1、 热点专题 3 阴影部分面积的计算 阴影部分面积的计算问题， 是每年中考的必考内容。 每年的考查基本以选择题或填空题的形 式进行，其中以填空题较常出现，每年所占分值稳定在 3 分。由于是必考内容，且题目变式 类型较多，很有必要对比、归类、以便很好掌握。对阴影部分面积的计算，一般涉及平移、 旋转变换、三角形、特殊四边形和扇形等规则图形。 河南省中考 考试说明要求 掌握常见求阴影部分面积计算的方法，像和差法、等积变换法等。 考向考向 1 和差法和差法 1.（河南省濮阳市县区 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）PA 是O 的切线，切点 为 A，PA2 3，APO30 ，则阴影部分的面
2、积为_ 【答案】 2 2 3 3 【解析】 连接 OA，根据切线性质求出OAP90 ，解直角三角形求出 OA 和AOB，求出OAP 的面积和扇形 AOB 的面积即可求出答案 【详解】 解：连接 OA， PA 是O 的切线， OAP90 ， 2 330PAAPO， AOP60 ，OP2AO， 由勾股定理得： 222 2 32OAOA （） （）， 解得：AO2， 阴影部分的面积为 2 16022 2 2 32 3 23603 OAPOAB SS 扇形 ， 故答案为： 2 2 3 3 【点睛】本题考查的是切线性质，勾股定理，三角形面积和扇形面积，能够根据切线性质， 求出三角形的三边是解题的关键.
3、2.(郑州市一中 2019 年中考三模数学试卷)如图，在ABCD 中，AD=2，AB=4，A=30 ，以 点 A 为圆心，AD 的长为半径画弧交 AB 于点 E，连接 CE，则阴影部分的面积是 （结 果保留 ） 【答案】 1 3 3 【解析】 【详解】过 D 点作 DFAB 于点 F AD=2，AB=4，A=30 ， DF=ADsin30=1，EB=ABAE=2 阴影部分的面积=平行四边形 ABCD 的面积扇形 ADE 面积三角形 CBE 的面积 = 2 30211 4 12 13 36023 . 故答案为： 1 3 3 . 3.（2019 年河南省中原名校中考第三次大联考数学试卷）如图，在菱
4、形 ABCD 中，AB2， BAC30 ，将菱形 ABCD绕点 A逆时针旋转 120 ，点 B的对应点为点 B ，点 C 的对应 点为点 C，点 D的对应点为点 D，则图中阴影部分的面积为_ 【答案】 8 3 . 【解析】 根据扇形面积公式与菱形面积公式进行计算便可由 S阴影=S扇形CAC-S扇形DAD可得答案 【详解】连接 BD，与 AC相交于点 O，如图， 则 BD2BO2ABsinBAC2，AC20A2ABcosBAC2 3， S扇形S扇形CAC+SABC+SACDS菱形ABCDS扇形DAD S扇形CACS菱形ABCDS 菱形ABCDS扇形DAD S扇形CACS扇形DAD 22 120(
5、2 3)12028 3603603 故答案为 8 3 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，解直角三角形，菱形的性质，菱形的面积，旋转 的性质，关键是把阴影部分的面积转化为两个扇形的面积差进行计算 4.（河南省南阳市淅川县 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）如图，RtABC中， 90ACB，ACBC，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平 面直角坐标系中，将ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的点 A 处， 若2AOOB，则图中阴影部分面积为_ 【答案】 4 3 【解析】 根据等腰直角三角形的性质求出 AB， 再根据旋转的性质可得 AB=AB， 然
6、后求出OAB=30 ， 再根据直角三角形两锐角互余求出ABA=60 ，即旋转角为 60 ，再根据 S 阴影=S扇形 ABA+SABC-SABC-S扇形CBC=S扇形ABA-S扇形CBC，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解 详解】解：ACB=90 ，AC=BC， ABC是等腰直角三角形， AB=2OA=2OB=4，BC=2 2， ABC绕点 B顺时针旋转点 A在 A处， BA=AB， BA=2OB， OAB=30 ， ABA=60 ， 即旋转角为 60 ， S阴影=S扇形ABA+SABC-SABC-S扇形CBC， =S扇形ABA-S扇形CBC， = 22 60460(2 2)4 360360
7、3 . 故答案为： 4 3 . 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，含 30 角的直角三角形的 性质，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键 5. （2020 年 1 月河南省郑州市一摸数学试题） 如图， 在 RtABC 中， ACB90 ， A30 ， AC3，分别以点 A，B为圆心，AC，BC 的长为半径画弧，交 AB 于点 D，E，则图中阴 影部分的面积是_ 【答案】 5 12 3 2 【解析】 通过分析可知阴影部分的面积为扇形 ACD 的面积加上扇形 BCE 的面积减去三角形 ABC 的 面积，分别求出扇形 ACD 的面积，扇形 BCE 的面积，三角形
8、 ABC 的面积即可. 【详解】在 RtABC 中，ACB90 ，A30 90903060BA 3 tan31 3 BCACA 3 2 cos3 2 AC AB A S阴影=S扇形ACD+S 扇形BCE-SABC 22 30( 3)6011 3 1 3603602 53 122 故答案为 53 122 【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键. 6.（2019 年河南省实验外国语学校中考数学模拟试卷）如图，在正方形 ABCD 中，AB4， 分别以 B、C 为圆心，AB长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为_ 【答案】 4 4 3 3 【解析】解：如图所示，连接 BG、C
9、G， BG=BC=CG， BGC 是等边三角形， GBCG CB60 ， G CD90 -60 =30 ， BCGCGDBCG SSSS 阴影扇形扇形 , 22 2 30436044 44 3 36043603 S 阴影 . 故答案为 4 4 3 3 . 7.（河南省洛阳市 2019 年中考数学二模试卷）如图，矩形 ABCD中，AB 2，BC1， 将矩形 ABCD绕点 A 旋转得到矩形 ABCD，点 C的运动路径为弧 CC，当点 B落在 CD 上 时，则图中阴影部分的面积为_ 【答案】 3 8 2+ 1 2 【解析】 如图连接 AC，AC，过 B作 BEAB 于 E，于是得到 BEBC1，根据
10、旋转的性质得到 AB AB 2， ACAC3， BCBE21， 根据勾股定理得到 AE= 22 ABB E 1，求得BABCAC45 ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论 【详解】解：如图连接 AC，AC，过 B作 BEAB于 E， 则 BEBC1， 将矩形 ABCD绕点 A旋转得到矩形 ABCD， ABAB 2，ACAC3，BCBE21， AE 22 ABB E 1， BABCAC45 ， 图中阴影部分的面积S扇形CACSABCSABC 453 360 1 2 1 2 1 2 ( 21) 1 3 8 2+ 1 2 ， 故答案为 3 8 2+ 1 2 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性
11、质、扇形的面积计算等知识点，能把不规则图形 的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键 考向考向 2 等积变换法等积变换法 1.（2019 年河南省实验中学中考三模数学试卷）如图，PA、PB是半径为 1的O 的两条切 线，点 A、B分别为切点，APB60 ，OP 与弦 AB交于点 C，与O交于点 D阴影部分 的面积是_（结果保留 ） 【答案】 6 . 【解析】 由 PA、PB 是半径为 1 的O 的两条切线，得到 OAPA，OBPB，OP 平分APB，而 APB=60 ，得APO=30 ，POA=90 30 =60 ，而 OP垂直平分 AB，得到 SAOC=SBOC， 从而得到 S阴影部分=S扇
12、形OAD，然后根据扇形的面积公式计算即可 【详解】PA、PB 是半径为 1的O的两条切线，OAPA，OBPB，OP平分APB， 而APB=60 ，APO=30 ，POA=90 30 =60 又OP垂直平分AB， AOCBOC， SAOC=SBOC， S阴影部分=S扇形OAD 2 601 3606 故答案为 6 【点睛】本题考查了扇形的面积公式：S 2 360 n R ，其中 n为扇形的圆心角的度数，R为圆 的半径），或 S 1 2 lR，l为扇形的弧长，R为半径也考查了切线的性质 2.（河南省洛阳市 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）如图，在ACB中， 50BAC，2AC ，3
13、AB，现将ACB绕点A逆时针旋转50得到 11 AC B，则阴 影部分的面积为_ 【答案】 5 4 【解析】 根据旋转的性质可知 SABCSAB1C1，由此可得 S阴影=S扇形ABB1，根据扇形面积公式即可得出 结论 【详解】SABCSAB1C1， S阴影=S扇形ABB1= 50 360 AB2= 5 4 故答案为 5 4 【点睛】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，解题的关键是找出 S阴影=S扇形ABB1本 题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出阴影部分的面积等于扇 形的面积是关键 3.（河南省新乡市辉县市 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）如图，四
14、边形 ABCD 是菱形，A60 ，AB2，扇形 EBF 的半径为 2，圆心角为 60 ，则图中阴影部分的面积 是_ 【答案】 2 3 3 【解析】 连接 BD，易证DAB 是等边三角形，即可求得ABD 的高为3，再证明ABGDBH， 即可得四边形 GBHD 的面积等于ABD 的面积，由图中阴影部分的面积为 S扇形EBFSABD 即可求解. 【详解】如图，连接 BD 四边形 ABCD是菱形，A60 ， ADC120 ， 1260 ， DAB是等边三角形， AB2， ABD的高为3， 扇形 BEF 的半径为 2，圆心角为 60 ， 4+560 ，3+560 ，34， 设 AD、BE 相交于点 G，
15、设 BF、DC相交于点 H， 在ABG和DBH中， 2 34 A ABBD ， ABGDBH（ASA）， 四边形 GBHD的面积等于ABD的面积， 图中阴影部分的面积是：S扇形EBFSABD 2 602 360 1 2 2 3 2 3 3 故答案是： 2 3 3 【点睛】 本题考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识， 根据已知得出四 边形 GBHD的面积等于ABD 的面积是解题关键 4.（河南省信阳市 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）如图，在ABC中，CA=CB， ACB=90 ，AB=4，点 D为 AB的中点，以点 D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角 顶点
16、 C，以点 D为顶点，作 90 的EDF，与半圆交于点 E，F，则图中阴影部分的面积是 _ 【答案】2 【解析】连接 CD，作 DMBC，DNAC，证明DMGDNH，则 S四边形DGCH=S四边形DMCN， 求得扇形 FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得 【详解】连接 CD，作 DMBC，DNAC CA=CB， ACB=90 ， 点 D 为 AB 的中点， DC= 1 2 AB=2， 四边形 DMCN是正方形， DM= 2 则扇形 FDE 的面积是： 2 902 360 = CA=CB，ACB=90 ，点 D 为 AB 的中点，CD 平分BCA 又DMBC，DNAC，DM=DN GDH=MDN=90 ， GDM=HDN 在DMG 和DNH中， DMGDNH GDMHDN DMDN ， DMGDNH（AAS），S四边形DGCH=S四边形DMCN=2 则阴影部分的面积是：2 【点睛】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算 的综合题，正确证明DMGDNH，得到 S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键
