1、2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合，为整数集，则 =（ ）A. B. C. D.2.若复数，则（ ）A. B. C. D.3.执行下面的程序框图，输出的（ ）A. B. C. D.4.向量，且，则（ ）A. B. C. D.5.已知等比数列中，为前项和，则 （ ）A. B. C. D.6.有50人报名报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报名足球俱乐部，则其报名乒乓球俱乐部的概率为 （ ）A. B. C. D.7. “
2、” 是“”（ ）A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件8.已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则（ ）A. B. C. D.9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有一人连续参加两天服务的选择种数为 （ ）A.120 B.60 C.40 D.3010.已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.411.在四棱锥中，底面为正方形，则的面积为 （ ）A. B. C. D.12.已知椭圆，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，则（ ）A.
3、 B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若为偶函数，则 .14.设，满足约束条件，则的最大值为 .15.在正方体中，分别为，的中点，则以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 .16.在中，平分交于点，则 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分.17.（12分）已知数列中，设为前项和，满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.18.（12分）在三棱柱中，底面，到平面的距离为1.（1）求证：；（2）若直线与距离为2，求与平面
4、所成角的正弦值.19.（12分）为探究其药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（己按从小到大排好）对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.426.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.214.4 17.3 19.2 20.2 2
5、3.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面22列联表：对照组实验组（ii）根据22列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.参考数据：0.100.050.0102.7063.8416.63520.（12分）设抛物线，与C交于A，B两点，且.（1）求；（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，求面积的最小值.21.（12分）已知.（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）已知，直线（t为参数），l与x轴,y轴正半轴交于A，B两点，.（1）求的值；（2）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程.23.选修4-5：不等式选讲（10分）已知，. （1）解不等式； （2）若与坐标轴围成的面积为2，求a.
