1、 新乡市高一上学期期末考试数学试卷新乡市高一上学期期末考试数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1.已知集合，则集合的元素个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用直线经过圆心即可判断集合的元素个数. 【详解】表示圆心为（1，1）的圆， 且圆心在直线 y=x 上，即直线 y=x 与圆相交， 集合的元素个数为 2 故选：C 【点睛】本题考查交集中元素个数的求法
2、，考查直线与圆的位置关系等基础知识，考查数形 结合思想，是基础题 2.若一个圆锥的轴截面是面积为 1 的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由轴截面是面积为 1 的等腰直角三角形，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l， 由题可知，r=h=，则， 侧面积为 故选：A 【点睛】本题考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；注意圆锥的侧面 积的应用 3.下列命题中，正确的命题是 A. 任意三点确定一个平面 B. 三条平行直线最多确定一个平面 C. 不同的两条直线均
3、垂直于同一个平面，则这两条直线平行 D. 一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 【答案】C 【解析】 【分析】 在A中，不共线的三点确定一个平面；在B中，三条平行直线最多确定三个平面；在C中， 由线面垂直的性质定理得这两条直线平行；在D中，一个平面中的两条相交直线与另一个平 面都平行，则这两个平面平行 【详解】解：在A中，不共线的三点确定一个平面，故A错误； 在B中，三条平行直线最多确定三个平面，故B错误； 在C中，不同的两条直线均垂直于同一个平面， 则由线面垂直的性质定理得这两条直线平行，故C正确； 在D中，一个平面中的两条相交直线与另一个平面都平行， 则这两个平面平行，
4、故D错误 故选：C 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查逻辑推理能力与空间想象能力，是中档题 4.若幂函数的图像过点，则函数的零点是 A. B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由幂函数f（x）x 的图象过点 ，求出f（x），由g（x）0，能求出函数g（x） f（x）3 的零点 【详解】解：幂函数f（x）x 的图象过点 ， f（2）2 ，解得， f（x）， 函数g（x）f（x）33， 由g（x）f（x）330，得x9 函数g（x）f（x）3 的零点是 9 故选：B 【点睛】本题考查函数的零点的求法，考查幂函数的性质等基础知识，
5、考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，是基础题 5.已知直线 过点且平行于直线,则直线 的方程是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据直线平行设出平行直线方程为 4x+y+c0，代入点的坐标求出c即可 【详解】解：设与直线 4x+y80 平行的直线方程为 4x+y+c0， 直线 4x+y+c0 过（1，1） ， 4+1+c0， 即c5， 则直线方程为 4x+y50， 故选：D 【点睛】本题主要考查直线平行的求解，利用平行直线系是解决本题的关键 6.已知函数,则的定义域为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 容易求出f（x）的定义域为（，4） ，从而
6、得出，函数g（x）需满足，解出x的范 围即可 【详解】解：要使f（x）有意义，则 4x0； x4； f（x）的定义域为（，4） ； 函数g（x）满足：； x2，且x1； g（x）的定义域为（，1）（1，2） 故选：B 【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，已知f（x）定义域求fg（x）定义域的方法 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半球，半径是 1， 右侧是一个三棱柱， 三棱柱的底面是斜边长为 2 的等腰直角三角形，高为 2,从而可得该几何体的体积. 【详解】解：由三视图知，
7、几何体是一个简单组合体，左侧是一个半球，半径是 1， 右侧是一个三棱柱，三棱柱的底面是斜边长为 2 的等腰直角三角形，高为 2 组合体的体积是：， 故选：D 【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，考查空间想象能力， 属于中档题. 8.已知点P与点Q关于直线对称,则点P的坐标为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，设P的坐标为（a，b） ，分析可得，解可得a、b的值，即可得答案 【详解】设P的坐标为（a，b） ，则PQ的中点坐标为（，） ， 若点P与Q（1，2）关于x+y10 对称，则有， 解可得：a3，b0， 则点P的坐标为（3，0） ；
8、 故选：A 【点睛】本题考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，涉及直线与直线的位置关系， 属于基础题 9.在平面直角坐标系中,圆C与圆O:外切,且与直线相切,则圆C的面 积的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意画出图形，求出最小圆的半径，代入圆的面积公式即可 【详解】解：如图， 圆心O到直线x2y+50 的距离d， 则所求圆的半径r， 圆C面积的最小值为S 故选：C 【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题 10.已知函数在上单调递减,且是偶函数,则 , 的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【
9、分析】 根据题意，由f（x+3）是偶函数可得函数f（x）的图象关于直线x3 对称，进而可得f（x） 在（，3上为增函数，又由 0log3213 0.5，分析可得答案 【详解】解：根据题意，函数f（x+3）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x3 对称， 则f（6）f（0） ， 又由函数f（x）在3，+）上单调递减，则f（x）在（，3上为增函数， 又由 0log3213 0.5，则 f（log32）f（3 0.5） ， 则bac； 故选：D 【点睛】本题考查函数的单调性与对称性综合应用，注意分析函数f（x）的对称轴 11.已知函数,记 ,则 A. B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【
10、分析】 推导出1， 再由f（2） +f（3） +f（4） +f（10） m， 能求出m+n的值 【详解】解：函数， 1， f（2）+f（3）+f（4）+f（10）m， m+n9（1）9 故选：A 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 12.如图,已知一个八面体的各条棱长为 1,四边形ABCD为正方形,下列说法 该八面体的体积为 ; 该八面体的外接球的表面积为; E到平面ADF的距离为; EC与BF所成角为 60; 其中不正确的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得该八面体为正八面体，即底面为正方形的
11、两个正四棱锥连接而成，由棱锥的体积， 可判断；推得球心即为正方形的中心，求得半径，由球的表面积公式，计算可判断； 由体积转化法，即VBADFVFABD，计算可判断；由异面直线所成角的定义，即可判断 【详解】解：因为八面体的各条棱长均为 1，四边形ABCD为正方形， 可得该八面体为正八面体，E到平面ABCD的距离为， 即有八面体的体积为 21，故错误； 由正方形ABCD的中心到点A，B，C，D，E，F的距离相等，且为， 可得该八面体的外接球的球心为正方形ABCD的中心，半径为， 表面积为 42，故正确； 由正八面体的特点可得四边形EDFB为正方形，由EBDF，可得EB平面ADF， B到平面ADF
12、的距离，设为d，即为E到平面ADF的距离，由VBADFVFABD， 可得h，可得h，故错误； 由四边形EDFB为正方形，可得BFED，DE与EC所成角即为EC与BF所成角， 可得三角形CDE为等边三角形，可得EC与BF所成角为 60，故正确 其中错误的个数为 2 故选：C 【点睛】本题考查正八面体的性质，以及异面直线所成角和棱锥的体积、球的表面积和点到 平面的距离，考查运算能力，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. . 13._. 【答案】6 【解
13、析】 【分析】 利用对数的性质、运算法则直接求解 【详解】解：lg10+56 故答案为：6 【点睛】本题考查指数式、对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 14.已知正方体的体积为 64，则这个正方体的内切球的体积为_. 【答案】 【解析】 【分析】 设正方体的内切球的半径为r，得出正方体棱长为 2r，利用正方体体积公式可得出r的值， 再利用球体的体积公式可得出答案 【详解】解：设正方体的内切球的半径为r，则正方体的棱长为 2r，则正方体的体积为（2r） 364，得 r2， 因此，这个正方体的内切球的体积为 故答案为： 【点睛】本题考查球体的体积的计算
14、，解决本题的关键在于弄清球体半径与正方体棱长之间 的关系，考查计算能力，属于中等题 15.已知函数 在 上存在最小值，则m的取值范围是_. 【答案】 【解析】 【分析】 讨论当x0 时，当x0 时，运用二次函数的单调性和指数函数的单调性，可得f（x）的范 围，由题意即可得到所求m的范围 【详解】解：当x0 时，f（x）x 2+2x1（x+1）222， 即有x1 时，取得最小值2， 当x0 时，f（x）3 x+m 递增， 可得f（x）1+m， 由题意可得 1+m2， 解得m3， 故答案为：3，+） 【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法和指数函数的单调性，考查 运算能力，属于中
15、档题 16.已知实数x,y满足，则的取值范围是_. 【答案】 【解析】 【分析】 变形可得（x2） 2+y21，所求式子表示圆上的点 M（x，y）与定点A（1，3）连线的斜率 k加上 1，利用直线和圆相切的性质求得k的范围，可得结论 【详解】解：实数x，y满足x 24x+3+y20，即（x2）2+y21，表示以 C（2，0）为圆 心，半径等于 1 的圆 则1，表示圆上的点M（x，y）与定点A（1，3）连线的斜率k 加上 1，如图 当切线位于AB这个位置时，k最小，k+1 最小 当切线位于AE这个位置时，k不存在，k+1 不存在 设AB的方程为y+3k（x1） ，即 kxyk30，由CB1，可得
16、1，求得 k 而AE的方程为x1， 故k+1 的范围为 ，+） ， 故答案为： ，+） 【点睛】本题主要考查直线和圆相切的性质，斜率公式， 直线和圆的位置关系，考查数形结合的思想方法，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . 17.已知集合，全集为 R. （1）求； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 （1）进行补集、交集的运算即可； （2）可求出ABx|3x5，根据（AB）C即可得出m5，即得出m的范围 【详解
17、】解： （1）R RBx|x0，或x5； A（R RB）x|3x0； （2）ABx|3x5； （AB）C； m5； 实数m的取值范围为5，+） 【点睛】本题考查描述法的定义，以及交集、并集和补集的运算，子集的定义 18.已知直线 的方程为，若在x轴上的截距为 ，且. （1）求直线 和 的交点坐标； （2）已知直线 过直线 与 的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的 2 倍，求 的方程. 【答案】 （1）； （2）或 【解析】 【分析】 （1）利用l1l2，可得斜率利用点斜式可得直线l2的方程，与直线l1和l2的交点坐标为 （2，1） ； （2）当直线l3经过原点时，可得方程当直线l3不经过过
18、原点时，设在x轴上截距为a0， 则在y轴上的截距的 2a倍，其方程为：1，把交点坐标（2，1）代入可得a 【详解】解： （1）l1l2，2 直线l2的方程为：y02（x） ，化为：y2x3 联立，解得 直线l1和l2的交点坐标为（2，1） （2）当直线l3经过原点时，可得方程：yx 当直线l3不经过过原点时，设在x轴上截距为a0，则在y轴上的截距的 2a倍， 其方程为：1，把交点坐标（2，1）代入可得：1，解得a 可得方程：2x+y5 综上可得直线l3的方程为：x2y0，2x+y50 【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 19.已知圆
19、C 的圆心坐标为，且圆 C 与y轴相切. （1）已知，点N是圆 C 上的任意一点，求的最小值. （2）已知，直线 的斜率为 ，且与 y 轴交于点。若直线 l 与圆 C 相离，求a的取值 范围。 【答案】 （1）4； （2） 【解析】 【分析】 （1）求出圆的方程，再求出M到圆心的距离，减去半径得答案； （2）写出直线方程，利用圆心到直线的距离大于半径求解 【详解】解： （1）当a1 时，圆C的方程为（x1） 2+y21， 又|MC|， |MN|的最小值为 514； （2）直线l的斜率为 ，且与y轴交于点， 直线l的方程为，即 4x3y20 直线l与圆C相离， |a|，又a0，则 24a5a，解
20、得a2 a的取值范围为（2，0） 【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是基础题 20.已知函数. （1）当时，求实数 的取值范围. （2）若在上的最大值大于 0，求 的取值范围. 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 （1）当 a=3 时，利用对数函数的单调性可得 x 的取值范围； （2）内层在定义域内单调递增，分析外层的单调性即可得到最值. 【详解】 （1）当 a=3 时， ，得 （2）a0，在定义域内单调递增， 当 a1 时，函数在上单调递增， 得即 a ，又 a1，故 a1； 当 0a1 时，函数在上单调递减， 得； 又因为在上恒成立，故，即 综上：
21、的取值范围 【点睛】本题考查对数型复合函数的图象与性质，涉及到对数型不等式的解法，对数型函数 的最值，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，属于中档题. 21.如图，四棱锥的底面是正方形，PAD 为等边三角形，M,N 分别是 AB,AD 的 中点,且平面 PAD平面 ABCD. (1)证明：； (2)设点 E 是棱 PA 上一点，若，求. 【答案】 （1）见解析； （2）2 【解析】 【分析】 （1）推导出BMAN，CMBN，PNAD，从而PN平面ABCD，进而CMPN，由此能证明CM 平面PNB； （2）连结AC，交DM于点Q，连结EQ，推导出PCEQ，从而PE：EACQ：QA
22、，由此能求出 的值 【详解】证明： （1）在正方形ABCD中，M，N分别是AB，AD的中点， BMAN，BCAB，MBCNAB90， MBCNAB，BCMNAB， 又NBA+BMC90，NBA+BMC90， CMBN， PAD为等边三角形，N是AD的中点， PNAD， 又平面PAD平面ABCD，PN 平面PAD，平面PAD平面ABCDAD， PN平面ABCD， 又CM 平面ABCD，CMPN， BN，PN 平面PNB，BNPNN， CM平面PNB 解： （2）连结AC，交DM于点Q，连结EQ， PC平面DEM，PC 平面PAC，平面PAC平面DEMEQ， PCEQ， PE：EACQ：QA， 在
23、正方形ABCD中，AMCD，且CD2AM， CQ：QACD：AM2， 2 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查两线段的比值的求法，考查空间中 线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中 档题 22.已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的，都有 . （1）若，求 的取值范围. （2）若不等式对任意和都恒成立，求t的取值范围. 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 （1）由函数的单调性的定义，构造出f（x）在定义域5，5，上是增函数，通过增函数性 质解不等式得a的取值范围; （2）由f（x）单调递增且奇函数，利用其最大值整理得关于a，t 的不等式，由
24、a3， 0都恒成立，根据单调性可以求t的取值范围 【详解】解：设任意x1，x2满足5x1x25，由题意可得： f（x1）f（x2）即f（x1）f（x2） 所以f（x）在定义域5， 5，上是增函数， 由f（2a1）f（3a3） ，得，解得 2a， 故a的取值范围为（2， ； （2）由以上知f（x）是定义在5，5上的单调递增的奇函数，且f（5）2， 得在5，5上f（x）maxf（5）f（5）2 在5，5上不等式f（x）（a2）t+5 对a3，0都恒成立， 所以 2（a2）t+5 即at2t+30，对a3，0都恒成立， 令g（a）at2t+3，a3，0，则只需，即 解得t 故t的取值范围（， 【点睛】本题主要考察函数单调性知识的应用，解题中主要利用了单调性的定义法，最值法
