1、 理科理科数学数学 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 12019 肇庆统测设集合 2 20Px xx，11Qxx ，则PQ （ ） A1,2 B1,0 C1,2 D0,1 【答案】D 【解析】对于集合P，由20x x，解得02x，故0,1PQ ，故选 D 22019 呼和浩特调研已知复数 i 43i b z ，其中bR，i为虚数单位，且5z ，则 b （ ） A25 B1 C3 D5 【答案】A 【解析】由 i 43i b
2、 z ，得 i 5 43i b z ，即5 5 b ，得25b 故选 A 32019 吴起高级中学等差数列 n a中， n s为其前n项和，若 3 2s ， 6 8s ，则 9 s （ ） A32 B18 C14 D10 【答案】B 【解析】等差数列 n a中， n s为其前n项和， 3 2s ， 6 8s ， 则根据等差数列的性质可得 3 s， 63 ss， 96 ss仍成等差数列， 即2，82， 9 8s 成等差数列，则有 9 28228s， 解得 9 18s 故选 B 42019 哈六中哈六中数学兴趣小组的同学们为了计算六中数学组二维码中黑色部分的面积，在如 图一个边长为4的正方形区域内
3、随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑 色部分的面积为（ ） A11 B10 C9 D8 【答案】C 【解析】设黑色部分的面积为S，正方形二维码边长为 4， 在正方形区域内随机投掷 400 个点，其中落入黑色部分的有 225 个点， 225 44400 S ，解得9S ，据此可估计黑色部分的面积为 9，故选 C 52019 南阳期末若双曲线 22 2 10 9 yx a a 的一条渐近线与直线 1 3 yx垂直，则此双曲线的实轴 长为（ ） A1 B2 C9 D18 【答案】D 【解析】渐近线的方程为30axy，因0a ，故渐近线30axy与直线 1 3 yx垂直，
4、故 1 1 33 a ，解得9a ，所以双曲线的实轴长为218a ，故选 D 62019 唐山期末某三棱锥的三视图如图所示，此三棱锥的体积为3，则三棱锥的所有棱中，最 长棱的长度为（ ） A13 B2 3 C10 D 15 2 【答案】B 【解析】由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥PABC，其中平面PAC 底面ABC，取AC中点 为E，则PE 底面ABC，且3PE ，2AC ， 由 111 323 332 ABC VPESBE ，即3BE ， ABC为等边三角形，2ABBCCA，932 3PB ，9110PAPC， 最长棱的长度为2 3故选 B 72019 南昌二中已知函数 2 ln1 f x
5、 xx ，则 yf x的图象大致为（ ） A B C D 【答案】A 【解析】由于 122 0 111 2 ln1ln2 222 f ，排除 B 选项 由于 2 e e2 f ， 2 2 2 e e3 f ， 2 eeff，函数单调递减，排除 C 选项 由于 100 100 2 e0 e101 f ，排除 D 选项故选 A 8 2019 泉州质检已知函数 3 2f xaxbx的极大值和极小值分别为M，m， 则Mm（ ） A0 B1 C2 D4 【答案】D 【解析】 2 30fxaxb，该方程两个根为 1 x， 2 x，故 f x在 1 x， 2 x取到极值； 2 1212121 2 43Mmb
6、xxa xxxxx x ， 而 12 0xx， 1 2 3 b x x a ，4Mm，故选 D 92019 黄山一模当输入a的值为16，b的值为12时，执行如图所示的程序框图，则输出的a的结 果是（ ） A2 B3 C4 D6 【答案】C 【解析】模拟程序的运行，可得16a ，12b ， 满足条件ab，满足条件ab，16124a ， 满足条件ab，不满足条件ab，1248b ， 满足条件ab，不满足条件ab，844b ， 不满足条件ab，输出a的值为 4故选 C 102019 长春十一中已知点0,2A，抛物线C： 2 4yx的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于 点M，与其准线相交于点N，则:F
7、MMN （ ） A2:5 B1:2 C1:5 D1:3 【答案】C 【解析】抛物线C： 2 4yx的焦点为1,0F，点A坐标为0,2， 抛物线的准线方程为:1l x ，直线AF的斜率为2k ， 过M作MPl于P，根据抛物线物定义得FMPM， RtMPN中，tan2NMPk ， 2 PN PM ，可得2PNPM，得 22 |5MNPNPMPM， 因此可得1:5:FMMNPMMN故选 C 112019 东莞期末圆锥SD（其中S为顶点，D为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆 锥SD与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A9:32 B8:27 C9:22 D9:2
8、8 【答案】A 【解析】设圆锥底面圆的半径为r，圆锥母线长为l， 则侧面积为rl，侧面积与底面积的比为 2 2 rll rr ， 则母线2lr，圆锥的高为 22 3hlrr，则圆锥的体积为 23 13 33 r hr， 设外接球的球心为O，半径为R，截面图如图， 则OBOSR， 3ODhRrR，BDr， 在直角三角形BOD中，由勾股定理得 222 OBODBD， 即 2 22 3RrrR，展开整理得 2 3 Rr， 外接球的体积为 3 33 44832 333 39 3 r Rr，故所求体积比为 3 3 3 9 3 3232 9 3 r r 故选 A 122019 河北一模已知函数 sin0,
9、0, 2 f xAxA ， 4 x 是函数的一个零点， 且 4 x 是其图象的一条对称轴若 , 9 6 是 f x的一个单调区间，则的最大值为（ ） A18 B17 C15 D13 【答案】D 【解析】由题意，得 1 42442 k Tk Z， 2 21 Tk k Z， 又 2 T ，21kkZ , 9 6 是 f x的一个单调区间， 1 692 T，即 9 T ， 2 21 T k ，2118k ，即8.5k 当8k ，即17时， 17 4 k，k Z， 17 4 k，k Z， 2 ， 4 ，此时 sin 17 4 f xAx 在 , 9 6 上不单调，17不符合题意； 当7k ，即15时，
10、 15 4 k，k Z， 15 4 k，k Z， 2 ， 4 ，此时 sin 15 4 f xAx 在 , 9 6 上不单调，15不符合题意； 当6k ，即13时， 13 4 k，k Z， 13 4 k，k Z 2 ， 4 ，此时 sin 13 4 f xAx 在 , 9 6 上单调递增， 13符合题意，故选 D 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 132019 合肥一模若非零向量a，b满足2aab，则 ab b _ 【答案】1 【解析】 结合2aab可知，20aab得到 2 20aab， 2 2 22 0 1 abab b bb
11、 b 142019 广东期末二项式 6 2 2 x x 展开式中的常数项为_ （用数字作答） 【答案】240 【解析】在二项式 6 2 2 x x 中，通项公式得 12 212 3 166 2 CC2 r r rrrr r Txx x ， 由1230r，得4r ，常数项为 44 6 C 2240故答案为 240 152019 百色摸底已知数列 n a为正项的递增等比数列， 15 82aa， 24 81aa，记数列 2 n a 的前n项和为 n T，则使不等式 1 201911 3 n T 成立的正整数n的最大值为_ 【答案】6 【解析】数列 n a为正项的递增等比数列， 15 82aa， 24
12、1 5 81aaa a， 即 15 15 82 81 aa aa ，解得 1 5 1 81 a a ，则公比3q ， 1 3n n a ， 则 21 1 1 22221 3 23 1 1 13333 1 3 n n nn T ， 1 201911 3 n T ， 即 1 20191 3n ，得32019 n ，此时正整数n的最大值为 6故答案为 6 162019 长治二中已知a、b、c是实数，方程 32 0xaxbxc的三个实数根可以作为椭圆、 双曲线、抛物线的离心率，则 22 ab的取值范围是_ 【答案】5, 【解析】构造函数 32 f xxaxbxc，一个根为抛物线的离心率， 可知10ab
13、c，解得1cab ， 三个实数根分别为椭圆、双曲线和抛物线的离心率， 可知一个根 1 x大于 0，小于 1，一个根 2 x大于 1，一个根 3 x为 1，绘制图像： 计算导函数 2 32fxxaxb设导函数为 0 时两个根为m，n， 依据图像可知01m，1n ， 得到0mn ， 110mn且 010fcab ， 而 2 3 a mn ， 3 b mn ，建立不等式得到 10 10 230 ab ba ba ，绘制可行域，可得： 而 22 ab可以看成点, a b到0,0距离的平方和，2,1A 可以使得取得最小值， 最小值为 2222 215ab，故 22 5ab写成集合的形式为5, 三、解答题
14、：三、解答题：本本大题共大题共 6 6 小题小题，共，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）2019 东城期末在ABC中，2 sincossincABaC （1）求B的大小； （2）若ABC的面积为 2 a，求cos A的值 【答案】 （1） 4 ； （2） 3 10 10 【解析】 （1）在ABC中，由正弦定理可得sinsincAaC， sin2 cos 22 sin aC B cA ， 又0B ， 4 B （2）ABC的面积为 2 1 sin 24 aac，2 2ca， 由余弦定理得 222 2 822 2 2
15、baaaa，5ba 222 583 10 cos 10252 2 aaa A aa 18 （12 分） 2019 十堰调研如图， 在三棱锥SABC中，ACBC，SABC，SCAC，6SC ， M，N分别为线段AB，BC上的点，且2 2CMMN，36BCBN （1）证明：MNSM； （2）若3AC ，求二面角ASMN的余弦值 【答案】 （1）见证明； （2） 33 6 【解析】 （1）证明：由ACBC，SABC，且SAACA， 则BC 平面SAC，SC 平面SAC，故BCSC， 又SCAC，BCACC，则SC 平面ABC，MN 平面ABC，故SCMN 4NC ，2 2CMMN， 222 CNCM
16、NM，故CMMN 又CMSCC，MN 平面SCM 又SM 平面SCM，则MNSM （2）解：由（1）知，CB，CA，CS两两相互垂直，如图是以C为坐标原点， 分别以CB，CA，CS为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz， 则0,0,0C，0,3,0A，0,0,6S，2,2,0M，4,0,0N， 2,2, 6SM ，2, 1,0AM ，2,2,0NM 设平面SAM的法向量为 1111 ,x y zn， 则 111 11 2260 20 xyz xy ，令 1 1x ，得 1 1,2,1n 设平面SMN的法向量为 2222 ,xy zn， 则 222 22 2260 220 xyz
17、xy ，令 2 3x ，则 2 3y ， 2 2z ，故 2 3,3,2n 12 12 12 33 ,cos 6 nn n n n n ，由图可知二面角ASMN为钝角， 故二面角ASMN的余弦值为 33 6 19 （12 分）2019 广元统考2020 年开始，国家逐步推行全新的高考制度新高考不再分文理科， 采用33模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各 150 分，另外考生还要依据想考取 的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 6 门科目中自选 3 门参加考试（6 选 3） ，每科目满分 100 分为了应对新高考，某高中从高一年级 1
18、000 名学生（其中男生 550 人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查 （1）已知抽取的n名学生中含女生 45 人，求n的值及抽取到的男生人数； （2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的 选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须 选择一个科目且只能选择一个科目） ， 下表是根据调查结果得到的22列联表 请将列联表补充完整， 并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由； （3）在抽取到的 45 名女生中按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出 9
19、 名女生，再从这 9 名 女生中抽取 4 人，设这 4 人中选择“地理”的人数为X，求X的分布列及期望 选择“物理” 选择“地理” 总计 男生 10 女生 25 总计 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd 2 P Kk 0.05 0.01 k 3.841 6.635 【答案】 （1）100n ，男生人数为 55 人； （2）见解析； （3）见解析 【解析】 （1）由题意得 45 100450 n ，解得100n ，男生人数为： 10 55055 100 人 （2）2 2 列联表为： 选择“物理” 选择“地理” 总计 男生 45 10 55 女生 25 20 45 总计
20、70 30 100 22 2 100452025 10 8.12896.635 5545 70 30 n adbc K abcdacbd ， 有99%的把握认为选择科目与性别有关 （3）从 45 名女生中分层抽样抽 9 名女生， 这 9 名女生中有 5 人选择物理，4 人选择地理，9 名女生中再选择 4 名女生， 则这 4 名女生中选择地理的人数X可为 0，1，2，3，4 设事件X发生概率为P X， 则 4 5 4 9 C5 0 126C P X ， 31 54 4 9 C C40 1 126C P X ， 22 54 4 9 C C60 2 126C P X ， 13 54 4 9 C C2
21、0 3 126C P X ， 4 4 4 9 C1 4 126C P X X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 5 126 40 126 60 126 20 126 1 126 期望 406020116 234 1261261261269 E X 20 （12 分）2019 滨州期末已知椭圆 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左 1 F、 2 F右焦点分别为，点 2,1P在椭圆上，且满足 12 1PFPF （1）求椭圆C的方程； （2）设倾斜角为45的直线l与C交于A，B两点，记OAB的面积为S，求S取最大值时直线l的 方程 【答案】 （1） 22 1 42 xy ； （2）
22、3yx或3yx 【解析】 （1）设 1 ,0Fc， 2 ,0F c，根据题意得 1 2, 1PFc ， 2 2, 1PFc， 2 12 21 1PF PFc ，解得 2 2c ， 22 2ab， 又点 2,1P在椭圆C上， 22 21 1 ab ， 联立，解得 2 4a ， 2 2b ， 椭圆C的方程为 22 1 42 xy （2）直线l的倾斜角为45，设直线l的方程为yxm 联立 22 1 42 xy yxm 消去y，整理得 22 34240xmxm， 直线l与C交于A，B两点， 222 1612 244880mmm，解得 2 6m 设 11 ,A x y， 22 ,B xy，则 2 1 4
23、488 6 mm x ， 2 2 4488 6 mm x ， 从而 22 22 2 121212 2 4884 6 12 63 AB mm ABxxyykxx ， 又点O到直线l的距离 2 m d ， 2 222 22 14 6226 62 233322 mmmm Smm ， 当且仅当 22 6mm，即 2 3m ，即3m 时取等号 OAB的面积S的最大值为2，此时直线l的方程为3yx或3yx 21 （12 分）2019 赣州中学已知函数 1 exf xax，aR （1）当0a 时，证明： 0 e a f x ； （2）当 1 2 a 时，如果 12 xx，且 12 f xf x，证明： 12
24、 2xx 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 （1）当0a 时， e1 e1 e xxx fxaaxaxa， 由 0fx，得 1a x a ， f x在 1 , a a 上单调递减，在 1,a a 上单调递增 1a x a 时， f x取得极小值，即最小值 1 e a a a 当0a 时， 11 11 a aa ， 1 1 a a ， 1 1 0e e a a ， 1 e e a a a a ，即 0 e a f x （2）证明：当 1 2 a 时， 1 1 e 2 x f xx ，则 1 1e 2 x fxx， 1,x时， 0fx， f x单调递减，,1x 时， 0fx， f
25、x单调递增， 令 2F xf xfx，则 2 11 1 ee 22 xx F xxx ， 2 1 1ee 2 xx Fxx ， 当1,x时，10x，2xx， 2 ee0 xx ， 0Fx， F x单调递减， 1110F xFff，即 20f xfx， 当1,x时， 2f xfx 又 f x在,1内是增函数，在1,内是减函数 12 xx，且 12 f xf x， 1 x， 2 x不再同一单调区间内， 不妨设 12 1xx ，由上可知： 22 2f xfx， 12 f xf x， 12 2f xfx 1 1x ， 2 21x，又 f x在,1内是增函数， 12 2xx，即 12 2xx 请考生在请
26、考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 2019 荆门检测在直角坐标系xOy中，直线 的参数方程为 1 xt yt （t为参数） ，直线m与直线l平 行，且过坐标原点，圆C的参数方程为 1cos 2sin x y （为参数） 以坐标原点为极点，x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线m和圆C的极坐标方程； （2）设直线m和圆C相交于点A、B两点，求ABC的周长 【答案】 （1）直线m的极坐标方程为 4 ；圆C的极坐标方程为 2 2 cos4 sin40
27、； （2）22 【解析】 （I）直线l的参数方程为 1 xt yt （t为参数） ，直线l的斜率为 1， 直线m与直线l平行，且过坐标原点，直线m的直角坐标方程为yx， 直线m的极坐标方程为 4 ； 圆C的参数方程为 1cos 2sin x y （为参数） ， 圆C的普通方程为 22 121xy，即 22 2440xyxy， 圆C的极方程为 2 2 cos4 sin40 （2）把直线m的极坐标方程 4 代入 2 2 cos4 sin40中得 2 3 240， 2 12 3 216 2 1 AB ， ABC的周长为22 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 2019 辽宁期末 213
28、f xxtx ，tR （1）当2t 时，求出 f x的最大值； （2）若 f x的最大值为 2，试求出此时的正实数t的值 【答案】 （1） max4f x； （2）6t 【解析】 （1）2t 时， 212321234f xxxxx，即 f x的最大值为 4 （2） 213f xxtx ， max 1 2 f xf 或 max 3 f xf t ， 1 2 2 f 无解， 3 2f t ，解得2t （舍）或6t ， 当6t 时， 1 44, 2 11 216382, 22 1 44, 2 xx f xxxxx xx ， f x在 1 , 2 上递增，在 1 , 2 上递减， max 1 2 2 f xf ，合题意， 综上可得，6t
