理由 16已知抛物线的顶点
13、为（0，4）且与 x 轴交于（2，0） ， （2，0） （1）直接写出抛物线解析式； （2）如图，将抛物线向右平移 k 个单位，设平移后抛物线的顶点为 D，与 x 轴的交点为 A、B，与原抛物 线的交点为 P 当直线 OD 与以 AB 为直径的圆相切于 E 时，求此时 k 的值； 是否存在这样的 k 值，使得点 O、P、D 三点恰好在同一条直线上？若存在，求出 k 值；若不存在，请说 明理由 17已知抛物线 y=ax2+bx+c ，当 x=0 时，有最小值为 1 ；且在直线 y=2 上截得的线段长为 4 . （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 P 是抛物线的任意一点，记点 P 到 X 轴的
14、距离为 d1，点 P 与点 F （0，2）的距离为 d2，猜想 d1、 d2的大小关系，并证明； （3）若直线 PF 交此抛物线于另一点 Q（异于 P 点） 。 试判断以 PQ 为直径的圆与 x 轴的位置关系，并说 明理由。 18在平面直角坐标系中，直线 3 1 4 yx 交y轴于点B，交x轴于点A，抛物线 2 1 2 yxbxc 经 过点B，与直线 3 1 4 yx 交于点(4, 2)C （1）求抛物线的解析式； （2）如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作/ /MEy轴交直线BC于点E，以 ME为直径的圆交直线BC于另一点D当点E在x轴上时，求DEMV的周长； （3）将A
15、OB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90o，得到 111 AO B，点,A O B的对应点分别是 111 ,A O B若 111 AO B的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 1 A的坐标 19如图，抛物线 2 23yxx与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点 （1）求抛物线的顶点坐标； （2）设直线3yx与 y 轴的交点是 D，在线段 AD 上任意取一点 E（不与 A、D 重合） ，经过 A、B、E 三点的圆交直线 AC 于点 F，试判断BEF 的形状，并说明理由 20我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“果圆”如图，A，B，C，D 是“果圆”与坐标轴 的交点，点 D 的坐标为（0，8） ，且 AB=6，点 P 是以 AB 为直径的半圆的圆心，P 的坐标为（1，0） ，连接 DB，AD，动点 E，F 分别从 A，O 两点出发，以相同的速度沿 x 轴正方向运动，当 F 到达 B 点时两点同时 停止，过点 F 作 FGBD 交 AD 于点 G 来源:学+科+网 Z+X+X+K （1）求“果圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）在“果圆”上是否存在一点 H，使得DBH 为直角三角形？若存在，求出 H 点的坐标；若不存在，说明 理由； （3）设 M，N 分别是 GE，GF 的中点，求在整个运动过程中，MN 所扫过的图形面积
