1、第第六六章章 数据的代表数据的代表 2.中位数与众数中位数与众数北师大版数学八年级上册北师大版数学八年级上册知识目标：知识目标：1理解中位数和众数的含义。理解中位数和众数的含义。2掌握中位数和众数的计算方法掌握中位数和众数的计算方法能力目标：能力目标：会确定一组较简会确定一组较简 单数据的中位数和众数，培养学生单数据的中位数和众数，培养学生独立思考独立思考 勇于创新，小组协作能力勇于创新，小组协作能力情感目标：通过各中真实、贴近生活的素材和问情感目标：通过各中真实、贴近生活的素材和问题情景题情景 激发学生学习数学的热情和兴趣。激发学生学习数学的热情和兴趣。体验事物体验事物 的多面性和学会全面分
2、析事物的必的多面性和学会全面分析事物的必要性。在要性。在 合作学习中，学会交流，合作学习中，学会交流，相互评价，相互评价，提高合提高合 作意识能力。作意识能力。教学目标教学目标重点：重点：掌握中位数、众数的数据代表的概念掌握中位数、众数的数据代表的概念难点：难点：选择恰当的数据代表对数据作出判断选择恰当的数据代表对数据作出判断 经理：经理：我公司员工收入很高，月平均工资为我公司员工收入很高，月平均工资为2000元元工会主席工会主席：我的工资：我的工资1200元，在公司算中等收入元，在公司算中等收入 职员职员：我们好几个人的工资都是：我们好几个人的工资都是1100元。元。创设情景，提出问创设情景
3、，提出问题题工会主席工会主席中位数定义：中位数定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或最中间两个数据的平均数位置的一个数据或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。叫做这组数据的中位数。员工员工月工资月工资/元元经理经理副经副经 理理职员职员A职员职员B职员职员F职员职员E职员职员D职员职员C杂工杂工6000 4000 17001300 1200 110011001100500众数的定义众数的定义：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。众数。如上表中的如上表中的1200如上
4、表中的如上表中的1100中位数中位数众数众数注意注意1 1:2.2.众数是一组数据中出现次数最多的数据，是一组众数是一组数据中出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数数据中的原数据，而不是相应的次数 1.1.求中位数要将一组数据按大小顺序，而不必计算，求中位数要将一组数据按大小顺序，而不必计算，顾名思义，中位数就是位置处于最中间的一个数或顾名思义，中位数就是位置处于最中间的一个数或最中间的两个数的平均数，排序时，从小到大或从最中间的两个数的平均数，排序时，从小到大或从大到小都可以大到小都可以 数数 据据中位数中位数众数众数15，20，20，22，35，15，20，20，22，
5、35，38 15，20，20，22，35，35 3，0，-1，5，5，-3，14 练习完善建构练习完善建构1.1.如何求一组如何求一组数据的中位数？数据的中位数？2.2.众数是否惟众数是否惟 一？一？202121-3，-1，0，3，5，5，143202020和和355注意注意2 2：1.1.一组数据中的众数有时不只一个，一组数据中的众数有时不只一个，如数据如数据2 2、3 3、1 1、2 2、1 1、3 3中，中，2 2和和3 3都出现了都出现了2 2次，它们都是这组数据的众数。次，它们都是这组数据的众数。2 2当数据个数为当数据个数为奇数奇数时，中位数是这组数据中的一时，中位数是这组数据中的
6、一 个数据；但当数据个数为个数据；但当数据个数为偶数偶数时，其中位数是最中时，其中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某个数据相等个数据相等.例例1 1 在一次中学生田径运动会上，参加在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的男子跳高的1717名运发动的成绩如下表所示：名运发动的成绩如下表所示：成绩米成绩米1.501.601.651.701.751.801.851.90人数人数23234111 分别求这些运发动成绩的众数，中位数与分别求这些运发动成绩的众数，中位数与平均数计算结果保存到小数点后第平均数计算结果保存到小数点后第2 2位。位
7、。例例2 102 10名工人某天生产同一零件，生产的件名工人某天生产同一零件，生产的件数是：数是：15151717141410 15 19 17 16 14 1210 15 19 17 16 14 12求这一天求这一天1010名工人生产的零件的中位数和众数。名工人生产的零件的中位数和众数。平均数、中位数和众数有何特征：平均数、中位数和众数有何特征：平均数平均数中位数中位数众数众数考虑所有的数据考虑所有的数据便于使用便于使用容易受极值的影响容易受极值的影响是否惟一是否惟一解：把解：把10个数据按大到小排列为：个数据按大到小排列为：19 17 17 16 15 15 14 14 12 10所以这所
8、以这10名工人生产的零件的中位数为名工人生产的零件的中位数为15，众数为众数为17，15，14.知识网络：平均数、众数及中位数都是描述一知识网络：平均数、众数及中位数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，但描述的角度和适用组数据的集中趋势的特征数，但描述的角度和适用范围有所不同。范围有所不同。平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动；其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动；众数着眼于对各数据出现的频数的考察，其大小众数着眼于对各数据出现的频数的考察，其大小只与这组数据中的局部数据有关。当一组数据中有只与
9、这组数据中的局部数据有关。当一组数据中有不少数据屡次重复出现时，其众数往往是我们关心不少数据屡次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量；的一种统计量；中位数那么仅与数据的排列位置有关，某些数据中位数那么仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响。当一组数据中的个的变动对它的中位数没有影响。当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势。别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势。3.3.该厂生产销售了一批女鞋双，其中各种尺码的该厂生产销售了一批女鞋双，其中各种尺码的销售量如下表所示：销售量如下表所示：鞋的尺（鞋的尺（cm)2222.52323.52424.525销
10、售量（双）销售量（双）12511731(1计算计算30双女鞋尺寸的平均数、中位数、众数双女鞋尺寸的平均数、中位数、众数(2(2从实际出发，请答复从实际出发，请答复1 1中三种统计特征量中三种统计特征量 对指导本厂的生产是否有实际意义？对指导本厂的生产是否有实际意义？4.4.某班的教室里，三位同学正在为谁的数学成绩最好某班的教室里，三位同学正在为谁的数学成绩最好 而争论，他们的五次数学成绩分别是：而争论，他们的五次数学成绩分别是：玲玲：6262，9494，9595，9898，98.98.明明：6262，6262，9898，9999，100.100.丽丽：4040，6262，8585，9999，9
11、9.99.他们都认为自己的成绩比另两位同学的好，请你结合他们都认为自己的成绩比另两位同学的好，请你结合各组数据的三个数据代表，谈谈你的观点。各组数据的三个数据代表，谈谈你的观点。1.1.知识小结：这节课我们学习了众数、中位数的概知识小结：这节课我们学习了众数、中位数的概念，了解了它们在描述一组数据集中趋势时的不同念，了解了它们在描述一组数据集中趋势时的不同角度和适用范围角度和适用范围.2.2.方法小结：众数由所给数据可直接求出，一组方法小结：众数由所给数据可直接求出，一组数据中的众数可能不止一个，众数是一组数据中出现的数据中的众数可能不止一个，众数是一组数据中出现的次数最多的数据，而不是该数据
12、出现的次数次数最多的数据，而不是该数据出现的次数.如果有两如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现次数都多，个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数那么这两个数据都是这组数据的众数.求中位数时，首先要先排序从小到大或从大到求中位数时，首先要先排序从小到大或从大到小，然后计算中位数的序号，分数据为奇数个与偶数小，然后计算中位数的序号，分数据为奇数个与偶数个两种来求个两种来求.既找出最中间的一个数据或最中间两个既找出最中间的一个数据或最中间两个数并算出它们的平均数数并算出它们的平均数.第五章第五章 二元一次方程二元一次方程组组 2.求解二元一次方程
13、组求解二元一次方程组北师大版数学八年级上册北师大版数学八年级上册用代入法解二元一次方程组用代入法解二元一次方程组第一课时第一课时回忆与思考 昨天昨天,我们我们8个个人去红山公园玩人去红山公园玩,买门票花了买门票花了34元元.每张成人票每张成人票5元元,每张儿童票每张儿童票3元元.他他们到底去了几个们到底去了几个成人、几个儿童成人、几个儿童呢呢?还记得下面这一问题吗还记得下面这一问题吗?设他们中有设他们中有x个成人，个成人，y个儿童个儿童.我们列出的二元一次方程组为我们列出的二元一次方程组为:8,5334.xyxy我们怎么获得这个二元一次方程组的解呢我们怎么获得这个二元一次方程组的解呢?想想以前
14、学习过的一元一次方程，能不想想以前学习过的一元一次方程，能不能解决这一问题能解决这一问题?8,5334.xyxy解：设去了解：设去了x x个成人，那么个成人，那么去了去了(8(8x)x)个儿童，根据个儿童，根据题意，得：题意，得：.34835xx解得：解得：x=5.=5.将将x=5=5代入代入8 8x=8=85=3.5=3.答：去了答：去了5 5个成人，个成人，3 3个个儿童儿童.用一元一次方程求解用一元一次方程求解用二元一次方程组求解用二元一次方程组求解解：设去了解：设去了x个成人，去了个成人，去了y个儿童，根据题意，得：个儿童，根据题意，得：.3435,8yxyx 观察观察:列二元一次列二
15、元一次方程组和列一元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不方程设未知数有何不同？列出的方程和方同？列出的方程和方程组又有何联系？对程组又有何联系？对你解二元一次方程组你解二元一次方程组有何启示？有何启示？解：设去了解：设去了x个成人，去了个成人，去了y个儿童，根据题意，得：个儿童，根据题意，得：用二元一次方程组求解用二元一次方程组求解yxyx.3435,8由得：由得：y=8=8x.将代入得：将代入得：5x+3(8x)=34.解得：解得：x=5.把把x=5代入得：代入得：y=3.所以原方程组的解为：所以原方程组的解为：.3,5yx例例 解以下方程组：解以下方程组：;3,1423yxyx.134
16、,1632yxyx前面解方程组的方法取个什么名字好前面解方程组的方法取个什么名字好?解方程组的根本思路是什么？解方程组的根本思路是什么？解方程组的主要步骤有哪些？解方程组的主要步骤有哪些？思考思考 解二元一次方程组的根本思路是消元，把解二元一次方程组的根本思路是消元，把“二元变为二元变为“一元一元.前面解方程组是将其中一个方程的某个未知数用含前面解方程组是将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程程.这种解方程
17、组的方法称为这种解方程组的方法称为代入消元法代入消元法，简称，简称代入法代入法.用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是未知数的系数的绝对值是1 1的方程进行变形；假设未知数的方程进行变形；假设未知数的系数的绝对值都不是的系数的绝对值都不是1 1，那么选取系数的绝对值较小的，那么选取系数的绝对值较小的方程变形方程变形.解二元一次方程组的步骤：解二元一次方程组的步骤：第一步：在方程组的两个方程中选择一个适当的第一步：在方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式方程，将它的某个未知数用含有另
18、一个未知数的代数式表示出来表示出来.第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程中，可得一个一元一次方程.第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值的值.第四步：回代求出另一个未知数的值第四步：回代求出另一个未知数的值.第五步：把方程组的解表示出来第五步：把方程组的解表示出来.第六步：检验第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算口算或在草稿纸上进行笔算),),即即把求得的解代入每一个方程看是否成立把求得的解代入每一个方程看是否成立.用加减法解二元一次方程组用加减法解二元一次方程组第二课时
19、第二课时把变形得把变形得1125 xy可以直接代入呀！可以直接代入呀！还可以怎样解还可以怎样解下面的二元一次方下面的二元一次方程组程组?yxyx.1152,2153xy.1125y5.211123xx.2x.3y.3,2yx解：由得解：由得:把把当做整体将代入，得：当做整体将代入，得：解得：解得：把把2x代入，得：代入，得：所以方程组的解为所以方程组的解为yx53 21yx52 11.,yx53 和和y5y5 互为相反数互为相反数相加相加 还能怎样解还能怎样解下面的二元一次下面的二元一次方程组方程组?.105 x.2x.3y.3,2yx解：根据等式的根本性质解：根据等式的根本性质,方程方程+方
20、程得：方程得：解得：解得：把把2x代入，解得：代入，解得：所以方程组的解为所以方程组的解为21yx52 11()()()左边左边右边右边yx52 7yx32 1.,.88y.1y.752x.1x.1,1yx 例例 解以下二元一次方程组解以下二元一次方程组方程、中未知数方程、中未知数x的的系数相等，可以利用两个系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数方程相减消去未知数x.x.解：解：-，得：，得：解得：解得：把把代入，得：代入，得：1y解得：解得：所以方程组的解为所以方程组的解为注意注意:要检验哦要检验哦!yx52 7yx32 1()()()左边左边右边右边 前面这些方程组有什么特点前面这些方程
21、组有什么特点?解这类方程解这类方程组根本思路是什么？主要步骤有哪些？组根本思路是什么？主要步骤有哪些？思考思考特点特点:某一个未知数的系数相同或互为相反数某一个未知数的系数相同或互为相反数根本思路根本思路:加减消元加减消元二元二元一元一元主要步骤主要步骤:加减消元加减消元消去一个未知数消去一个未知数解一元一次方程解一元一次方程 代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解 思考思考例例 解以下二元一次方程组解以下二元一次方程组yxyx.1743,1232 x x、y y的系数既不相同也的系数既不相同也不是相反数，有没有方法用不是相反数，有没有方法用加减消元法
22、呢加减消元法呢?用代入法解用代入法解解：解：3 3，得：，得：6 6x+9+9y=36.=36.2,2,得：得：6 6x+8+8y=34.=34.，得：，得：y=2.=2.将将y=2=2代入，得：代入，得：x=3.=3.所以原方程组的解是所以原方程组的解是.2,3yx(1)(1)加减消元法解二元一次方程组的根本思路是什么？加减消元法解二元一次方程组的根本思路是什么？(2)(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？思考思考(1)(1)用加减消元法解二元一次方程组的根本思路仍然是用加减消元法解二元一次方程组的根本思路仍然是“消元消元.(2)(
23、2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：变形，使某个未知数的系数绝对值相等变形，使某个未知数的系数绝对值相等 加减消元加减消元,得一元一次方程得一元一次方程 解一元一次方程解一元一次方程 代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解注意：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简注意：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分去分母，去括号，合并同类项等母，去括号，合并同类项等).).通常要把每个方程整理成通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式
24、，再作如上加减消元的考虑再作如上加减消元的考虑.请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：x2=，y2=，z2=，w2=11111ABOCDExyzw2345x2=2，幂和指数，求底数x，你能求出来吗？注意!一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为“”，读作“根号 a”特别地，我们规定0的算术平方根是0，即 00 1.口答说出以下各数的算术平方根:0 1 9 6210 (-5)225169101361054315练习254 如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根也叫做二次方根。33-31一个正数有几个平方根？
25、20 有几个平方根？3负数呢？一个正数有两个平方根，它们互为相反数.负数没有平方根.0只有一个平方根，它是0本身.正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根 ；另一个是 ，它们是一对互为相反数，合起来是aa.a求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方根的表示方法：其中a叫做被开方数.开平方与乘方是互为逆运算.例1 求以下各数的平方根：164；;12149)2(3;(4)(-25)2 解：.864.864,64)8(12即的平方根是 0.02.0.0004即0.02.的平方根是0.00040.0004,0.02)(32.2525-.25)25(,625)25(2542222即的平方根是.1171
26、2149.11712149,12149)117(22即的平方根是例2 判断：1 2是4的平方根；2-2是4的平方根；34的平方根是2；44的算术平方根是-2；57的平方根是 ；6-16的平方根是-4.7 7 例3 求满足以下各式的未知数x.(1)x2=9;(2)4x2=9;(3)(x-1)2=25;(4)4(2x-1)2=25.23,492.3,9)1(:2xxxx解.43,47.2512.2542512,425)12()4(.4,6,51.51,2513212212xxxxxxxxxx想一想?)3(?12149?12149)2(?)5(?(5)1(222222等等于于多多少少对对于于负负数数等等于于多多少少对对于于正正数数等等于于多多少少等等于于多多少少等等于于多多少少等等于于多多少少aa，aa，？aaaa子相等子相等在什么情况下这两个式在什么情况下这两个式怎样的区别怎样的区别它们之间有它们之间有和式子和式子式子式子?)0()()4(22 练一练练一练：:.)4.0)(5(;)3)(4(;121)3(;69.1)2(;)31()1(222a为任意实数,那么一定成立的算式是().1)1)(.112)(.)(.)(222222aaDaaaCaaBaaA。并完成相应的动作。若手势不一致，以数字小的为准。
