1、 1 / 5 人教 A 版必修 3 高二数学下册期末考点完全梳理：概率概率 1事件的相关概念事件的相关概念 2事件的关系与运算事件的关系与运算 定义 符号表示 包含 关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) BA (或 AB) 相等 关系 若 BA 且 AB，那么称事件 A 与事件 B 相等 AB 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生， 称此 事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) AB (或 AB) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生， 则称 此
2、事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件) AB (或 AB) 互斥 事件 若 AB 为不可能事件，那么称事件 A 与事件 B 互斥 AB 对立事件 若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 AB且 ABU 3. 判断互斥、对立事件的判断互斥、对立事件的 2 种方法种方法 (1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个 事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 (2)集合法：由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥 事件 A 的对立事件所含的结果组成的集
3、合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集 例 1(2019 山东曲阜检测)从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个 事件是( ) A至少有一个黑球与都是黑球 B至少有一个黑球与都是红球 C至少有一个黑球与至少有一个红球 D恰有一个黑球与恰有两个黑球 【答案】【答案】D 对于 A，事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，A 不正确；对 于 B，事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，这两个事件是对立 2 / 5 事件，B 不正确；对于 C，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发
4、生，如：一个 红球一个黑球，C 不正确；对于 D，事件：“恰有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但 从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，D 正确 4概率和频率概率和频率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA为 事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)nA n 为事件 A 出现的频率 (2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率 P(A)，因此可 以用频率 fn(A)来估计概率 P(A) 5. (1
5、)概率与频率的关系概率与频率的关系 关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个 确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频 率来作为随机事件概率的估计值 (2)随机事件概率的求法随机事件概率的求法 求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生 的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率 例 2、(2019 湖北武汉调研)一鲜花店根据一个月(30 天)某种鲜花的日销售量与销售天数统计如下，将日 销售量落入各组区间的频率视为概率. 日销售量(枝) 050 50100 100150 150200 200250 销售天数 3
6、 天 5 天 13 天 6 天 3 天 (1)试求这 30 天中日销售量低于 100 枝的概率； (2)若此花店在日销售量低于 100 枝的时候选择 2 天作促销活动， 求这 2 天恰好是在日销售量低于 50 枝 时的概率 解 (1)设月销量为 x，则 P(0x50) 3 30 1 10， P(50x100) 5 30 1 6， P(0x100) 1 10 1 6 4 15 (2)日销售量低于 100 枝共有 8 天，从中任选两天促销共有 n28 种情况； 日销售量低于 50 枝共有 3 天，从中任选两天促销共有 m3 种情况 由古典概型公式得 Pm n 3 28. 6概率的几个基本性质概率的
7、几个基本性质 (1)概率的取值范围：0P(A)1 (2)必然事件的概率 P(E)1 3 / 5 (3)不可能事件的概率 P(F)0 (4)概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B) (5)对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A)1P(B) 例 3(2018 全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的 概率为 0.15，则不用现金支付的概率为( ) A0.3 B0.4 C0.6 D0.7 【答案】B 由题意可知不用现金支付的概率为 10.450.150.4. 练习(2019 山东济南模拟)从一
8、箱产品中随机地抽取一件，设事件 A抽到一等品，事件 B抽到 二等品，事件 C抽到三等品，且已知 P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的产品不是一 等品”的概率为_ 【答案】035 事件 A抽到一等品，且 P(A)0.65，事件“抽到的产品不是一等品”的概率 为 P1P(A)10.650.35. 练习(2019 辽宁大连月考)从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52 张)中，随机抽取 1 张，事件 A 为“抽得红桃 K”，事件 B 为“抽得黑桃”，则概率 P(AB)_(结果用最简分数表示) 【答案】 7 26 P(A) 1 52，P(B) 13 52，且 A 与 B 是
9、互斥事件P(AB)P(A)P(B) 1 52 13 52 14 52 7 26. 练习. (2019 河南洛阳检测)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为1 7，都 是白子的概率是12 35，则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是( ) A1 7 B12 35 C17 35 D1 【答案】C 设“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A，“从中取出 2 粒都是白子”为事件 B，“任意取 出 2 粒恰好是同一色”为事件 C，则 CAB，且事件 A 与 B 互斥所以 P(C)P(A)P(B)1 7 12 35 17 35. 即任意取出 2 粒恰好是同一色的概率为17 35
10、. 7基本事件的特点基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和 4 / 5 8古典概型古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等 9古典概型的概率古典概型的概率公式公式 P(A)A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 例 4(2018 全国卷)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学 的概率为( ) A0.6 B0.5 C0.4 D0.3 【答案】D 设 2 名
11、男同学为 a，b,3 名女同学为 A，B，C，从中选出两人的情形有(a，b)，(a，A)，(a， B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共 10 种，而都是女同学的情形有(A，B)， (A，C)，(B，C)，共 3 种，故所求概率为 3 100.3. 练习(2019 山东淄博月考)从 3 名男同学，2 名女同学中任选 2 人参加知识竞赛，则选到的 2 名同学中 至少有 1 名男同学的概率是_ 【答案】 9 10 所求概率为 P1 C22 C25 9 10. 练习(2019 辽宁大连模拟)将号码分别为 1,2,3,4 的四个小球放入一个袋中，这
12、些小球仅号码不同，其 余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为 a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为 b，则 使不等式 a2b40 成立的事件发生的概率为_ 【答案】1 4 由题意知(a，b)的所有可能结果有 4416(种)，其中满足 a2b40 的有(1,3)，(1,4)， (2,4)，(3,4)，共 4 种结果故所求事件的概率 P 4 16 1 4. 10. 求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有 关知识解决，其解题流程为：关知识解决，其解题流程为： 化事件 将题目条件
13、中的相关知识转化为事件 辨概型 判断事件是古典概型还是其他概型 列事件 选用合适的方法列举基本事件 5 / 5 求概率 代入相应的概率公式求解 例 5. (2019 山东泰安模拟)某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表： 质量指标值 m m185 185m205 m205 等级 三等品 二等品 一等品 从某企业生产的这种产品中抽取 200 件，检测后得到如图的频率分布直方图： (1)根据以上抽样调查数据， 能否认为该企业生产的这种产品符合“一、 二等品至少要占全部产品 92%” 的规定？ (2)在样本中，按产品等级用分层抽样的抽取 8 件，再从这 8 件产品中随机抽取
14、 4 件，求抽取的 4 件产 品中，一、二、三等品都有的概率 解 (1)根据抽样调查数据， 一、 二等品所占比例的估计值为 0.2000.3000.2600.0900.0250.875， 由于该估计值小于 0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品 92%”的 规定 (2)由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为 0.375,0.5,0.125，故在样本中用分层抽样方法抽 取的 8 件产品中，一等品 3 件，二等品 4 件，三等品 1 件再从这 8 件产品中随机抽取 4 件，一、二、三 等品都有的情形有 2 种： 一等品 2 件，二等品 1 件，三等品 1
15、件； 一等品 1 件，二等品 2 件，三等品 1 件 故所求的概率 PC 2 3C 1 4C 1 1C 1 3C 2 4C 1 1 C48 3 7 练习. (2019 河南洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a，b，则直线 axby0 与圆(x 2)2y22 有公共点的概率为_ 【答案】7 12 依题意， 将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a， b)有(1,1)， (1,2)， (1,3)， ， (6,6)，共 36 种，其中满足直线 axby0 与圆(x2)2y22 有公共点，即满足 2a a2b2 2，a2b2的数 组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(6,6)，共 65432121 种，因此所求的概率为21 36，即 7 12.
