1、 【课标要求】 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用 组合数公式进行计算. 3.会解决一些简单的组合问题. 自主学习自主学习 基础认识基础认识 1组合的定义 从 n 个不同元素中取出 m(nm)个元素合成一组，叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的一个组合 2组合数的概念、公式、性质 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的 个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 表示法 Cm n 乘积式 Cm nA m n Am m nn1n2nm1 m！ 组合数 公式 阶乘式 Cm n
2、 n！ m！nm！ 性质 Cm nC nm n ，Cm n1C m nC m1 n 备注 n，mN*且 mn，规定：C0 n1 |自我尝试自我尝试| 1 判断下列命题是否正确 (正确的打“”， 错误的打“”) (1)从 a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合， 所有组合的个数为 C2 3.( ) (2)从 1,3,5,7 中任取两个数相乘可得 C2 4个积( ) (3)C3 554360.( ) (4)C2 014 2 015C 1 2 0152 015.( ) 2下面几个问题中属于组合问题的是( ) 由 1,2,3,4 构成的双元素集合；5 个队进行单循环足球比赛 的分组情况
3、；由 1,2,3 构成两位数的方法；由 1,2,3 组成无重复 数字的两位数的方法 A B C D 解析：取出元素与顺序无关，取出元素与顺序有关 答案：C 3方程 Cx 28C 3x8 28 的解为( ) A4 或 9 B4 C9 D其他 解析：当 x3x8 时，解得 x4；当 28x3x8 时，解得 x9. 答案：A 4将 2 名女教师，4 名男教师分成 2 个小组，分别安排到甲、 乙两所学校轮岗支教，每个小组由 1 名女教师和 2 名男教师组成， 则不同的安排方案共有( ) A24 种 B12 种 C10 种 D9 种 解析：第一步，为甲地选 1 名女老师，有 C1 22 种选法；第二 步
4、，为甲地选 2 名男教师，有 C2 46 种选法；第三步，剩下的 3 名 教师到乙地，故不同的安排方案共有 26112(种)，故选 B. 答案：B 57 个朋友聚会，每两人握手 1 次，共握手_次 解析：组合问题，共握手 C2 721 次 答案：21 课堂探究 互动讲练 类型一 组合的有关概念 例 1 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)10 人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手 多少次？ (2)10 名同学分成人数相同的两个学习小组， 共有多少种分法？ (3)从 1,2,3，9 九个数字中任取 3 个，然后把这三个数字相 加得到一个和，这样的和共有多少个？ (4)从 a，
5、b，c，d 四名学生中选 2 名，去完成同一件工作，有 多少种不同的选法？ 【解析】 (1)两人之间相互握手， 与顺序无关， 故是组合问题； (2)分成的两个学习小组没有顺序，是组合问题； (3)取出 3 个数字之后，无论怎样改变这三个数字之间的顺序， 其和均不变， 此问题只与取出元素有关， 而与元素的安排顺序无关， 是组合问题； (4)2 名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题. 方法归纳 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志 是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写 出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新 的变化，若有新变化，
6、即说明有顺序，是排列问题；若无新变化， 即说明无顺序，是组合问题. 跟踪训练 1 判断下列各事件是排列问题，还是组合问题 (1)10 个人相互各写一封信，共写多少封信？ (2)10 个人相互通一次电话，共通了多少次电话？ (3)10 支球队进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可 能？ (4)从 10 个人中选 3 个代表去开会，有多少种选法？ (5)从 10 个人里选出 3 个不同学科的代表，有多少种选法？ 解析：(1)是排列问题因为发信人与收信人是有区别的 (2)是组合问题因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了 一次电话，没有顺序的区别 (3)是排列问题因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队
7、得亚军、 乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的 (4)是组合问题因为 3 个代表之间没有顺序的区别 (5)是排列问题因为 3 个人中，担任哪一科的代表是有顺序区 别的. 类型二 写出问题的组合 例 2 (1)已知 a，b，c，d 这 4 个元素，写出每次取出 2 个元 素的所有组合； (2)已知 A，B，C，D，E 这 5 个元素，写出每次取出 3 个元素 的所有组合 【解析】 方法一(顺序后移法)： (1)可按 abcd 顺序写出，如图由此可以写出所有的组 合：ab，ac，ad，bc，bd，cd. (2)可按 ABACADBCBDCD 顺序写出，如图 由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，
8、ABE，ACD，ACE， ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. 方法二(树形图法)： (1)画出树形图，如图所示 由此可以写出所有的组合：ab，ac，ad，bc，bd，cd. (2)画出树形图，如图所示 由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE， ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. 方法归纳 (1)此类列举所有从 n 个不同元素中选出 m 个元素的组合，可 借助本例所示的“顺序后移法”(如方法一)或“树形图法”(如方 法二)，直观地写出组合做到不重复不遗漏 (2)由于组合与顺序无关 故利用“顺序后移法”时箭头向后逐 步推进，且写出的一个组合不可交换位置如写出 a
9、b 后，不必再 交换位置为 ba，因为它们是同一组合画“树形图”时，应注意顶 层及下枝的排列思路防止重复或遗漏. 跟踪训练 2 从 5 个不同元素 a，b，c，d，e 中取出 2 个，共 有多少种不同的组合？ 解析：要想列出所有组合，先将元素按照一定顺序排好，然后 按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标出来如图所示 由此可得所有的组合： ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，故共有 10 种. 类型三 有关组合数的计算 例 3 计算：(1)C3 4C 3 5C 3 6C 3 10； (2)(C98 100C 97 100) A 3 101. 【解析】 (1)C3 4C 3
10、5C 3 6C 3 10 C4 4C 3 4C 3 5C 3 10C 4 4C 4 5C 3 5C 3 6C 3 101 C4 111329. (2)(C98 100C 97 100) A 3 101(C 2 100C 3 100) A 3 101 C3 101 A 3 1011 6. 方法归纳 组合数公式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算 具体的组合数时会用到组合数公式的主要作用有： (1)计算 m，n 较大时的组合数； (2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明 特别地，当 mn 2时计算 C m n，用性质 C m nC nm n 转化，减少计算 量. 跟踪训练 3 计算：(1
11、)C2 12_； (2)C38 n 3n C3n 21n_. 解析：(1)C2 121211 21 66. (2)由 038n3n 03n21n ，即 19 2 n38 0n21 2 ， 19 2 n21 2 ，又 nN*，n10， C38 n 3n C3n 21nC 28 30C 30 31C 2 30C 1 313029 2 31466. 答案：(1)66 (2)466 |素养提升素养提升| 1组合数公式的两种形式的适用范围 形式 适用范围 乘积式 含具体数字的组合数的求值 阶乘式 含字母的组合数的有关变形及证明 2.组合数的两个性质及其关注点 性质 1：Cm nC nm n . 它反映了
12、组合数的对称性若 mn 2，通常不直接计算 C m n，而 改为计算 Cn m n ，这样可以减少计算量 性质 2：Cm n1C m nC m1 n . 特点是左端下标为 n1，右端下标都为 n，相差 1；左端的上 标与右端上标的一个一样，右端的另一个上标比它们少 1. 要注意性质 Cm n1C m nC m1 n 的顺用、逆用、变形用顺用是将 一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形式 Cm 1 n Cm n1 Cm n的使用，为某些项相互抵消提供了方便，在解题中要注意灵活 运用 易错警示： 在进行有关组合数的计算时要注意对公式 Cm nC nm n 的选择和应用 |巩固提升巩固提升|
13、 1下列问题 (1)从 1,3,5,9 中任取两个数相加，所得不同的和； (2)从 1,3,5,9 中任取两个数相除，所得不同的商； (3)从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动 其中是组合问题的有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 解析：(1)取出的元素与顺序无关，是组合问题，(2)(3)与顺序 有关，是排列问题，故选 B. 答案：B 2方程 Cx 14C 2x4 14 的解为( ) A4 B14 C4 或 6 D14 或 2 解析：由题意知 x2x4 2x414 x14 或 x142x4 2x414 x14 ， 解得 x4 或 6.故选 C. 答案：C 3某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参加展览，至 少有一名女生入选的不同选法有 16 种，则该小组中的女生人数为 _ 解析：设男生人数为 x， 则女生人数为 6x. 依题意得 C3 6C 3 x16， 即 x(x1)(x2)166654. 所以 x(x1)(x2)234， 所以 x4， 所以女生有 2 人 答案：2
