1、108 年大學指考數學科試題分析與展望 壹、壹、108108 年數學指考年數學指考( (乙乙) )試題整體分析試題整體分析 本年度試題著重觀念的理解和運用，並融入生活情境，例如多選 7 以上班通勤使用不同交通工具 的速度來估測時間，而像多選 6 如何購買到不同組合的公仔，第二部份第 2 題汽機車停放格大小跟成 本利潤的概念等，主要皆在評量數學觀念理解與生活應用。 此份試題出題由淺入深，在單選題的評量皆是以單一章節或概念為主，多選題許多問題在評量能 否使用數學策略進行判斷，例如多選 5、多選 6，以列表格的方式最能快速釐清問題本質；非選擇題 則考驗學生主動用數學式表達解題過程的能力，不太需要記憶
2、過多公式，也避免刁鑽計算，只要把握 基本概念即可作答。 此份試卷最容易下手的還是選填題，幾乎都只需要一個觀念即可得到答案，偏重測驗數學基本認 知，也鼓勵學生不要放棄數學。 貳貳、題目分布：、題目分布： ( (1) 10) 108 8 年指考年指考( (乙乙) )冊別範圍分布冊別範圍分布 冊別 第一冊 第二冊 第三冊 第四冊 選修(上) 選修(下) 占分 22 32 32 6 8 0 ( (2) 102) 102107107 年指考年指考( (乙乙) )各單元範圍分布各單元範圍分布 102 年年 103 年年 104 年年 105 年年 106 年年 107 年年 10108 8 年年 第一冊
3、數與式 多選 7 單選 1 多項式函數 單選 1 單選 3 單選 3 多選 6 多選 6 選填 A 單選 1 多選 4 多選 6 單選 1 單選 4 單選 1、 非選擇題 一 選填 B 指數與對數函 數 非選擇題 一 單選1 多選4 多選 2 多選 6 單選 3、 多選 5 多選 4 第二冊 數列與級數 排列與組合 選填 A 選填 A 單選 1 單選 2 多選 5 選填 B 單選 2 多選 5 多選 6 選填 A 機 率 選填 B 多選 4 單選 3 選填 C 選填 A 單選 3 多選 6 多選 7 多選 7 數據分析 單選 2 多選 5 單選 2 多選 7 多選 8 多選 7 第三冊 三 角
4、 直線與圓 單選 3 非選擇題 二 非選擇題 二 非選擇題 一 非選擇題 二 非選擇題 二 選填 C 非選擇題 二 單選 2 第二部分 第 2 題 平面向量 選填 C 選填 B 非選擇題 一 選填 B 單選 3 多選 7 選填 A 選填 B 第二部分 第 1 題 第四冊 空間向量 空間中的平面 與直線 矩 陣 多選 7 選填 C 多選 5 選填 B 非選擇題 一 選填 A 單選 3 二次曲線 選修上 機率統計 多選 6 選填 B 非選擇題 一 非選擇題 二 選填 C 選填 C 三角函數 選修下 極限與函數 多選 4 多選 5 單選 2 選填 C 多選 5 單選 4 參參、試題解析、試題解析 第
5、壹部分選擇題（單選題、多選題及選填題共占 74 分） 一、單選題（一、單選題（占占 1818 分）分） 說明第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之 選擇（填）題答案區 。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題 以零分計算。 1. 設a、b為循環小數，0.12a 、0.01b 則ab的值是下列哪一個選項？ (1) 0.11 (2) 0.1111 (3) 1 9 (4) 10 99 (5) 100 999 答答 案案：(3) 難易度：易難易度：易 出出 處：第一冊數與數線處：第一冊數與數線 解解 析：析： 12 0.1
6、2 99 a ， 1 0.01 99 b ， 則 111 0.1 999 ab。 2. 坐標平面上，直線2yx與直線35yx 將坐標平面分割成四個區域。試問下列哪一個選項中 的點會和點(1,1)在同一個區域？ (1) 20, 56 (2) 13, 33 (3) 1,1 (4) 15, 29 (5) 20, 29 答答 案案：(1) 難易度：中難易度：中 出出 處：處：第三冊線性規劃第三冊線性規劃 解解 析：析： 直線 代入之正負 20xy 350xy (1,1) 正 負 (20, 56) 正 負 (13, 33) 正 正 ( 1,1) 負 負 ( 15, 29) 負 負 ( 20, 29) 負
7、 負 利用同側則同號之原理可得(20, 56)與(1,1)為同區域。 3. 若向量 12 ( ,)Aa a，向量 12 ( ,)Bb b，且內積1A B，則矩陣乘積 121 122 aab aab 等於下列哪一個 選項？ (1) 1 1 (2) 22 (3) 1 1 (4) 2 2 (5) 1 1 1 1 答答 案案：(3) 難易度：難易度：中中 出出 處：處：第四冊矩陣的運算第四冊矩陣的運算 解解 析：析： 1A B 1 12 2 1aba b 1211 12 2 1221 12 2 1 1 aababa b aababa b 。 二、多選題二、多選題（占占 3232 分）分） 說明第 4
8、題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案 卡之選擇（填）題答案區 。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個 選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者， 該題以零分計算。 4. 已知正整數a與正整數b的乘積是11位數，而a除以b的商之整數部分是2位數則a可能可能為幾位 數？ (1) 5位數 (2) 6位數 (3) 7位數 (4) 8位數 (5) 9位數 答答 案案：(2)(3) 難易度：中難易度：中 出出 處：處：第一冊指數與對數的應用第一冊指數與對數的應用 解解 析
9、：析： 由題： 10log11 1log2 ab a b 11loglog13 a ab b 11log()13 a ab b 2 11log()13a 112log13a 1113 log 22 a 則a的對數值，首數為5或6，a可能為6或7位數。 5. 考慮如下的九宮格 123 456 789 編號1、3、7、9的四格稱為角 ，編號2、4、6、8的四格稱為邊 ，而編號5的格子稱為 中心 。在此九格中放入5個及4個的記號，每一格只能放入一個或一個，且任一行（例 如位置1、4、7） 、任一列（例如位置4、5、6） 、以及任一對角線（對角線是指位置1、5、9或 位置3、5、7）的三個記號不能完全
10、相同（例如位置1、5、9不能全為或全為） 試選出正 確的選項。 (1) 若在中心放則可能有三個放在邊上 (2) 若在中心放則一定恰有兩個放在角上 (3) 若在中心放則一定恰有兩個放在角上 (4) 中心放的方法共有8種 (5) 中心放的方法共有4種 答答 案案：(2)(4) 難易度：難難易度：難 出出 處：處：第二冊排列、組合第二冊排列、組合 解解 析：析： (1) 中心放，三個放邊，會使某行（或某列）同為，而違反規則。 (2) 中心放，要二角或二邊放才有可能合於規則。 (3) 中心放，亦有可能一角、兩邊放而合於規則，例： (4) 中心放，則二角與二邊必放有2類 可轉四個方向 可轉四個方向 則共
11、2（類）4（方向）8（法） 。 (5) 中心放，有2類： （一角二邊）與 （二角一邊） 各可轉四個方向，則共2（類）4（方向）8（法） 。 6. 某商店出售10種不同款式的公仔。今甲、乙、丙三人都各自收集公仔。試選出正確的選項。 (1) 若甲、乙兩人各自收集6款公仔，則他們兩人合起來一定會收集到這10款不同的公仔 (2) 若甲、乙兩人各自收集7款公仔，則至少有4款公仔是兩人都擁有 (3) 若甲、乙、丙三人各自收集6款公仔則至少有1款公仔是三人都擁有 (4) 若甲、乙、丙三人各自收集7款公仔則至少有2款公仔是三人都擁有 (5) 若甲、乙、丙三人各自收集8款公仔則至少有4款公仔是三人都擁有 答答
12、案案：(2)(5) 難易度：難難易度：難 出出 處：處：第二冊邏輯、集合與計數原理第二冊邏輯、集合與計數原理 解解 析：析： (1) 列出交集最少與最多的表格： 聯集最多： 公仔 A B C D E F G H I J 甲 6個 乙 6個 聯集最少： 公仔 A B C D E F G H I J 甲 6個 乙 6個 則6()10n AB。 (2) 交集最少： 公仔 A B C D E F G H I J 甲 7個 乙 7個 交集最多： 公仔 A B C D E F G H I J 甲 7個 乙 7個 則4()7n甲乙。 (3) 交集最少： 公仔 A B C D E F G H I J 甲 6個
13、 乙 6個 丙 6個 交集最多： 公仔 A B C D E F G H I J 甲 6個 乙 6個 丙 6個 則0()6n甲乙丙。 (4) 交集最少： 公仔 A B C D E F G H I J 甲 7個 乙 7個 丙 7個 交集最多： 公仔 A B C D E F G H I J 甲 7個 乙 7個 丙 7個 則1()7n甲乙丙。 (5) 交集最少： 公仔 A B C D E F G H I J 甲 8個 乙 8個 丙 8個 交集最多： 公仔 A B C D E F G H I J 甲 8個 乙 8個 丙 8個 則4()8n甲乙丙。 7. 某甲上班可採全程步行或全程騎腳踏車兩種方式通勤其中
14、步行的通勤時間為 60 分鐘騎腳踏車 的通勤時間以整數計時為T分鐘其中3040T且T分為五個區間其出現在各區間的機率 如下表 例如騎腳踏車通勤時間T滿足區間3234T的機率為0.2。假設甲每天通勤時間互相獨立。根 據上述資料，試選出正確選項。 (1) 若甲某一天騎腳踏車上班，則其通勤時間少於35分鐘的機率是0.5 (2) 若甲某五天皆騎腳踏車上班，則這五天上班的通勤總時間一定會少於四天騎腳踏車另一天步 行的通勤總時間 (3) 若甲某五天上班的通勤總時間為250分鐘，則這五天中甲一定是三天步行，兩天騎腳踏車 (4) 若甲每天投擲一公正銅板來決定步行或騎腳踏車上班，正面則步行，反面則騎腳踏車，則甲
15、 兩天的通勤總時間至少90分鐘的機率是0.75 (5) 若甲有兩天皆騎腳踏車上班，則甲這兩天的通勤總時間至少為76分鐘的機率是0.01 答答 案案：(3)(4) 難易度：難易度：中偏中偏難難 出出 處：處：第二冊機率的定義與性質第二冊機率的定義與性質 解解 析：析： (1) 無法確定 (2) 反例：腳踏車5天，每天40分鐘，則共200分鐘。 但若4天腳踏車每天30分鐘，1天步行60分鐘，則共180分鐘。 (3) 設x天步行，y天腳踏車 5 60250 xy xTy x 5 4 3 2 1 0 y 0 1 2 3 4 5 T 10 35 130 3 190 4 50 60xTy 300 250
16、不合 不合 合 不合 （T要整 數） 不合 不合 （40T ） 則合於條件唯一可能( , )(3,2)x y 。 (4) 通勤時間至少90分鐘有兩種： (步行,步行)或(步行,腳踏車) 2 1113 ( )2!0.75 2224 p 註：兩天腳踏車有可能不到90分鐘。 通勤時間 3032T 3234T 3436T 3638T 3840T 機率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 (5) 兩天腳踏車，且時間至少76分鐘 狀況（分） 3840 3840 T T 3840 3638 T T 機率 i P 0.1 0.1 0.1 0.2 則 2 (0.1)0.1 0.2 2!0.050.01p 三
17、、選填三、選填題（占題（占 2424 分分） 說明1.第 A 至 C 題，將答案畫記在答案卡之選擇（填）題答案區所標示的列號（815） 。 2.每題完全答對給 8 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。 A. 從三位數中任選一數，寫成 2 1010abc，其中a是1到9的整數，b和c都是0到9的整數， 則9abc 的機率為_。 （請化為最簡分數） 答答 案案： 1 20 難易度：難易度：中中 出出 處：處：第二冊排列、組合第二冊排列、組合 解解 析：析： a 1 2 3 7 8 9 bc 8 7 6 2 1 0 方法數 9 8 C 8 7 C 7 6 C 3 2 C 2 1 C 1 0 C 則機率
18、 另解： 12389 01278 22389 01278 3389 1278 489 278 10 8 9 10 10 9 10 10 9 10 10 9 10 10 1 9 10 1020 CCCCC p CCCCC CCCC CCC C 12389 01278 91 01 0 12389 91 01 0 ( 19 )9 2 91 01 0 45 9 10 10 1 20 CCCCC p B. 已知實係數多項式 f x除以 2 2x 的餘式為1x。若 xf x除以 2 2x 的餘式為axb，則數對 ( , )a b _。 答答 案案：(1, 2) 難易度：難易度：中偏易中偏易 出出 處處：第
19、一冊第一冊多項式的運算與應用多項式的運算與應用 解解 析：析： 設 2 ( )(2) ( )(1)f xxQ xx 2 22 2 ( )(2) ( )(1) (2)( )(2)(2) (1)( ) 1(2) xf xx xQ xx x xxQ xxx xxQ xx 2axbx ，1a 、2b。 C. 某遊戲的規則為同時擲兩顆公正骰子一次，若兩顆點數和為6或者至少有一顆點數為6，即可獲 得獎金36元，否則沒有獎金，則這個遊戲獎金的期望值為_元。 答答 案案：16 難易度：中難易度：中 出出 處處：選修一期望值選修一期望值 解解 析：析： 點數和為 6:(5,1) 、(1,5) 、(4,2) 、(
20、2,4) 、(3,3) ，則P(點和 6)= 2 5 6 ; 至少一個 6:(6,15) ，有2! 5=10種;(6,6) :有 1 種。則P(至少一個)= 22 10+111 = 66 。 列表列表: : 事件 點和6 至少一個6 其他 機率 i P 5 36 11 36 20 36 獎金 i X 36 36 0 51120 ()36360 363636 16 E X 第貳部分非選擇題（占 26 分） 說明本部分共有二大題，答案必須寫在答案卷上，並於題號欄標明大題號（一、二）與子題號 （(1)、(2)、） ，同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零分。作答使用筆尖 較粗之黑色墨水的筆書
21、寫，且不得使用鉛筆。若因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因， 致評閱人員無法清楚辨識，其後果由考生自行承擔。每一子題配分標於題末。 一、考慮坐標平面上相異五點O、A、B、C、D。已知向量3OCOA，3ODOB，且向量AB的 坐標表示為(3, 4)AB ，試回答下列問題。 (1) 試以坐標表示向量DC。（5 分） (2) 若(1,2)OA ，試利用二階行列式與面積的關係，求OCD的面積。（8 分） 答答 案案：(1) (1) ( 9,12) (2) (2) 45 難易度：中難易度：中 出出 處處：第三冊平面向量的表示法、面積與二階行列式第三冊平面向量的表示法、面積與二階行列式 解解 析：析：
22、(1) 33 3() 33(3, 4)( 9,12) DCOCODOAOB OBOA AB (2) OCD面積 3 11 | 22 3 99 | 22 1 2 99 |(28) =45 4222 OCOA ODOB OAOA OBOAAB 二、某運輸公司欲向一汽機車製造商訂購一批重型機車（簡稱重機）和汽車。其訂購費用為重機一部 25萬元及汽車一部60萬元，訂購經費上限是5400萬元。另此運輸公司共有100格停車位，每格 停車位恰可停放兩部重機或是停放一部汽車。而此運輸公司每銷售1部重機可得淨利潤2.3萬元 （即2萬3千元），銷售1部汽車則可得淨利潤5萬元，並假設此運輸公司可將其所訂購之重機及
23、汽車全數銷售完畢。此運輸公司希望能在訂購經費的上限和停車位之限制下獲得最大的淨利潤。 試回答下列問題。 (1) 試寫出此問題之線性規劃不等式及目標函數。（4 分） (2) 在坐標平面上畫出可行解區域並以舖色標示該區域。（3 分） (3) 此運輸公司應訂購重機、汽車各多少部才能獲得最大的淨利潤？此最大淨利潤為何？（6 分） 答答 案案：如下：如下 難易度：中難易度：中 出出 處處：第三冊：線性規劃：第三冊：線性規劃 解解 析：析： 設重機x輛，汽車y輛 則 2300100 2 5121080 25605400 x xyy xy xy x、y為正整數或0 利潤2.35pxy （圖片） 2.35pxy (200,0) 460 (120,40) 476 (0,90) 450 則當( , )(120,40)x y 時，有最大利潤476（萬元） 。 肆肆、教與學的未來式、教與學的未來式 針對準備數學 B 或指考數乙的同學，平時宜多加強數學基本觀念問題解決的能力，強調計算的正 確性，而線性規劃、排列組合、機率統計這幾個單元，往往是同學叫害怕但又是必然會出現的問題， 因此在平時要多多以歷屆試題來演練，提升對於”數感”的靈敏度是必要的，相信同學再透過後天的 訓練後必定能達到相對應的成效。
