1、11 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理 考考 纲纲 定定 位位 重重 难难 突突 破破 1.归纳归纳得出分类加法计数原理和分步乘法得出分类加法计数原理和分步乘法 计数原理，能应用它们解决简单的实际问计数原理，能应用它们解决简单的实际问 题题 2.正确地理解正确地理解“完成一件事情完成一件事情”的含义的含义 3.根据实际问题的特征，正确地区分根据实际问题的特征，正确地区分“分分 类类”或或“分步分步”. 重点：重点：分类加法计数原理和分步乘分类加法计数原理和分步乘 法计数原理及其应用法计数原理及其应用 难点：难点：“完成一件事情完成一件事情”的含义；的含义；
2、根据具体问题的特征，选择分类加根据具体问题的特征，选择分类加 法计数原理或分步乘法计数原理法计数原理或分步乘法计数原理. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 自主梳理自主梳理 1分类加法计数原理分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有类方案中有 m 种不同的方法，在第种不同的方法，在第 2 类方案中类方案中 有有 n 种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法种不同的方法 2分步乘法计数原理分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第完成一件事需要两个步骤，做第 1
3、步有步有 m 种不同的方法，做第种不同的方法，做第 2 步有步有 n 种不同的方种不同的方 法，那么完成这件事共有法，那么完成这件事共有 种不同的方法种不同的方法 Nmn Nmn 3两个计数原理的区别和联系两个计数原理的区别和联系 分类加法计数原理分类加法计数原理 分步乘法计数原理分步乘法计数原理 联系联系 回答的都是关于完成一件事情的不同方法的回答的都是关于完成一件事情的不同方法的 的问题的问题 区别一区别一 针对的是针对的是“ ”问题问题 针对的是针对的是“ ”问题问题 区别二区别二 各种方法相互各种方法相互_ 各个步骤中的方法互相各个步骤中的方法互相_ 区别三区别三 任何一种方法都可以做
4、完这件事任何一种方法都可以做完这件事 只有各个步骤都完成才算做完这件事只有各个步骤都完成才算做完这件事 依存依存 种数种数 分类分类 分步分步 独立独立 双基自测双基自测 1一个科技小组有一个科技小组有 3 名男同学，名男同学，5 名女同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，不同名女同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，不同 的选派方法共有的选派方法共有_种种 解析：解析：任选一名同学参加学科竞赛不同的选派方法有任选一名同学参加学科竞赛不同的选派方法有 358 种种 答案：答案：8 22016 年猴年春节晚会上，某一舞蹈节目共有年猴年春节晚会上，某一舞蹈节目共有 6 名男演员，名男演员，6 名女演员
5、现选一男名女演员现选一男 演员，一女演员作为领舞演员，不同的选法种数为演员，一女演员作为领舞演员，不同的选法种数为_ 解析：解析：共有共有 6636 种种 答案：答案：36 3商店里有上衣商店里有上衣 15 种，裤子种，裤子 18 种，某人要买一件上衣或一条裤子，共有种，某人要买一件上衣或一条裤子，共有_ 种不同的选法，要买上衣、裤子各一件，共有种不同的选法，要买上衣、裤子各一件，共有_种不同的选法种不同的选法 解析：解析：要买一件上衣或一条裤子只有要买一件上衣或一条裤子只有 151833 种；要买上衣、裤子各一件共有种；要买上衣、裤子各一件共有 1518270 种种 答案：答案：33 270
6、 探究一探究一 分类加法计数原理分类加法计数原理 典例典例 1 某校高二某校高二(1)、(2)、(3)班，各班人数如下表：班，各班人数如下表： 男生人数男生人数 女生人数女生人数 总人数总人数 高二高二(1)班班 30 20 50 高二高二(2)班班 30 30 60 高二高二(3)班班 35 20 55 (1)从这三个班中选从这三个班中选 1 名学生任学生会主席，有多少种不同的选法；名学生任学生会主席，有多少种不同的选法； (2)从高二从高二(1)班、班、(2)班男生中或从高二班男生中或从高二(3)班女生中选班女生中选 1 名学生任学生会生活部部长，名学生任学生会生活部部长， 有多少种不同的
7、选法？有多少种不同的选法？ 解析解析 (1)从每个班选从每个班选 1 名学生任学生会主席，共有名学生任学生会主席，共有 3 类不同的方案：类不同的方案： 第第 1 类，从高二类，从高二(1)班中选出班中选出 1 名学生，有名学生，有 50 种不同的选法；种不同的选法； 第第 2 类，从高二类，从高二(2)班中选出班中选出 1 名学生，有名学生，有 60 种不同种不同的选法；的选法； 第第 3 类，从高二类，从高二(3)班中选出班中选出 1 名学生，有名学生，有 55 种不同的选法种不同的选法 根据分类加法计数原理知，从三个班中选根据分类加法计数原理知，从三个班中选 1 名学生任学生会主席，共有
8、名学生任学生会主席，共有 506055 165 种不同的选法种不同的选法 (2)从高二从高二(1)班、班、(2)班男生或高二班男生或高二(3)班女生中选班女生中选 1 名学生任学生会生活部部长，共有名学生任学生会生活部部长，共有 3 类不同的方案：类不同的方案： 第第 1 类，从高二类，从高二(1)班男生中选出班男生中选出 1 名学生，有名学生，有 30 种不同的选法；种不同的选法； 第第 2 类，从高二类，从高二(2)班男生中选出班男生中选出 1 名学生，有名学生，有 30 种不同的选法；种不同的选法； 第第 3 类，从高二类，从高二(3)班女生中选出班女生中选出 1 名学生，有名学生，有
9、20 种不同的选法种不同的选法 根据分类加法计数原理知，从高二根据分类加法计数原理知，从高二(1)班、班、(2)班男生或高二班男生或高二(3)班女生中选班女生中选 1 名学生任名学生任 学生会生活部部长，共有学生会生活部部长，共有 30302080 种不同的选法种不同的选法 应用分类加法计数原理的关键：应用分类加法计数原理的关键： 用分类加法计数原理计数， 关键在于根据问题的特点确定一个适合它的分类标准在这用分类加法计数原理计数， 关键在于根据问题的特点确定一个适合它的分类标准在这 个分类标准下，完成这件事的任何一种方法只属于某一类，并且分别属于不同种类的个分类标准下，完成这件事的任何一种方法
10、只属于某一类，并且分别属于不同种类的 两种方法是不同的两种方法是不同的 1x，yN*，且，且 xy6，试求有序正整数对，试求有序正整数对(x，y)的个数的个数 解析：解析：按按 x 的取值进行分类：的取值进行分类： x1 时，时，y1,2,3,4,5，共构成，共构成 5 个有序正整数对；个有序正整数对； x2 时，时，y1,2,3,4，共构成，共构成 4 个个有序正整数对；有序正整数对； x3 时，时，y1,2,3，共构成，共构成 3 个有序正整数对；个有序正整数对； x4 时，时，y1,2，共构成，共构成 2 个有序正整数对；个有序正整数对； x5 时，时，y1，共构成，共构成 1 个有序正
11、整数对个有序正整数对 根据分类加法计数原理得，根据分类加法计数原理得， 共有共有 N5432115(个个)有序正整数对有序正整数对 探究二探究二 分步乘法计数原理分步乘法计数原理 典例典例 2 (2016 年高考全国甲卷年高考全国甲卷)如图，小明从街道的如图，小明从街道的 E 处出发，先到处出发，先到 F 处与小红会处与小红会 合，再一起到位于合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的 最短路径条数为最短路径条数为( ) A24 B18 C12 D9 解析解析 EF 有有 6 种走法，种走法，FG 有有 3
12、 种走法，由分布乘法计数原理知，共有种走法，由分布乘法计数原理知，共有 63 18 种走法，故选种走法，故选 B. 答案：答案：B 利用分步乘法计数原理解决问题的注意事项：利用分步乘法计数原理解决问题的注意事项： (1)仔细审题，抓住关键点确立分步标准，有特殊要求的先行安排仔细审题，抓住关键点确立分步标准，有特殊要求的先行安排 (2)分步要保证各步之间的连续性和相对独立性分步要保证各步之间的连续性和相对独立性 2春节期间，某电视台开展了春节期间，某电视台开展了“替你为父母送东西替你为父母送东西”的活动，在外地打工的小王要的活动，在外地打工的小王要 给家在给家在农村的父母买一台冰箱和一台洗衣机，
13、 现有农村的父母买一台冰箱和一台洗衣机， 现有 5 种型号的冰箱和种型号的冰箱和 3 种型号的洗衣种型号的洗衣 机，那么小王共有多少种购买方案？机，那么小王共有多少种购买方案？ 解析：解析：小王可分两步完成：小王可分两步完成： 第一步，购买一台冰箱，有第一步，购买一台冰箱，有 5 种方法；种方法； 第二步，购买一台洗衣机，有第二步，购买一台洗衣机，有 3 种方法种方法 因此共有因此共有 5315 种不同的购买方案种不同的购买方案 探究三探究三 两个原理的综合应用两个原理的综合应用 典例典例 3 某外语组有某外语组有 9 人，每人至少会英语和日语中的一门，其中人，每人至少会英语和日语中的一门，其
14、中 7 人会英语，人会英语，3 人会日语，从中选出会英语和会日语的各一人，有多少种不同的选法？人会日语，从中选出会英语和会日语的各一人，有多少种不同的选法？ 解析解析 依题意得既会英语又会日语的有依题意得既会英语又会日语的有 7391(人人)，则，则 6 人只会英语，人只会英语，2 人只人只 会日语会日语 (1)1 人人既会英语又会日语选去说英语，说日语的有既会英语又会日语选去说英语，说日语的有 2 种方法；种方法； (2)1 人既会英语又会日语选去说日语，选说英语的有人既会英语又会日语选去说日语，选说英语的有 6 种方法；种方法； (3)1 人既会英语又会日语不被选中， 选说英语的有人既会英
15、语又会日语不被选中， 选说英语的有 6 种方法， 选说日语的有种方法， 选说日语的有 2 种方法，种方法， 故有故有 12 种方法种方法 综上共有综上共有 20 种方法种方法 求解较复杂的计数问题：求解较复杂的计数问题： (1)对于较复杂的问题，可以在分类方法中分步进行，或者在每步中进行分类对于较复杂的问题，可以在分类方法中分步进行，或者在每步中进行分类 (2)对于一些比较复杂的既要运用分类计数原理又要运用分步计数原理的问题，我们对于一些比较复杂的既要运用分类计数原理又要运用分步计数原理的问题，我们 可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观
16、、清晰清晰 (3)涉及涉及“多面手多面手”的题型，关键是分清的题型，关键是分清“多面手多面手”可以可以“干什么活干什么活” 3有一项活动，需在有一项活动，需在 3 名老师、名老师、8 名男同学和名男同学和 5 名女同学中选部分人员参加名女同学中选部分人员参加 (1)若只需一人参加，有多少种不同的选法？若只需一人参加，有多少种不同的选法？ (2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？ (3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同的选法？若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同的选法？ 解析：解析：(1)有三类：有三类：3
17、 名老师中选一人，有名老师中选一人，有 3 种方法；种方法；8 名男同学中选一人，有名男同学中选一人，有 8 种方种方 法；法；5 名女同学中选一人，有名女同学中选一人，有 5 种方法种方法 由分类加法计数原理知，有由分类加法计数原理知，有 38516 种选法种选法 (2)分三步：第分三步：第 1 步选老师，有步选老师，有 3 种方法；第种方法；第 2 步选男同学，有步选男同学，有 8 种方法；第种方法；第 3 步选步选 女同学，有女同学，有 5 种方法种方法 由分步乘法计数原理知，共有由分步乘法计数原理知，共有 385120 种选法种选法 (3)可分两类，每一类又分两步可分两类，每一类又分两
18、步 第第 1 类，选一名老师再选一名男同学，有类，选一名老师再选一名男同学，有 3824 种选法；种选法； 第第 2 类，选一名老师再选一名女同学，共有类，选一名老师再选一名女同学，共有 3515 种选法种选法 由分类加法计数原理知，共有由分类加法计数原理知，共有 241539 种选法种选法 分类讨论思想解决排数问题分类讨论思想解决排数问题 典例典例 用用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少可以组成多少个无重复数字且比个无重复数字且比 2 015 大的四位偶数？大的四位偶数？ 解析解析 解法一解法一 按末位是按末位是 0,2,4 分为三类：分为三类： 第一类，末位是第一类，末位是 0 的有的
19、有 44348 个；个； 第二类，末位是第二类，末位是 2 的有的有 34336 个；个； 第三类，末位是第三类，末位是 4 的有的有 34336 个个 其中其中 2 014 不合题意，应去除，不合题意，应去除， 由分类加法计数原理，得由分类加法计数原理，得 N4836361119 个个 解法二解法二 按千位是按千位是 2,3,4,5 分四类：分四类： 第一类，千位是第一类，千位是 2 的有的有 24324 个，个， 其中其中 2 014 不合题意，应去除；不合题意，应去除； 第二类，千位是第二类，千位是 3 的有的有 34336 个；个； 第三类，千位是第三类，千位是 4 的有的有 2432
20、4 个；个； 第四类，千位是第四类，千位是 5 的有的有 34336 个个 由分类加法计数原理，得由分类加法计数原理，得 N243624361119 个个 感悟提高感悟提高 (1)解答本题利用了分类讨论思想，解法一是按个位数去讨论，解法二按解答本题利用了分类讨论思想，解法一是按个位数去讨论，解法二按 千位数去讨论，在讨论时要做到不重不漏千位数去讨论，在讨论时要做到不重不漏 (2)分类讨论思想是解决这类题经常用到的方法，在学习下一节排列与组合时，还经分类讨论思想是解决这类题经常用到的方法，在学习下一节排列与组合时，还经 常用到常用到. 随堂训练随堂训练 1某班有某班有 28 名男生，名男生，22
21、 名女生，从中选一名同学任数学课代表，则不同的选法种名女生，从中选一名同学任数学课代表，则不同的选法种 数为数为( ) A50 B26 C24 D616 解析：解析：共有共有 282250 种种 答案：答案：A 2现有现有 4 件不同款式的上衣和件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成 一套，则不同的配法种数为一套，则不同的配法种数为 ( ) A7 B12 C64 D81 解析：解析：要完成配套，分两步：第要完成配套，分两步：第 1 步，选上衣，从步，选上衣，从 4 件上衣中任选一件，有件上衣中任选一件，有 4 种不同种不
22、同 选法；第选法；第 2 步，选长裤，从步，选长裤，从 3 条长裤中任选一条，有条长裤中任选一条，有 3 种不同选法故共有种不同选法故共有 43 12 种不同的配法种不同的配法 答案：答案：B 3已知集合已知集合 M1，2,3，N4,5,6,7，从两个集合中各取一个元素作为点的，从两个集合中各取一个元素作为点的 坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( ) A18 B17 C16 D10 解析：解析：分两类：第分两类：第 1 类，类，M 中的元素作横坐标，中的元素作横坐标，N 中的元素作纵坐标，则
23、有中的元素作纵坐标，则有 339 个在第一、二象限内的点；第个在第一、二象限内的点；第 2 类，类，N 中的元素作横坐标，中的元素作横坐标，M 中的元素作纵坐标，中的元素作纵坐标， 则有则有 428 个在第一、二象限内的点由分类加法计数原理，共有个在第一、二象限内的点由分类加法计数原理，共有 9817 个点个点 在第一、二象限内在第一、二象限内 答案：答案：B 4一学习小组有一学习小组有 4 名男生，名男生，3 名女生，任选一名学生当数学课代表，共有名女生，任选一名学生当数学课代表，共有_ 种不同选法；若选男女生各一名当组长，共有种不同选法；若选男女生各一名当组长，共有_种不同选法种不同选法
24、解析：解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有 4 种选法；另一类是种选法；另一类是 从女生中选，有从女生中选，有 3 种选法根据分类加法计数原理，共有种选法根据分类加法计数原理，共有 437 种不同选法种不同选法 若选男女生各一名当组长，需分两步：第若选男女生各一名当组长，需分两步：第 1 步，从男生中选一名，有步，从男生中选一名，有 4 种选法；第种选法；第 2 步，从女生中选一名，有步，从女生中选一名，有 3 种选法根据分步乘法计数原理，共有种选法根据分步乘法计数原理，共有 4312 种不同种不同 选法选法 答案：答案：7 12 课时作业
