1、 天津市红桥区天津市红桥区 20192019 届高三下学期一模考试届高三下学期一模考试 理理科科数学数学 本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 1 15050 分，考试用时分，考试用时 120120 分钟。答分钟。答 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时， 务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。 祝各位考生考试顺利！祝各位考生考试顺利！ 参考公式
2、：参考公式： 柱体的体积公式柱体的体积公式 ShV 柱体 ，其中，其中S表示柱体的底面积，表示柱体的底面积，h表示柱体的高表示柱体的高 锥体的体积公式锥体的体积公式 ShV 3 1 锥体 ，其中，其中S表示锥体的底面积，表示锥体的底面积，h表示锥体的高表示锥体的高 球的体积公式球的体积公式 3 3 4 RV 球 ，其中，其中R表表示球的半径示球的半径 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1 1每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。后，再选涂其他答案标号
3、。 2 2本卷共本卷共 8 8 题，题，每小题每小题 5 5 分，分，共共 4040 分。分。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 （1）若）若i为虚数单位，设复数为虚数单位，设复数i i i z2 1 1 ，则，则z A. 0 B. 2 1 C. 1 D. 2 （2）设变量）设变量yx,满足约束条件满足约束条件 0 0 02 054 y x yx yx ，则目标函数，则目标函数xyz2的最大值为的最大值为 A.A. 7 B. .5 C. 3 D. .1 （3 3）已知已知4log3a， 3 1 ) 4
4、1 (b， 5 1 log 3 1 c，则，则cba,的大小关系为的大小关系为 A.bac B. cab C. abc D.cba （4 4）设）设 n a是公比为是公比为q的等比数列，则“的等比数列，则“1q”是“”是“ n a为递增数列”的为递增数列”的 A. 充分而不必要条件充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件必要而不充分条件 C. 充要条件充要条件 D. 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 （5）若）若0a，0b，且，且4ba，则下列不等式恒成立的是，则下列不等式恒成立的是 A. 2 11 ab B. 1 11 ba C.2ab D. 8 11 22 ba （6）若如图所示的
5、程序框图输出的）若如图所示的程序框图输出的S是是126，则，则n条件为条件为 A. n？5 B. n？6 C. n？7 D. n？8 （7） 双曲线） 双曲线1 2 2 2 2 b y a x C：)0, 0(ba的左、 右焦点分别的左、 右焦点分别 为为 1 F、 2 F，点，点P在在C上，且上，且bPFPF3 21 ， abPFPF 4 9 21 ，则双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为 A. 3 4 B. 3 5 C. 3 10 D. 10 （8）若方程）若方程2 1 1 2 kx x x 有两个不同的实数根，则实数有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是的取值范围是 A. 1, B.
6、0 , 1 C. 40， D. 4 , 11 , 0 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 （9）已知集合）已知集合ZZ, 1| ),(U 22 yxyxyx，则集合，则集合U中的元素的个数为中的元素的个数为 _.（用（用 数字填写）数字填写） （10）在）在 9 ) 1 ( x x 的展开式中的常数项是的展开式中的常数项是_. （11）设直线）设直线 ty tx l 2 3 2 1 1 :（t为参数） ，曲线为参数） ，曲线 sin cos y x C：（为参数） ，直线为参数） ，直线l与曲线与曲线C交于交于A、B 两点，
7、则两点，则AB_.（用数字填写）（用数字填写） （12）若函数若函数xxxfsincos)(在在aa,是减函数，则是减函数，则a的最大值是的最大值是_._. （13）平面）平面截球截球O的球面所得圆的半径为的球面所得圆的半径为1，球心，球心O到平面到平面的距离为的距离为2，则此球，则此球O的体积为的体积为 _. （14）已知两点）已知两点)3, 1 (),0 , 1 (BA,O为坐标原点，点为坐标原点，点C在第二象限，且在第二象限，且 120AOC,设设 OCOBOA2，R，则实数，则实数_ .（用数字填写）（用数字填写） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 8
8、0 分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤 （15） （本小题满分） （本小题满分13分）分） 在在ABC中，内角中，内角CBA,所对的边分别是所对的边分别是cba,.已知已知BcAbsin3sin, 3a， 3 2 c o s B. （）求：求：b的值；的值； （）求：求： 3 2cos B的值的值. （1616）（）（本小题满分本小题满分13分分） 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每 人都已投球人都已投球3次时投篮结束次时投篮结
9、束.设甲每次投篮投中的概率为设甲每次投篮投中的概率为 3 1 ，乙每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为 2 1 ，且各次投，且各次投 篮互不影响篮互不影响. ()求甲获胜的概率；求甲获胜的概率； ()求投篮结束时甲的投球次数求投篮结束时甲的投球次数的分布列和期望的分布列和期望. （1717）（）（本小题满分本小题满分13分分） 在四棱锥在四棱锥ABCDP 中，中，PA底面底面ABCD,ABAD,DCAB/, 2APDCAD,1AB,点点E为棱为棱PC中点中点. （）证明：证明：BE/平面平面PAD； （）求直线）求直线BE与平面与平面PBD所成角的正弦值；所成角的正弦值； （）若（）若
10、F为棱为棱PC上一点，满足上一点，满足ACBF ,求二面角求二面角PABF的余的余弦值弦值. AB C D E P （1818）（）（本小题满分本小题满分13分分） 设等差数列设等差数列 n a的公差为的公差为d，d为整数，前为整数，前n项和为项和为 n S，等比数列等比数列 n b的公比为的公比为q，已知，已知 11 ba ，2 2 b，qd ，100 10 S，nN*. ()求数列求数列 n a与与 n b的通项公式；的通项公式； ()设设 n n n b a c ，求数列，求数列 n c的前的前n项和为项和为 n T. （19）（本小题满分本小题满分14分分） 设椭圆设椭圆1: 2 2
11、2 2 b y a x C)0( ba的离心率为的离心率为 2 1 ， 直线直线l过点过点)2, 0()0 , 4(BA、， 且与， 且与椭圆椭圆C相相 切切于点于点P. （）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程； （）是否存在过点是否存在过点)0 , 4(A的直线的直线m与与椭圆椭圆C相交于不同两点相交于不同两点NM、，使得，使得 ANAMAP3536 2 成立？若存在，求出直线成立？若存在，求出直线m的方程的方程；若不存在，说明理由若不存在，说明理由. （20）（本小题满分本小题满分14分分） 已知函数已知函数)ln()(kexf x （k为常数）是实数集为常数）是实数集 R 上的奇函数上的奇函
12、数，其中，其中e为自然对数的底数为自然对数的底数. （）（）求求k的值的值； （）（）讨论关于讨论关于x的方程的方程mexx xf x 2 )( ln 2 的根的个数的根的个数 高三数学（理）参考答案高三数学（理）参考答案 一、选择题 每题 5 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A D D B B D 二、填空题 每题 5 分 9. . 5 10. 84 11. 1 12. 4 13. 34 14. 1 三、解答题三、解答题 15.（本小题满分（本小题满分13分）分） （）由由BcAbsin3sin，得，得bcab3， 2 分分 即即ca3，且，且3a， 所以所以1c；3
13、 分分 因为因为Baccabcos2 222 5 分分 且且 3 2 cosB 解得解得6b.7 分分 （）因为因为 3 2 cosB，所以，所以 3 5 sinB， .8 分分 则则 9 54 cossin22sinBBB， .9 分分 9 1 1c o s22c o s 2 BB， 10 分分 因为因为 3 sin2sin 3 cos2cos 3 2cos BBB 11 分分 18 1154 .13 分分 16. （本小题满分（本小题满分13分）分） （）设“设“甲获胜甲获胜”甲获胜为事件甲获胜为事件A， 3 1 2 1 3 2 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 )(AP3
14、分分 27 13 .5 分分 （）的取值情况可能为的取值情况可能为 1,2,3， 3 2 2 1 3 2 3 1 1P 9 2 2 1 3 2 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 2P 9 1 2 1 3 2 2 1 3 2 3P8 分分 的分布列为的分布列为 1 1 2 2 3 3 P P 3 2 9 2 9 1 .11 分分 所以所以 9 1 3 9 2 2 3 2 1E 9 13 13 分分 17. （本小题满分本小题满分13分）分） （）（）取取PD中点中点M，连接，连接AM，EM， 由于由于E，M分别为分别为PC，PD的中点，的中点， 故故DCEM /,且且DCEM 2 1 ，
15、又因为又因为CDAB/，DCAB 2 1 ， 所以所以ABEM /且且ABEM ， 故四边形故四边形ABEM为平行四边形，为平行四边形，.2 分分 所以所以AMBE /，且且BE平面平面PAD，AM平面平面PAD， 所以所以 BE/平面平面PAD .4 分分 （）（）依题意，以点依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图） ，为原点建立空间直角坐标系（如图） ， 可得可得)0 , 0 , 1 (B，)0 , 2 , 2(C，)0 , 2 , 0(D，)2 , 0 , 0(P。 由由E为棱为棱PC的中点，得的中点，得) 1 , 1 , 1 (E。 AB C D E P x z y 向量向量)0
16、 , 2 , 1(BD，)2, 0 , 1 (PB。设。设),(zyxn为平面为平面PBD的法向量，的法向量， 则则 0 0 nPB nBD 即即 02 02 zx yx 可得可得) 1 , 1 , 2(n为平面为平面PBD的一个法向量，的一个法向量， .6 分分 且且) 1 , 1 , 0(BE 于是有于是有 BEn BEn BEn cos 3 3 ，8 分分 所以，直线所以，直线BE与平面与平面PBD所成角的正弦值为所成角的正弦值为 3 3 . 9 分分 （）向量）向量)0 , 2 , 1 (BC，)2 , 2, 2(CP，)0 , 2 , 2(AC，)0 , 0 , 1 (AB。 由点由
17、点F在棱在棱PC上，设上，设CPCF，10。 （若（若PCPF，则，则 4 1 ） 故故CPBCCFBCBF)2 ,22 ,21 (。 由由ACBF ，得，得0ACBF， 因此因此0)22(2)21 (2，解得，解得 4 3 ， .11 分分 （若（若PCPF，则，则 4 1 ） 即即) 2 3 , 2 1 , 2 1 (BF。设。设),( 1 zyxn 为平面为平面FAB的法向量，的法向量， 则则 0 0 1 1 nBF nAB ，即即 0 2 3 2 1 2 1 0 zyx x ， 可得可得) 1 , 3, 0( 1 n为平面的为平面的FAB一个法向量。一个法向量。 12 分分 取平面取平
18、面ABP的法向量的法向量)0 , 1 , 0( 2 n， 则则 21 21 21 cos nn nn nn 10 103 ， 13 分分 二面角二面角PABF是锐角，所以其余弦值为是锐角，所以其余弦值为 10 103 。 18.（本小题满分本小题满分13分）分） （）由题意有）由题意有 2 1004510 1 1 da da ，.2 分分 解得解得 2 1 1 d a 或或 9 2 9 1 d a （舍） ，（舍） ，4 分分 所以所以12 nan， 1 2 n n b 6 分分 （）（）由题意知由题意知 1 2 12 n n n n n b a c, 则则 nn cccT 21 n T 11
19、0 2 12 2 3 2 1 n n 8 分分 n T 2 1 n n 2 12 2 3 2 1 21 .9 分分 所以所以 - -得：得： n T 2 1 nn n 2 12 ) 2 2 2 2 2 2 (1 121 .11 分分 即即 n n n T 2 32 3 2 1 ，nN* .12 分分 整理得：整理得： 1 2 32 6 n n n T。 13 分分 19.（本小题满分（本小题满分14分）分） （）由（）由 2 1 e可得可得 ca2， 1 分分 点点)2 , 0()0 , 4(BA、的的直线直线042: yxl, 2 分分 1 34 042 2 2 2 2 c y c x yx
20、 ，解得，解得0312124 22 cyy，3 分分 因为直线因为直线l与与椭圆椭圆C相切，相切， 所以所以0)312(4412 22 c，解得，解得1c，5 分分 则则2a，3b 则则椭圆椭圆1 34 : 22 yx C； 6 分分 （）（）由题意知的由题意知的m斜率斜率存在存在故设故设)4(:xkym 设设),( 11 yxM、),( 22 yxN, 代入椭圆代入椭圆1 34 : 22 yx C的方程中的方程中, 整理得整理得0126432)34( 2222 kxkxk,7 分分 解解0，得，得 2 1 2 1 k.8 分分 由韦达定理有由韦达定理有: 34 32 2 2 21 k k x
21、x, 34 1264 2 2 21 k k xx9 分分 直线直线042: yxl与与椭圆椭圆1 34 : 22 yx C相切于点相切于点P的坐标的坐标) 2 3 , 1 (10 分分 4 452 AP， 7 81 0cosANAMANAMANAM .11 分分 2 2 2 2 2 1 2 1 )4()4(yxyxANAM 2 2 22 2 2 1 22 1 )4()4()4()4(xkxxkx )4)(4)(1( 21 2 xxk 16)(4) 1( 2121 2 xxxxk 34 36 ) 1( 2 2 k k 7 81 ANAM 34 36 ) 1( 2 2 k k 解得解得 4 2 k
22、，经经验成立，经经验成立，13 分分 则直线则直线m的方程的方程)4( 4 2 xy.14 分分 20.（本小题满分（本小题满分14分）分） （）（） 因为函数因为函数)ln()(kexf x （k为常数）是实数集为常数）是实数集 R 上的奇函数上的奇函数， 所以所以)()(xfxf即即0)0(f，.2 分分 则则0)ln( 0 ke解得解得0k，. .4 分分 显然显然0k时，时，xxf)(是实数集是实数集 R 上的奇函数；上的奇函数； （）由）由（）（）得得xxf)(.5 分分 方程转化为方程转化为mexx x x 2 ln 2 ， 令令 x x xh ln )(（0x） ，mexxxg2
23、)( 2 （0x）, 因为因为 2 ln1 )( x x xh ，令，令0)( xh，得，得ex，6 分分 当当ex, 0时，时，0)( xh， x x xh ln )(在在e, 0上为增函数；上为增函数；7 分分 当当 ，ex时，时，0)( xh， x x xh ln )(在在，e上为减上为减;8 分分 当当ex时，时， e ehxh 1 )()( max ；9 分分 而而meexxg 22 )()( meexxg 22 )()(在在e , 0上为减函数，上为减函数， 在在，e上为增函数；上为增函数；10 分分 当当ex时，时， 2 min )()(emegxg；11 分分 当当 e em 1 2 ，即，即 e em 1 2 时，方程无解；时，方程无解；.12 分分 当当 e em 1 2 ，即，即 e em 1 2 时，方程有一个根；时，方程有一个根；.13 分分 当当 e em 1 2 ，即，即 e em 1 2 时，方程有两个根；时，方程有两个根；.14 分分
