1、 1 定远重点中学 2017-2018学年第二学期第一次月考 高一数学试题 注意事项： 1答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将第 I卷（选择题）答案用 2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第 II 卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。 第 I卷（选择题 60分） 一选择题 （本题有 12小题，每小题 5分，共 60分。） 1.观察数列 1， 2， 2， 3， 3， 3， 4， 4， 4， 4， ? 的特点，问第 100项为（ ） A.10 B.14 C.13 D.100 2.在等差数列 中 ， ，则 的值是（ ） A.24 B.48 C.96 D.无法确定
2、 3.一个由实数组成的等比数列，它的前 6项和是前 3项和的 9倍，则此数列的公比为 ( ) A.2 B.3 C. D. 4.设等差数列 的前 项和为 ， 、 是方程 的两个根， （ ） A. B.5 C. D. 5. sin20cos10 -cos160sin10=( ) A.- B. C.- D. 6.在锐角 ABC 中，角 A， B所对的边长分别为 a， b若 2asinB= b，则角 A等于（ ） A. B. C. D. 7.设等比数列 an的前 n项和为 Sn,前 n项的倒数之和为 Tn,则 的值为（ ） A. B. C. D. 2 8.已知数列 满足 ， 且 ， 则的值是（ ） A
3、. B. C. D.5 9.已知等比数列 na 满足1 14a?， 3 5 44( 1)a a a?，则 2a? （ ） A 2 B 1 C 12 D 18 10.已知等差数列 ?na ， 6 2a? ，则此数列的前 11 项的和 11S? （ ） A 44 B 33 C 22 D 11 11.在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且满足 sin 2sin cosA B C? ，则 ABC 的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 12.各项均为正数的等比数列 ?na 的前项和为 nS ，若 32, 14n
4、nSS?，则 4nS? （ ） A. 80 B. 16 C. 26 D. 30 第 II卷（选择题 90分） 二、填空题 (共 4小题 ,每小题 5分 ,共 20分 ) 13.在 ABC中， A= ， D是 BC 边上任意一点（ D与 B、 C不重合），且丨|2= ， 则 B= 14.在等比数列 an中，若 a3a5=10，则 a2?a6= 15.在 ABC中，点 D， E分别是边 AB， AC上的一点，且满足 AD= AB， AE= AC，若 BECD，则 cosA的最小值是 16.在 ABC中， a， b， c分别为角 A， B， C的对边，已知 bcosC+ccosB=2b，则 = 三、
5、解答题 (共 6小题 ,共 70分 ) 17. (12 分 ) 在 ABC? 中， ,abc分别是角 ,ABC 的对边，且3 ? ?2 c o s c o s ta n ta n 1 1A C A C ?. （ ）求 B 的大小； （ ）若 15, 3a c b? ? ?，求 ABC? 的面积 18. (12 分 )已知数列 ?na 是首项为 1，公比为 q （ 0q? ）的等比数列，并且 12a ， 312a， 2a 成等差数列 . （ 1）求 q 的值； （ 2）若数列 ?nb 满足 2nnb a n?，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 19. (12 分 )在 ABC? 中，角
6、,ABC 所对的边分别为 ,abc，且满足 25cos 25A? ， ? 3AB AC? . （ 1）求 ABC? 的面积； （ 2）若 6bc? ，求 a 的值 . 20. (10 分 )某人在汽车站 M的北偏西 20 的方向上的 A处 (如图所示 )，观察到 C处有一辆汽车沿公路向 M站行驶，公路的走向是 M站的北偏东 40 .开始时，汽车到 A处的距离为 31km，汽车前进 20km后 到达 B处，此时 到 A处的距离缩短了 10km 问汽车还需行驶多远，才能到达汽车站 M ? 21. (12 分 )在 ABC? 中，边 a b c、 、 所对的角分别为 A B C、 、 ， s in
7、s in s in 2 3 s ins in 3a A b B c C CaB? ? （ 1）求角 C 的大小； （ 2）若 ABC? 的中线 CD 的长为 1，求 ABC? 的面积的最大值 4 22. (12 分 )已知数列 ?na 中， 1 34a?， 1 12n na a? ? ?（ *nN? ） . （ 1）求证：数列 11na?是等差数列，并求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设 ? ?*1nnb a n N? ? ?， 1 2 2 3 1n n nS b b b b b b ? ? ? ?，试比较 na 与 8nS 的大小 . 5 参 考 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8、 10 11 12 B B A A D D A C C C A D 1.B【解析】设 nN * ， 则数字 n 共有 n个 所以由 100 ， 即 n（ n+1） 200 ， 又因为 nN * ， 所以 n=13，到第 13个 13时共有 =91项， 从第 92 项开始为 14，故第 100项为 14 故选： B 2.B【解析】因为 为 的等差中项，所以 ，再由等差数列的性质 (下脚标之和相等，对 应项数之和相等 )有 ，故选 B. 3.A【解析】解法一 : 设此数列的公比为 ， 根据题意得 ， 解得 .故选 A. 解法二 : 依题意得 ， 故 . ， 解得 .故选 A. 4.A【解析】由韦达
9、定理可知 ， 等差数列的性质知 ， 根据等差数列的求和公式 ， 故选 A. 5.D【解析】原式 =sin20cos10+cos20sin10=sin30= 。 本题解题的关键在于观察到 20 与 160 之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的 三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式 . 6 6.D【解析】 在 ABC 中， 2asinB= b， 由正弦定理 =2R得： 2sinAsinB= sinB， sinA= ，又 ABC 为锐角三角形， A= 故选 D 7.A【解析】 a1an=a2an-1=a3an-2=?=
10、a na1 ， 故选 A。 8.C【解析】 是公比为 3的等比数列，由可得 ， 所以 9.C 【解析】由 3 5 44( 1)a a a?得23 44 4 4 2 1114 ( 1 ) , 2 , 8 , 2 , 2aa a a q q a a qa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.故选 C. 10.C【解析】61 1 1111 1( ) 1 1 2 22aaSa? ? ?,故选 C. 11.A【解析】 由三角形 内角和定理得 ? ?sin 2sin co sB C B C? ，化简得 ? ?sin 0BC?，所以 BC? ，为等腰三角形 . 7 12.D 【 解 析 】 由 等
11、 比 数 列 的 性 质 可 得 2 3 2 4 3, , ,n n n n n n nS S S S S S S? ? ?成 等 比? ?223?n n n nS S S S? ? ? ? 32 2 4 3 46 4 2 2 1 6 3 0n n n n n nS S S S S S? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故选 D. 13. 【解析】做高 AE，不妨设 E 在 CD 上，设 AE=h， CE=x， CD=p， BD=q，则 DE=p x， BE=p+qx， 则 AD2=AE2+DE2=h2+（ p x） 2 ， AB2=AE2+BE2=h2+（ p+q x） 2 ， A
12、B2 AD2=（ p+q x） 2（ p x） 2=q（ q+2p 2x）， 即 pq=BD?CD=q（ q+2p 2x）， q0 ，所以 p=q+2p 2x， x= ， 即 E为 BC中点，于是 ABC为等腰三角形 顶角为 ， 则底角 B= 故答案为 14.10 【解析】 在等比数列 an中， a3a5=10， a 2?a6= =（ ）（ ） =a3a5=10 故答案为： 10 由等比数列的通项公式得 a2?a6=（ ）（ ） =a3a5 ， 由此能求出结果 15. 【解析】如图所示，不妨设 C（ 3， 0）， B（ x， y）， A（ 0， 0） 8 AD= AB， AE= AC， E （
13、 1， 0）， D BECD ， =（ 1 x， y） ? = =0， 化为： +y2= 圆心 G ，半径 r= 设圆的切线方程为 y=kx（取 k 0） 则 = ，化为 k2= ，解得 k= 当 AB与 G 相切时， A 最大， cosA最小 此时 tanA= ， cosA= = cosA 的最小值为 故答案为： 如图所示，不妨设 C（ 3， 0）， B（ x， y）， A（ 0， 0）由 AD= AB， AE= AC，可得 E（ 1，0）， D 由 BECD ，可得 =0，化为： +y2= 利用直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、同角三角函数基本关系式即可得出 16.2 【解析】在 A
14、BC 中，将 bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得： sinBcosC+sinCcosB=2sinB， 即 sin（ B+C） =2sinB， sin （ B+C） =sinA， sinA=2sinB ， 9 利用正弦定理化简得： a=2b， 则 =2 故答案为： 2 17.（ ） 3B ? ; （ ） 3 . 【解析】 （ ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦 ,去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简 ,再 由诱导公式变形求出 cosB 的值 ,即可确定出 B 的大小 ; （ ）由 cosBb， 的值 ,利用余弦定理列出关系式 ,再利用完全平方公式变形 ,将 ab?
15、 以及b 的值代入求出 ac 的值 ,再由 cosB 的值 ,利用三角形面积公式即可求出 ABC? 面积 . 试题解析： （ ）由 ? ?2 c o s c o s ta n ta n 1 1A C A C ?， 得 s in s in2 c o s c o s 1 1c o s c o sACAC AC?. ? ?2 sin sin c o s c o s 1A C A C?. ? ? 1cos 2AC? ? ?. 1cos 2B? . 又 0 B ?， 3B ? . （ ）由 2 2 2 2 cosb a c ac B? ? ? ，得 ? ?2 23a c ac b? ? ?， 又 15,
16、 3a c b? ? ?， 4ac? . 1 1 3s in 4 32 2 2ABCS a c B? ? ? ? ? ?. 18.（ 1） 2q? (2) 2 21nnn? ? ? . 【解析】 （ 1）直接利用已知条件整理得到关于公比的等式，解之即可求出公比； 10 （ 2）利用求出的公比，先求出两个数列的通项公式，再对数列 bn采用分组求和即可 试题解析： （ 1）由条件得 3 1 22a a a?， 2 20qq? ? ? . 得 2q? 或 1q? （舍） （ 2） 12nna ? 122nnbn? ? ? ? ? 21 1 2 12 2 11 2 2n nn nnT n n? ? ?
17、 ? ? ? ? ? . 19.解：（ I）因为 25cos 25A? ，所以 ，又 ,所以 . 由 3AB AC?，得 cos 3,bc A? 所以 . 故 （ II）由 5bc? ，且 6bc? ，解得 或 由余弦定理得 2 2 2 2 co s 2 0a b c bc A? ? ? ?，故 . 【解析】（ 1）由二倍角公式求得 3cos 5A? ，得到 4sin 5A? ，由 3AB AC?求得 5bc? ，即可得到三角形面积；（ 2）由（ 1） 5bc? 以及 6bc? 求得 5, 1bc?或 1, 5bc?，再有余弦定理求得 试题解析：（ 1） 25cos 25A? 2 34c o s 2 c o s 1 , s in2 5 5AAA? ? ? ? 3AB AC? cos 3bc A? 5bc?
