1、 理科数学-第 1 页 绝密启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 5 页，23 题（含选考题） 全卷满分 150 分考试用时 120 分钟 祝考试顺利祝考试顺利 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无 效 3考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1
2、已知集合 ,),(xyNyxyxA ，8),(yxyxB，则BA中元素的个数为 A2 B3 C4 D6 2复数 i 31 1 的虚部是 A 10 3 B 10 1 C 10 1 D 10 3 3在一组样本数据中，1,2,3,4 出现的频率分别为 4321 ,pppp ，且, 1 4 1 i i p则下面四种情形中，对 应样本的标准差最大的一组是 A4 . 0, 1 . 0 3241 pppp B1 . 0, 4 . 0 3241 pppp C3 . 0, 2 . 0 3241 pppp D2 . 0, 3 . 0 3241 pppp 4Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领
3、域有学者根据公布数据建立了某地区 新冠肺炎累计确诊病例数 )(tI （t的单位：天）的Logistic模型： )53(23. 0 1 )( t e K tI ，其中K为最大确 诊病例数当KtI95. 0)( 时，标志着已初步遏制疫情，则 t约为 ) 3 . 319(ln A60 B63 C66 D69 理科数学-第 2 页 5设O为坐标原点，直线 2x与抛物线)0(2: 2 ppxyC交于ED,两点，若DEOD ，则C的 焦点坐标为 A)0 , 4 1 ( B)0 , 2 1 ( C)0 , 1 ( D)0 , 2( 6已知向量 ba, 满足 , 6, 6, 5baba 则 baa,cos A
4、 35 13 B 35 19 C 35 17 D 35 19 7在ABC中， 2 cos 3 C ，4AC ，3BC ,则cosB A 1 9 B 1 3 C 1 2 D 2 3 8右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 2 2 2 A6 4 2+ B4 4 2+ C6 2 3+ D4 2 3+ 9已知2tan tan7 4 ，则tan A2 B1 C1 D2 10若直线l与曲线yx和圆 22 1 5 xy都相切，则直线l的方程为（ ） A 21yx B 1 2 2 yx C 1 1 2 yx D 11 22 yx 11设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右焦点
5、分别为 1 F， 2 F，离心率为 5，P是C上一点， 且 12 FPF P ，若 12 PFF 的面积为4，则a （ ） A 1 B2 C4 D8 12已知 45 85 ， 54 813 ，设3log5a，5log8b，8log13c，则 Acba Bcab Cacb Dbac 理科数学-第 3 页 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若x，y满足约束条件 1 02 0 x yx yx ，则yxz23 的最大值为_ 14 62 ) 2 ( x x的展开式中常数项是_（用数字作答） 15已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_ 16关
6、于函数 x xxf sin 1 sin)(有如下四个命题： )(xf的图像关于y轴对称 )(xf的图像关于原点对称 )(xf的图像关于直线 2 x对称 )(xf的最小值为 2 其中所有真命题的序号是_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必选题，每个 试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （12 分） 设数列 n a 满足 3 1 a ， naa nn 43 1 （1）计算 32,a a ，猜想 n a 的通项公式并加以证明； （2）求数列 n na 2的前n项和 n S 18 （12 分）
7、 某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整 理数据得到下表（单位：天） ： 空气质量等级 锻炼人次 0,200 (200,400 (400,600 1 （优） 2 16 25 2 （良） 5 10 12 3 （轻度污染） 6 7 8 理科数学-第 4 页 4 （申度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） ； （3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4， 则称
8、这天“空气质量不好” 根据所给数据， 完成下面的22列联表， 并根据列联表， 判断是否有 95 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次400 人次400 空气质量好 空气质量不好 附： )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K 19 （12 分） 如图，在长方体 1111 DCBAABCD中，点FE,分别在棱 1 DD, 1 BB上，且 2DE= 1 ED, 1 2FBBF （1）证明：点 1 C在平面AEF内； （2）若3, 1, 2 1 AAADAB 求二面角 1 AEFA 的正弦值 A BC D A1 B1 C1 D1 20.（12 分）
9、已知椭圆1 25 : 2 22 m yx C（50 m）的离心率为 4 15 ，BA,分别为C的左、右顶点 （1）求C的方程； （2）若点P在C上，点Q在直线6x上，且BQBP ， BQBP ，求 APQ 的面积 理科数学-第 5 页 21（12 分） 设函数 3 f xxbxc，曲线 yf x在点 11 , 22 f 处的切线与y轴垂直 （1）求b； （2）若 f x有一个绝对值不大于 1 的零点，证明： f x所有零点的绝对值都不大于 1 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计 分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 2 2 23 xtt ytt （t为参数且1t ），C与坐标轴交 于A，B两点 （1）求AB； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 设a，b，cR，0abc，1abc （1）证明：0abbcca； （2）用 max, ,a b c表示a，b，c的最大值，证明： 3 max, ,4a b c
