1、 1 108 大學大學指考指考數學科數學科（甲）試題分析與未來展望（甲）試題分析與未來展望 壹壹、108 年年指考指考數學數學（甲）（甲）試題試題整體整體分析分析 本年度指考與往年試題相較下缺少基本題，試卷鑑別度提高、計算量較大且因為越來越強調” 數值要貼近真實”，因此許多試題的數字並沒有設計得容易化簡，在試題的計算需要花些許時間和 耐心。 就試題提問內容來看，比較強調測驗數學觀念，反而素養試題不若學測題豐富，因此生活應用 問題部分考得較少，像是第 5 題考取球機率、第 6 題考極限問題，都是以測驗數學概念融會貫通理 解為主；而像單選第 1 題就請同學把紅包大放送規則轉換成數學策略，是標準透過
2、生活情境題考驗 閱讀理解能力的素養題。 不過值得注意的是，許多試題考驗在沒有計算機的情況下，能否透過估算能力找出答案， 例如單選第 2、單選第 3 題；而數甲測驗中強調推理論證能力的精神也可以從試題中找出，例如多 選 4 的直線與圓的幾何推理、多選 6 極限的舉反例能力與非選第 2 題的微積分論證。 貳、題目分布：貳、題目分布： 一、一、107 年指考數學年指考數學（甲）（甲）冊別範圍分布冊別範圍分布 冊別 第一冊 第二冊 第三冊 第四冊 選修(上) 選修(下) 占分 12 8 22 18 12 28 2 二、二、102107 年指考數學年指考數學（甲）（甲）各單元範圍分布各單元範圍分布 10
3、2 年年 103 年年 104 年年 105 年年 106 年年 107 年年 108 年年 第 一 冊 數與式 多項式函數 多選 5 單選 4 多選 5 指數與對數 函數 單選2 單選3 單選1 單選 4 單選 2 非選擇題 一(3) 多選 5 單選 2 選填 B 第 二 冊 數列與級數 單選 2 單選 1 排列與組合 機 率 單選 4 選填 B 多選 8 選填 A 單選 1 單選 3 多選 5 數據分析 第 三 冊 三 角 選填A 多選9 非選擇題 一(2)、二(2) 選填 C 單選 3 直線與圓 多選 5 選填 B 單選 1 多選 7 非選擇題 一(1) 選填 B 選填 A 多選 4 平
4、面向量 單選 4 單選 3 非選擇題 一(2) 單選 3 多選 5 單選 2 多選 8 第 四 冊 空間向量 多選 9 多選 5 選填 B 非選擇題 二(1) 多選 6 第二部分 第 1 題 空間中的平 面與直線 多選 6 多選 8 選填 B 多選 5 選填 D 計算一 矩 陣 單選 4 非選擇題 二 非選擇題 二(2)(3) 單選 2 多選 6 非選擇題 一(1) 單選 1 選填 A 二次曲線 選 修 上 機率統計 單選 3 多選 7 選填 D 選填 A 選填 B 單選 1 三角函數 單選 1 多選 8 單選 2 非選擇題 二(1) 單選 3 非選擇題 一 選填 C 單選 3 多選 6 多選
5、 7 選填 C 選 修 下 極限與函數 多選 7 單選 4 選填 C 非選擇題 二 單選 2 選填 C 多選 8 多選 6 多項式函數 的微積分 非選擇題 一 多選 6 非選擇題 一 多選 6 選填 A 多選 7 非選擇題 二 單選 4 多選 7 非選擇題 二(3) 多選 4 計算二 多選 7 第二部分 第 2 題 3 參參、試題解析、試題解析 第壹部分選擇題（單選題多選題及選填題共占 76 分） 一一單選題（單選題（占占 1818 分）分） 說明第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡 之選擇（填）題答案區 。各題答對者，得 6 分；答錯、
6、未作答或畫記多於一個選項者，該 題以零分計算。 1. 某公司尾牙舉辦紅包大放送活動。每位員工擲兩枚均勻銅板一次，若出現兩個反面可得獎金 400元；若出現一正一反可得獎金800元；若出現兩個正面可得獎金800元並且獲得再擲一次的 機會，其獲得獎金規則與前述相同，但不再有繼續投擲銅板的機會（也就是說每位員工最多有兩 次擲銅板的機會）。試問每位參加活動的員工可獲得獎金的期望值為何 (1) 850元 (2) 875元 (3) 900元 (4) 925元 (5) 950元 答答 案案：(2) 難易度：中難易度：中 出出 處：處：選修一選修一期望值期望值 解解 析：析： 狀況 兩反 一正一反 兩正 兩反
7、一正一反 兩正 i p 1 4 2 4 11 44 12 44 11 44 獎金 i x 400 800 800400 800 800 800 800 期望值 12121 ()400800120016001600875 44161616 ii i E Xx p （元） 2. 設n為正整數。第n個費馬數 （Fermat Number） 定義為 (2 ) 21 n n F ，例如 1 (2 )2 1 21215F ， 2 (2 )4 2 2121 17F 。試問 13 12 F F 的整數部分以十進位表示時，其位數最接近下列哪一個選項? （log20.3010） (1) 120 (2) 240 (
8、3) 600 (4) 900 (5) 1200 答答 案：案：(5) 難易度：中難易度：中 出出 處：處：第一冊第一冊指數與對數的應用指數與對數的應用 解解 析：析： 4 1313 1212 131212 (2)(2) 13 (2)(2) 12 (22)(2) 1212 212 logloglog 212 log2log2 2log2 20.30101232.896 F F 3. 在一座尖塔的正南方地面某點A，測得塔頂的仰角為14；又在此尖塔正東方地面某點B，測得 塔頂的仰角為18 30，且A、B兩點距離為65公尺。已知當在線段AB上移動時，在C點測得塔 頂的仰角為最大，則C點到塔底的距離最接
9、近下列哪一個選項（cot144.01，cot18 302.99） (1) 27公尺 (2) 29公尺 (3) 31公尺 (4) 33公尺 (5) 35公尺 答答 案：案：(3) 難易度：中難易度：中 出出 處：第三冊三角測量處：第三冊三角測量 解解 析：析： 設塔高ODh公尺 則cot144.01OAhh、cot18 302.99OBhh 由 222 OAOBAB 則 2 22 (4.01 )(2.99 )hhAB AB565hh13 要仰角最大，則C應距塔底距離最近（OCAB） OAB： 22 OA OBAB OC OC (4 13) (3 13) 31.2 65 5 二多選題（二多選題（占
10、占 4040 分）分） 說明第 4 題至第 8 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答 案卡之選擇（填）題答案區 。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項 者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零 分計算。 4. 設為坐標平面上通過(7,0)與 7 (0, ) 2 兩點的圓。試選出正確的選項。 (1) 的半徑大於或等於5 (2) 當的半徑達到最小可能值時，通過原點 (3) 與直線26xy有交點 (4) 的圓心不可能在第四象限 (5) 若的圓心在第三象限，則的半徑大於8
11、 答答 案：案：(2)(5) 難易度：中難易度：中偏難偏難 出出 處：處：第三冊圓與直線的關係第三冊圓與直線的關係 解解 析：析： (1)(2) 最小圓以(7,0)A， 7 (0,) 2 B為直徑。圓心 7 0 707 7 2 (,)( , ) 222 4 半徑 22 1177 5 (70)(0)5 2224 rAB 則圓： 222 777 5 ()()() 244 xy 以(0,0)代入合於上式，則此圓過(0,0) (1) 錯，(2) 正確。 (3) 如圖，斜率 7 0 1 2 702 AB m 、 031 602 CD m 若平行CD圓的切線不與26xy有交點，則圓不會與26xy相交。 (
12、3) 錯 6 (4)(5) 圓心在(7,0)， 7 (0,) 2 的中垂線上， 中垂線： 21 2 4 xy亦會過第四象限。 (4) 錯 如圖，若圓心在第三象限，則半徑大於BE 72135 ()8 244 BE (5) 正確 5. 袋中有2顆紅球、3顆白球與1顆藍球，其大小皆相同。今將袋中的球逐次取出，每次隨機取出 一顆，取後不放回，直到所有球被取出為止。試選出正確的選項。 (1) 取出的第一顆為紅球的機率等於取出的第二顆為紅球的機率 (2) 取出的第一顆為紅球與取出的第二顆為紅球兩者為獨立事件 (3) 取出的第一顆為紅球與取出的第二顆為白球或藍球兩者為互斥事件 (4) 取出的第一、二顆皆為紅
13、球的機率等於取出的第一、二顆皆為白球的機率 (5) 取出的前三顆皆為白球的機率小於取出的前三顆球顏色皆相異的機率 答答 案：案：(1)(5) 難易度：難易度：中偏易中偏易 出出 處：處：第二冊機率的定義與性質第二冊機率的定義與性質 解解 析：析： (1) 12 ( )( )p rp r均為 21 63 (2) 12 212 () 6530 p rr 12 224 ( )( ) 6636 p rp r 1212 ()( )( )p rrp rp r 可知不是獨立事件 (3) 事件 1 ( )A r與事件 22 ()B wb ()0P AB交集不為空集合 不為互斥 (4) 12 212 () 65
14、30 p rr， 12 326 () 6530 p ww 則 1212 ()()p rrp ww (5) 123 3211 () 65420 p www 7 (p前三球異色 3! 3! 3 1! 2! ) 6! 10 2! 3! 1! 6. 設 n a、 n b為兩實數數列，且對所有的正整數n， 2 1nnn aba 均成立。若已知lim4 n n a ，試 選出正確的選項。 (1) 對所有的正整數n，3 n a 均成立 (2) 存在正整數n，使得 1 4 n a (3) 對所有的正整數n， 22 1nn bb 均成立 (4) 2 lim4 n n b (5) lim2 n n b 或lim2
15、 n n b 答答 案：案：(3)(4) 難易度：中難易度：中 出出 處：處：選修二數列及其極限選修二數列及其極限 解解 析：析： (1)(2) 錯，由 1nn aa 為嚴格遞增，且lim4 n n a ，則 n a不見得3， 且 1n a 不見得大於4，可舉反例： 2 2 41 n n a n (3) 2 1nnn aba 2 112nnn aba 22 1nn bb 均成立 (4) 由夾擠定理： 2 1nnn aba 而 1 limlim4 nn nn aa ，則 2 lim4 n n b (5) 錯，反例：設 21 ( 1)n n n b n 則 n b： 2 1 ， 5 2 ， 7 3
16、 ， 9 4 ， lim n n b 不存在（不定值） 8 2 n b： 4 1 ， 25 4 ， 49 9 ， 81 16 ， 2 2 2 2 21441 limlim ( 1)lim4 n n nnn nnn b nn 7. 已知三次實係數多項式函數 32 2f xaxbxcx，在21x 範圍內的圖形如示意圖： 試選出正確的選項。 (1) 0a (2) 0b (3) 0c (4) 方程式 0f x 恰有三實根 (5) yf x圖形的反曲點的y坐標為正 9 答答 案：案：(2)(2)(3)(5) 難易度：中難易度：中 出出 處：處：選修二多項式函數的微分選修二多項式函數的微分 解解 析：析：
17、 32 ( )2f xaxbxcx 則 2 ( )32fxaxbxc (0)0fc（由圖形看出）（在0x處斜率為正） 又( )62fxaxb (0)2fb（由圖形，在0x為凹口向上），則圖形可能為： 則0a（左圖）或0a（右圖） 0c （(0)fc），方程式( )0f x 與x軸交一點則僅一實根，而反曲點y坐標為正 8. 坐標平面上以原點O為圓心的單位圓上三相異點A、B、C滿足2340OAOBOC，其中A點 的坐標為(1,0)。試選出正確的選項。 (1) 向量23OAOB的長度為4 (2) 內積0OA OB (3) BOC、AOC、AOB中，以BOC的度數為最小 (4) 3 2 AB (5)
18、3sin4sinAOBAOC 答答 案：案：(1)(5) 難易度：中難易度：中 出出 處：處：第三冊平面向量的內積第三冊平面向量的內積 解解 析：析： (1) 234OAOBOC 22 |23|16|16OAOBOC |23| 4 OAOB 10 (2) 22 |23|16|OAOBOC 222 4|9|1216|OAOBOA OBOC 4 9 1216OA OB 1 0 4 OA OB (3) 22 |34| 2|OBOCOA 可得 7 8 OB OC 22 |24| 3|OAOCOB 可得 11 16 OA OC 則BOCAOCAOB (4) 2222 |2 1 1 1 2 1 1 4 3
19、 2 ABOBOAOBOAOA OB 363 | 222 ABAB (5) 2340OAOBOC 則可得面積比 OBC：OAC：2OAB：3：4 則 1 1 1 sin 4 2 1 3 1 1 sin 2 AOB OAB OAC AOC 3sin4sinAOBAOC 11 三選填題（占三選填題（占 1818 分）分） 說明1.第 A 至 C 題，將答案畫記在答案卡之選擇（填）題答案區所標示的列號(918)。 2.每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。 A. 在坐標平面上，定義一個坐標變換 11 22 102 123 yx yx ，其中 1 2 x x 代表舊坐標， 1 2 y
20、y 代表新坐標。若舊坐標為 r s 的點P經此坐標變換得到的新坐標為 1 2 ，則, r s _。 答答 案：案：(3, 1) 難易度：中難易度：中偏易偏易 出出 處：處：第四冊平面上的線性變換與二階方陣第四冊平面上的線性變換與二階方陣 解解 析：析： 由題知： 11 02 21 23 r s 1 0123 1 2235 r s 1 1 03 1 25 2 03 1 1 152 3 1 r s B. 在坐標平面上，,A a r、,B b s為函數圖形 2 logyx上之兩點，其中ab。已知A、 B連線的斜率等於2，且線段AB的長度為5，則, a b _。 （化成最簡分數） 答答 案：案： 1
21、4 ( , ) 3 3 難易度：中難易度：中偏易偏易 出出 處：處：第一冊對數函數、第三冊直線的斜率第一冊對數函數、第三冊直線的斜率 解解 析：析： 2 AB m且5AB 則1AC ，2BC ， ( , )A a r則( , )(1,2)B b sar代入 2 logyx 12 則 2 2 log(1) 2log (1)(2) ra ra (2)(1)： 222 1 2log (1)loglog a aa a 2 11 2 3 a a a 4 1 3 ba C. 設z為複數。在複數平面上，一個正六邊形依順時針方向的連續三個頂點為z、0、 52 3zi （其中1i ） ，則z的實部為_。 （化成
22、最簡分數） 答答 案：案： 7 2 難易度：中難易度：中 出出 處：處：選修一複數的幾何意涵選修一複數的幾何意涵 解解 析：析： 如圖：(cos120sin120 )(52 3 )zizi 13 (1)52 3 22 zii 52 373 2633 22 i zi i 第貳部分非選擇題（占 24 分） 說明本部分共有二大題，答案必頇寫在答案卷上，並於題號欄標明大題號（一、二）與子題 號（(1)、(2)、） ，同時必頇寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零分。作答使用筆 尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。若因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原 因，致評閱人員無法清楚辨識，其後果由考生自行
23、承擔。每一子題配分標於題末。 一、坐標空間中以O表示原點給定兩向量(1,2,1)OA 、(2,0,0)OB 。試回答下列問題。 (1) 若OP是長度為2的向量，且與OA之夾角為60，試求向量OA與OP的內積。（2 分） (2) 承(1)，已知滿足此條件的所有點P均落在一平面E上，試求平面E的方程式。（2 分） (3) 若OQ是長度為2的向量，分別與OA、OB之夾角皆為60，已知滿足此條件的所有點Q均落 在一直線L上，試求直線L的方向向量。（4 分） (4) 承(3)，試求出滿足條件的所有Q點之坐標。（4 分） 答答 案：案：(1) 2 (2) 22xyz (3) (0, 1,2) (4) 2
24、5 (1, ) 33 ，(1,2, 1) 難易度：中難易度：中偏難偏難 出出 處：處：第四冊空間向量的內積、空間直線方程式第四冊空間向量的內積、空間直線方程式 13 解解 析：析： (1) |cos2 2 cos602OA OPOA OP (2) 由(1)：(1,2,1) ( , , )2OA OPx y z 22xyz (3) 設( , , )Qx y z， (1, 2,1) ( , , )2 2 cos60 (2,0,0) ( , , )2 2 cos60 OA OQx y z OB OQx y z 1 22 2221 x xyz xyz 令yt，則1212zyt ， 則L： 1 , 21
25、 x ytt zt L的方向向量(0,1,2) (4) QL，且| 2OQ 222 1(21)2tt 2 32 220tt 2t 或 2 3 (1,2, 1)Q或 2 5 (1, ) 33 二、設 f x為實係數多項式函數，且 432 1 32 x xf xxxxf t dt對1x 恆成立。試回答下列問 題。 (1) 試求 1f。（2 分） (2) 試求 fx。（4 分） (3) 試求 f x。（2 分） (4) 試證明恰有一個大於1的正實數a滿足 0 1 a f x dx 。（4 分） 答答 案：案：(1) 2 (2) 2 1262xx (3) 32 4321xxx (4) 見解析 難易度：
26、中難易度：中偏難偏難 出出 處：處：選修二多項式函數的微積分選修二多項式函數的微積分 14 解解 析：析： (1) 1x 代入 1 1 1(1)3 2 1( )(1)202ff t dtf (2) 432 1 ( )32( ) x xf xxxxf t dt 等式左右對x微分 32 1( )( )1262( )f xxfxxxxf x （由微積分基本定理 1 ( ) x f t dt 微分為( )f x） 32 ( )1262xfxxxx 2 ( )1262fxxx (3) 43 ( )( )432Cf xfx dxxxx 由(1)( )432C2ffx dx C1 則 43 ( )4321f xxxx (4) 令 432 ( )1F xxxxx 32 2 ( )4321 (1)(43)2 F xxxx xxx 1 當 1x 時，( )0fx ，即( )F x為遞增 2 當 (1)(2)1 90FF ，則( )0F x 在1x 與2x間必有實根 由 1、2：恰有一個大於1的正實數滿足 ( )0F x 恰有一個大於1的正實數a滿足 0 1 a f x dx
