1、2.2.2 事件的相互独立性事件的相互独立性 考考 纲纲 定定 位位 重重 难难 突突 破破 1.理解两个事件相互独立的概念， 会判理解两个事件相互独立的概念， 会判 别两个事件是否为相互独立事件别两个事件是否为相互独立事件 2.掌握相互独立事件同时发生的概率掌握相互独立事件同时发生的概率 计算公式，并能计算相关问题的概率计算公式，并能计算相关问题的概率. 重点：重点：两个事件相互独立的概念，两个事件相互独立的概念， 相互独立事件同时发生的概率计算相互独立事件同时发生的概率计算 公式及应用公式及应用 难点：难点：两个事件相互独立的概念两个事件相互独立的概念. 01 课前 自主梳理 02 课堂
2、合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 自主梳理自主梳理 1相互独立事件的概念相互独立事件的概念 设设 A，B 为两个事件，若为两个事件，若 P(AB) ，则称事件，则称事件 A 与事件与事件 B 相互独立相互独立 2相互独立事件的性质相互独立事件的性质 (1)若事件若事件 A 与与 B 相互独立，则相互独立，则 P(B|A) ，P(A|B)P(A)，P(AB) (2)如果事件如果事件 A 与与 B 相互独立，那么相互独立，那么 ，A与与 B， 也相互独立也相互独立 P(A)P(B) P(A)P(B) P(B) A 与与B A与与B 双基自测双基自测 1若事件若事件 A 与与 B 相互独立，
3、则下列不相互独立的事件为相互独立，则下列不相互独立的事件为( ) AA 与与B B.A与与B CB 与与B DB 与与 A 解析：解析：由相互独立性质知由相互独立性质知 A 与与B，A与与B，B 与与 A 也相互独立也相互独立 答案：答案：C 2两人打靶，甲击中的概率为两人打靶，甲击中的概率为 0.8，乙击中的概率为，乙击中的概率为 0.7，若两人同时射击一目标，若两人同时射击一目标， 则它们都击中目标的概率是则它们都击中目标的概率是( ) A0.56 B0.48 C0.75 D0.6 解析：解析：都击中目标的概率为都击中目标的概率为 P0.80.70.56. 答案：答案：A 3一件产品要经过
4、一件产品要经过 2 道独立的加工程序，第一道工序的次品率为道独立的加工程序，第一道工序的次品率为 a，第二道工序的，第二道工序的 次品率为次品率为 b，则产品的正品率为，则产品的正品率为( ) A1ab B1ab C(1a)(1b) D1(1a)(1b) 解析：解析：2 道工序相互独立，道工序相互独立， 产品的正品率为产品的正品率为(1a)(1b) 答案：答案：C 探究一探究一 相互独立事件的判断相互独立事件的判断 典例典例 1 下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？ (1)袋中有袋中有 3 白、白、2 黑共黑共 5 个大小相同
5、的小球，依次有放回地摸两球，事件个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件 M：“第一第一 次摸到白球次摸到白球”，事件，事件 N：“第二次摸到白球第二次摸到白球”； (2)袋中有袋中有 3 白、白、2 黑共黑共 5 个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件 M：“第一第一 次摸到白球次摸到白球”，事件，事件 N：“第二次摸到黑球第二次摸到黑球” 解析解析 (1)根据事件的特点易知，事件根据事件的特点易知，事件 M 是否发生对事件是否发生对事件 N 发生的概率没有影响，发生的概率没有影响， 故故 M 与与 N 是相互独立事件是相互独立事件 (2)由于
6、第由于第 1 次摸到球不放回，因此会对第次摸到球不放回，因此会对第 2 次摸到球的概率产生影响，但不会造成次摸到球的概率产生影响，但不会造成 “再从中任意取再从中任意取 1 球是黑球球是黑球”的事件不发生，所以这两个事件既不是互斥事件，又不的事件不发生，所以这两个事件既不是互斥事件，又不 是相互独立事件是相互独立事件 判断事件是否相互独立的方法：判断事件是否相互独立的方法： (1)定义法：事件定义法：事件 A，B 相互独立相互独立P(AB)P(A) P(B) (2)利用性质：利用性质：A 与与 B 相互独立，则相互独立，则 A 与与B，A与与 B，A与与B也都相互独立也都相互独立 1判断下列各
7、对事件，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？判断下列各对事件，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？ (1)掷一枚骰子一次，事件掷一枚骰子一次，事件 M：“出现的点数为奇数出现的点数为奇数”，事件，事件 N：“出现的点数为出现的点数为 偶数偶数”； (2)掷一枚骰子一次，事件掷一枚骰子一次，事件 A：“出现偶数点出现偶数点”；事件；事件 B：“出现出现 3 点或点或 6 点点” 解析：解析：(1)二者不可能同时发生，二者不可能同时发生，M 与与 N 是互斥事件是互斥事件 (2)基本事件空间为基本事件空间为 1,2,3,4,5,6，事件，事件 A2,4,6，事件，事件 B3,6，事件，事件 AB6
8、， P(A)3 6 1 2， ，P(B)2 6 1 3， ， P(AB)1 6 1 2 1 3，即 ，即 P(AB)P(A)P(B) 故事件故事件 A 与与 B 相互独立当相互独立当“出现出现 6 点点”时，事件时，事件 A、B 可以同时发生，因此，可以同时发生，因此，A、 B 不是互斥事件不是互斥事件 探究二探究二 相互独立事件同时发生的概率相互独立事件同时发生的概率 典例典例 2 甲、乙两人独立破译密码的概率分别为甲、乙两人独立破译密码的概率分别为1 3、 、1 4，求： ，求： (1)两个人都译出密码的概率；两个人都译出密码的概率； (2)两个人都译不出密码的概率；两个人都译不出密码的概
9、率； (3)恰有一人译出密码的概率；恰有一人译出密码的概率； (4)至多一人译出密码的概率；至多一人译出密码的概率； (5)至少一人译出密码的概率至少一人译出密码的概率 解析解析 记记 A 为为“甲独立地译出密码甲独立地译出密码”，B 为为“乙独立地译出密码乙独立地译出密码”则则 A 与与 B，A 与与B均相互独立均相互独立 (1)两个人都译出密码的概率为两个人都译出密码的概率为 P(AB)P(A)P(B)1 3 1 4 1 12. (2)两个人都译不出密码的概率为两个人都译不出密码的概率为 P(A B)P(A)P(B)1P(A)1P(B) 11 3 11 4 1 2. (3)恰有一人译出密码
10、分为两类： 甲译出乙译不出； 乙译出甲译不出， 则两事件互斥，恰有一人译出密码分为两类： 甲译出乙译不出； 乙译出甲译不出， 则两事件互斥， P(ABAB)P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)1 3 11 4 11 3 1 4 5 12. (4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码， 至多一人译出密码的概率为至多一人译出密码的概率为 1P(AB)1 1 12 11 12. (5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码，至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码， 至少一人译出密码的概至少一人译出密码的概 率为率为 1
11、P(A B)11 2 1 2. 求相互独立事件同时发生的概率：求相互独立事件同时发生的概率： (1)求相互独立事件同时发生的概率，运用公式求相互独立事件同时发生的概率，运用公式 P(AB)P(A)P(B)在解决问题时，要在解决问题时，要 搞清事件是否相互独立，同时要注意把复杂事件分解为若干简单事件来处理，并注意搞清事件是否相互独立，同时要注意把复杂事件分解为若干简单事件来处理，并注意 运用对立事件把问题简化运用对立事件把问题简化 (2)求相互独立事件同时发生的概率的步骤：求相互独立事件同时发生的概率的步骤： 首先确定各事件之间是相互独立的；首先确定各事件之间是相互独立的； 确定这些事件可以同时
12、发生；确定这些事件可以同时发生； 求出每个事件发生的概率，再求其积求出每个事件发生的概率，再求其积 2根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险的概率为，购买乙种保险的概率为 0.6， 购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立 (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率；求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率； (3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率求一位车主至少购买甲、乙两种
13、保险中的一种的概率 解析：解析：记记 A 表示事件表示事件“购买甲种保险购买甲种保险”，B 表示事件表示事件“购买乙种保险购买乙种保险”，则由题意得，则由题意得 A 与与 B，A 与与B，A与与 B，A与与B都是相互独立事件，且都是相互独立事件，且 P(A)0.5，P(B)0.6. (1)记记 C 表示事件表示事件“同时购买甲、乙两种保险同时购买甲、乙两种保险” P(C)P(AB)P(A)P(B)0.50.60.3. (2)记记 D 表示事件表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险购买乙种保险但不购买甲种保险”，则，则 DAB. P(D)P(AB)P(A)P(B)(10.5)0.60.3. (3
14、)解法一解法一 记记 E 表示事件表示事件“至少购买甲、 乙两种保险中的一种至少购买甲、 乙两种保险中的一种”， 则事件， 则事件 E 包括包括AB， AB，AB，且它们彼此为互斥事件，且它们彼此为互斥事件 P(E)P( A BA B AB)P( A B)P(A B )P(AB)0.50.60.50.4 0.50.60.8. 解法二解法二 事件事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件与事件“甲、乙两种保险都不购甲、乙两种保险都不购 买买”为对立事件为对立事件 P(E)1P(A B)1(10.5)(10.6)0.8. 探究三探究三 相互独立事件概率的实际应用相互
15、独立事件概率的实际应用 典例典例 3 三个元件三个元件 T1，T2，T3正常工作的概率分别为正常工作的概率分别为1 2， ，3 4， ，3 4，将它们中的某两个 ，将它们中的某两个 元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率 解析解析 记记“三个元件三个元件 T1，T2，T3正常工作正常工作”分别为事件分别为事件 A1，A2，A3，则则 P(A1)1 2， ， P(A2)3 4， ，P(A3)3 4.不发生故障的事件为 不发生故障的事件为(A2A3)A1， 不发生故障的概率为不发生故障的概率为 P
16、P(A2A3)A1 P(A2A3) P(A1) 1P(A2) P(A3) P(A1) 11 4 1 4 1 2 15 32. 解决此类问题应注意什么？解决此类问题应注意什么？ (1)恰当用事件的恰当用事件的“并并”“”“交交”表示所求事件表示所求事件 (2)“串联串联”时系统无故障易求概率，时系统无故障易求概率，“并联并联”时系统有故障易求概率，求解时注意时系统有故障易求概率，求解时注意 对立事件概率之间的转化对立事件概率之间的转化 3在一段线路中并联着在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要其中个自动控制的常开开关，只要其中 1 个开关能够闭合，线个开关能够闭合，线 路就能正常工作
17、假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算在这段，计算在这段 时间内线路正常工作的概率时间内线路正常工作的概率 解析：解析：如图所示，记这段时间内开关如图所示，记这段时间内开关 KA、KB、KC能够闭合分别为事件能够闭合分别为事件 A、B、C. 由题意知，这段时间内由题意知，这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间也没有影响， 根据相互独立事个开关是否能够闭合相互之间也没有影响， 根据相互独立事 件的概率公式得，这段时间内件的概率公式得，这段时间内 3 个开关都不能闭合的概率是个开关都不能闭合的概率是 P(A B C)P(
18、A)P(B)P(C) 1P(A)1P(B)1P(C) (10.7)(10.7)(10.7)0.027. 于是这段时间内至少有于是这段时间内至少有 1 个开关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是个开关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是 1P(A B C)10.0270.973. 即这段时间内线路正常工作的概率是即这段时间内线路正常工作的概率是 0.973. 分类讨论思想求两个相互独立事件的概率分类讨论思想求两个相互独立事件的概率 典例典例 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是2 3和 和3 4.假设两人是否击中目标 假设两人是否击中目标
19、相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响 (1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；求甲、乙各射击一次均击中目标的概率； (2)求甲射击求甲射击 4 次，恰有次，恰有 3 次连续击中目标的概率次连续击中目标的概率 解析解析 (1)记事件记事件 A 表示表示“甲击中目标甲击中目标”，事件，事件 B 表示表示“乙击中目标乙击中目标”， 依题意依题意知事件知事件 A 和事件和事件 B 相互独立，相互独立， 因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为 P(AB)P(A)P(B)2 3 3
20、4 1 2. (2)记事件记事件 Ai表示表示“甲第甲第 i 次射击击中目标次射击击中目标”(其中其中 i1,2,3,4)，并记，并记“甲甲 4 次射击恰次射击恰 有有 3 次连续击中目标次连续击中目标”为事件为事件 C， 则则 CA1A2A3A4A1A2A3A4，且，且 A1A2A3A4与与A1A2A3A4是互斥事件，是互斥事件， 由于由于 A1，A2，A3，A4之间相互独立，之间相互独立， 所以所以 Ai与与Aj(i，j1,2,3,4，且，且 ij)之间也相互独立之间也相互独立 由于由于 P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)2 3， ， 故故 P(C)P(A1A2A3A4A1A2A3A
21、4) P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3) P(A4)(2 3) 3 1 3 1 3 (2 3) 3 16 81. 感悟提高感悟提高 (1)在求解第在求解第(2)问时， 利用了分类讨论思想， 把该事件分为两类求其概率问时， 利用了分类讨论思想， 把该事件分为两类求其概率 (2)求较复杂事件概率的一般步骤：求较复杂事件概率的一般步骤： 列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示； 理清事件之间的关系理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；，列出关系式；
22、 根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. 随堂训练随堂训练 1甲、乙两班各有甲、乙两班各有 36 名同学，甲班有名同学，甲班有 9 名三好学生，乙班有名三好学生，乙班有 6 名三好学生，两班各名三好学生，两班各 派派 1 名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是 ( ) A. 5 24 B. 5 12 C. 1 24 D.3 8 解析：解析：两班各自派出代表是相互独立事件，设事件两班各自派出代表是相互独立事件，设事件 A，B 分别为甲班、乙班派出的是分别为甲班、乙班派出的是 三好学生，
23、则事件三好学生， 则事件AB为两班派出的都是三好学生， 则为两班派出的都是三好学生， 则P(AB)P(A)P(B) 9 36 6 36 1 24. 答案：答案：C 2种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为 p 和和 q，则恰有一株成活的概率为，则恰有一株成活的概率为 ( ) Apq Bpq Cpqpq Dpq2pq 解析：解析：恰有一株成活的概率为恰有一株成活的概率为 p(1q)(1p)qppqqpqpq2pq. 答案：答案：D 3甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局
24、就获冠军，乙队需要 再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.1 2 B.3 5 C.2 3 D.3 4 解析：解析：根据题意，由于根据题意，由于甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军， 根据两队每局中胜出的概率都为根据两队每局中胜出的概率都为1 2，则可知甲队获得冠军的概率为 ，则可知甲队获得冠军的概率为1 2 1 2 1 2 3 4. 答案：答案：D 4有甲、乙两批种子，发芽率分别为有甲、乙两批种子，发芽率分别为 0.8 和和 0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一，在两批种子中各取一粒，则恰有一 粒种子能发芽的概率是粒种子能发芽的概率是_ 解析：解析：所求概率所求概率 P0.80.10.20.90.26. 答案：答案：0.26 课时作业
