1、 - 1 - 修远中学 2017-2018 学年度第二学期期中阶段测试 高一数学试题 一、填空题 1.计算： ?240sin 2.若向量 (1,2)AB? ， (3,4)BC? ，则 AC? 3.已知 3cos 5? ， ,2?， 12sin 13? ， ? 是第三象限角，则 ? ?cos ? 的值是 4.函数 23 sin 2 cos2y x x?的最小正周期为 . 5.在 ABC中， ?60,3,2 ? BBCAB ，则 ?AC 6.等差数列 na 的前 n 项和 nS ，若 132, 12aS?，则 6a? 7.在 ABC中， BAC=120? ,AB=2, AC=1 , D是 BC边的
2、中点，则 BCAD? = 8.设 sin 2 sin? , ( , )2? ,则 tan2? 的值是 . 9.已知等差数列 ?na 满足： 128, 6aa? ?若将 1 4 5,a a a 都加上同一个数 m ，所得的三个数依此成等比数列，则 m 的值为 10.平行于直线 2 1 0xy? ? ? 且与圆 225xy?相切的直线的方程是 11.数列 ?na 的通项 2sin ?nnan ?,前 n 项和为 nS ,则 ?13S _. 12.在 ABC 中，已知 60A ? ， 3,1 ? ?ABCSb ， 则 sin sin sinabcA B C?= 13.已知直线 20ax y? ? ?
3、 与圆心为 C 的圆 ? ? ? ?2214x y a? ? ? ?相交于 ,AB两点，且ABC 为等边三角形，则实数 a? . 14.已知等腰三角形一腰上的中线长为 32 ，则该三角形面积的最大值为 二、解答题 - 2 - 15.已知 1tan42? ? ? ?，试求 式子 2sin 2 2cos1 tan? 的值 16.设函数( ) si n si n( )3f x x x ? ? ?. ( )求()fx的最小值 ,并求使 取得最小值的x的集合 ; ( )不画图 ,说 明函数()y f x?的图像可由sinyx?的图象经过怎样的 变化得到 . - 3 - 17.已 知向量 ? ?33c o
4、 s , s i n , c o s , s i n , 3 , 12 2 2 2x x x xa b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。其中 xR? (1)当 ab? 时，求 x 的值的集合； （ 2）求 ac? 的最大值 . 18.如图所示，已知半圆的直径 AB=2，点 C 在 AB 的延长线上， BC=1，点 P 为半圆上的一个动点，以 DC 为边作等边 PCD，且点 D 与圆心 O 分别在 PC 的两侧，求四边形 OPDC 面积的最大值 . - 4 - 19.在 等差数列 ?na 中 ， 127?aa ， 3 8?a 令11=nnnb aa?，数列 ?nb 的前
5、 n项和为 nT . （）求数列 ?na 的通项公式和 nT ； （） 是否存在正整数 m， n （ 1?mn） ,使得 1T ， mT ， nT 成等比数列？若存在，求出所有的 m， n 的值；若不存在，请说明理由 . 20.如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 22: 1 2 1 4 6 0 0M x y x y? ? ? ? ?及其上一点 ? ?2,4A . （ 1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切， 且圆心 N 在直线 6x? 上，求圆 N 的标准方程； （ 2）设平行于 OA的直线与圆 M 相交于 ,BC两点，且 BC OA? ，求直线的方程； -
6、5 - （ 3）设点 ? ?,0Tt 满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q ，使得 TA TP TQ?，求实数的取值范围 xyMAO- 6 - 修远中学 2017-2018学年度第二学期期中阶段测试 高一数学试题参考答案 一、填空题 1.计算： ?240sin 23? 2.若向量 (1,2)AB? ， (3,4)BC? ，则 AC? ? ?64， 3.已知 3cos 5? ， ,2?， 12sin 13? ， ? 是第三象限角，则 ? ?cos ? 的值是 6533? 4.函数 23 sin 2 cos2y x x?的最小正周期为 ? . 5.在 ABC中， ?60,3,2 ? BBCAB
7、，则 ?AC 7 6.等差数列 na 的前 n 项和 nS ，若 132, 12aS?，则 6a? 12 7.在 ABC中， BAC=120? ,AB=2, AC=1 , D 是 BC 边的中点， 则 BCAD? = 23? 8.设 sin 2 sin? , ( , )2? ,则 tan2? 的值是 _. 3 9.已知等差数列 ?na 满足： 128, 6aa? ?若将 1 4 5,a a a 都加上同一个数 m ，所得的三个数依此成等比数列，则 m 的值为 10. 平行于 直线 2 1 0xy? ? ? 且与圆 225xy?相 切 的 直 线 的 方 程 是 052052 ? yxyx 或
8、11.数列 ?na 的通项 2sin ?nnan ?,前 n 项和为 nS ,则 ?13S _.7 12. 在 ABC 中 ， 已 知 60A ? ， 3,1 ? ?ABCSb ，则s i n s i n s i nabcA B C?= 3392 - 7 - 13.已知直线 20ax y? ? ? 与圆心为 C 的圆 ? ? ? ?2214x y a? ? ? ?相交于 ,AB两点，且ABC 为等边三角形，则实数 a? _. 154? 14.已知等腰 三角形一腰上的中线长为 32 ，则 该三角形面积的最大值为 8 二、解答题 15.已知 1tan42? ? ? ?，试求式子 2sin 2 2c
9、os1 tan? 的值 15. 31? ? 14分 16.设函数( ) si n si n( )3f x x x ? ? ?. () 求()fx的最小值 ,并求使 取得最小值的x的集合 ; () 不画图 ,说 明函数()y f x?的图像可由sinyx?的图象经过怎样的变化得到 . 16. （ 1） 3? ，? ? Zkkxx ,234| ? 8分 （ 2） xy sin? 向左平移 6? 个单位，横坐标不变，纵坐标变为原来的 3 倍。? 14分 17.已知 向量 ? ?33c o s , s i n , c o s , s i n , 3 , 12 2 2 2x x x xa b c? ?
10、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。其中 xR? (1)当 ab? 时，求 x 的值的集合； （ 2）求 ac? 的最大值 . - 8 - 17.（ 1）? ? Zkkxx ,24| ? 7分 （ 2） 3? ? 14分 18.如图所示，已知半圆的直径 AB=2，点 C 在 AB 的延长线上， BC=1，点 P 为半圆上的一个动点，以 DC 为 边作等边 PCD ，且点 D 与圆心 O 分别在 PC 的两侧，求四边形 OPDC 面积的最大值 . 解 设 POB= ，四边形面积为 y， 则在 POC 中，由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OPOCcos =5-4cos .? 4
11、分 y=S OPC +SPCD =12 12sin + 34 (5-4cos )=2sin( -3 )+534 .? 9 分 当 -3 =2 ，即 =56 时， ymax=2+534 .? 14分 所以四边形 OPDC面积 的最大值为 2+534 .? 16分 19.在 等差数列 ?na 中 ， 127?aa ， 3 8?a 令11=nnnb aa?，数列 ?nb 的前 n项和为 nT . （）求数列 ?na 的通项公式 和 nT ； （） 是否存在正整数 m， n （ 1?mn） ,使得 1T ， mT ， nT 成等比数列？若存在， 求出所有的 m， n 的值；若不存在，请说明理由 . 1
12、9. 解：（）设数列 na 的公差为 d ，由 12378aaa ? ?得 111728aadad? ? ? ?解得 1 2a? ， 3d? 2 3( 1) 3 1na n n? ? ? ? ? -3分 - 9 - 11 1 1 1 1 1()( 3 1 ) 3 ( 1 ) 1 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 3 3 1 3 2nnnb a a n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12nnT b b b? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )3 2 5 3 5 8 3 3 1 3 2nn? ? ? ? ? ? ? 1 1 1()3
13、2 3 2n? 2(3 2)nn? ?-7分 （）由（ ）知，1 110T?，2(3 2)m mT m? ?，2(3 2)n nT n? ?假设存在正整数 m 、 n (1 )mn? ，使得 1T 、 mT 、 nT 成等比数列， 则 2 1mnT T T? ， 即 2 12 (3 2 ) 1 0 2 (3 2 )mn?-9分 经化简，得 22(3 2) 5(3 2)mn? 2 2 2(3 2 ) 1 5 1 0m n m n m? ? ? 22( 3 6 2 ) 5m m n m? ? ? ? （ *） -11分 当 2m? 时，（ *）式 可化为 2 20n? ，所以 10n? -13分
14、当 3m? 时 ， 223 6 2 3 ( 1 ) 5 7 0m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又 250m? ，（ *）式可化为 225 03 6 2mn mm? ? ?，所以此时 n 无正整数解 . 综上可知，存在满足条件的正整数 m 、 n ，此时 2m? ， 10n? .-16分 20.如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 - 10 - 22: 1 2 1 4 6 0 0M x y x y? ? ? ? ?及其上一点 ? ?2,4A . （ 1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 6x? 上，求圆 N 的标准方程； （
15、 2）设平行于 OA的直线与圆 M 相交于 ,BC两点，且 BC OA? ，求直线的方程； （ 3）设点 ? ?,0Tt 满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q ，使得 TA TP TQ?，求实数的取值范围 【解析】 因为 N 在直线 6x? 上，设 ? ?6,Nn，因为与 x 轴相切， 则圆 N 为 ? ? ? ?22 26x y n n? ? ? ?， 0n? 又圆 N 与圆 M 外切，圆 M ： ? ? ? ?226 7 25xx? ? ? ?， 则 75nn? ? ? ，解得 1n? ，即圆 N 的标准方程为 ? ? ? ?226 1 1xy? ? ? ?；-4分 由题意得 25OA?
16、 ， 2OAk ? 设 :2l y x b?，则圆心 M 到直线 l 的距离212 7 5 521bbd ? ? ? , 则 ? ? 222 52 5 2 2 55 bB C d ? ? ? ?， 25BC? ，即 ? ?252 25 2 55b?， 解得 5b? 或 15b? ，即 l ： 25yx?或 2 15yx?； -8分 TA TP TQ?，即 TA TQ TP PQ? ? ? ，即 TA PQ? ， ? ?2 224TA t? ? ?， 又 10PQ , 即 ? ?2 22 4 10t ? ，解得 2 2 21, 2 2 21t ? ? ?， -11分 对于任意 2 2 21, 2 2 21t ? ? ?，欲使 TA PQ? ，
