1、 专题 03 线段和差最值的存在性问题解题策略 专题攻略 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称 轴“河流” （如图 1） 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射” 问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面” （如图 2） 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两 条线段差的最大值就是第三边的长如图 3，PA 与 PB 的差的最大值就是 AB，此时点 P 在 AB 的延长线上，即 P 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题 图 1 图 2 图 3 例题解析
2、 例 如图 1-1，抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 P 是 抛物线对称轴上的一个动点，如果PAC 的周长最小，求点 P 的坐标 图 1-1 【解析】如图 1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点 A 与点 B 对称，连结 BC，那么在 PBC 中，PBPC 总是大于 BC 的如图 1-3，当点 P 落在 BC 上时， PBPC 最小，因 此 PAPC 最小， PAC 的周长也最小 由 yx22x3，可知 OBOC3，OD1所以 DBDP2，因此 P(1,2) 图 1-2 图 1-3 例如图 2-1，抛物线 2 1 44 2 yxx与 y 轴交于点 A，
3、B 是 OA 的中点一个动点 G 从点 B 出发，先经过 x 轴上的点 M，再经过抛物线对称轴上的点 N，然后返回到点 A如果 动点 G 走过的路程最短，请找出点 M、N 的位置，并求最短路程 图 2-1 【解析】如图 2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点 A 关于抛 物线的对称轴对称的 点 A， 作点 B 关于 x 轴对称的点 B， 连结 AB与 x 轴交于点 M， 与抛物线的对称轴交于点 N 在 RtAAB中，AA8，AB6，所以 AB10，即点 G 走过的最短路程为 10根据 相似比可以计算得到 OM 8 3 ，MH 4 3 ，NH1所以 M( 8 3 , 0)，N(4, 1) 图
4、2-2 例 如图 3-1，抛物线 2 48 2 93 yxx 与 y 轴交于点 A，顶点为 B点 P 是 x 轴上的 一个动点，求线段 PA 与 PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出 相应的点 P 的坐标 图 3-1 【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|PAPB|的最小值与最大值 由抛物线的解析式可以得到 A(0, 2)，B(3, 6)设 P(x, 0) 绝对值|PAPB|的最小值当然是 0 了，此时 PAPB，点 P 在 AB 的垂直平分线上（如 图 3-2） 解方程 x222(x3)262，得 41 6 x 此时 P 41 (,0) 6 在 PAB 中，根据两边
5、之差小于第三边，那么|PAPB|总是小于 AB 了如图 3-3，当 点 P 在 BA 的延长线上时，|PAPB|取得最大值，最大值 AB5此时 P 3 (,0) 2 图 3-2 图 3-3 例 如图 4-1，菱形 ABCD 中，AB2，A120 ，点 P、Q、K 分别为线段 BC、CD、 BD 上的任意一点，求 PKQK 的最小值 图 4-1 【解析】如图 4-2，点 Q 关于直线 BD 的对称点为 Q，在KPQ中，PKQK 总是 大 于 PQ的如图 4-3，当点 K 落在 PQ上时，PKQK 的最小值为 PQ如图 4-4，PQ的最 小值为 QH，QH 就是菱形 ABCD 的高，QH3 这道题
6、目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短 图 4-2 图 4-3 图 4-4 例 如图 5-1，菱形 ABCD 中，A60，AB3，A、B 的半径分别为 2 和 1， P、E、F 分别是边 CD、B 和A 上的动点，求 PEPF 的最小值 图 5-1 【解析】E、F、P 三个点都不确定，怎么办？BE1，AF2 是确定的，那么我们可以 求 PBPA3 的最小值，先求 PBPA 的最 小值（如图 5-2） 如图 5-3，PBPA 的最小值为 AB，AB6所以 PEPF 的最小值等于 3 图 5-2 图 5-3 例 如图 6-1， 已知 A(0, 2)、 B(6, 4)、 E(a,
7、 0)、 F(a1, 0)， 求 a 为何 值时， 四边形 ABEF 周长最小？请说明理由 图 6-1 【解析】在四边形 ABEF 中，AB、EF 为定值，求 AEBF 的最小值，先把这两条线段 经过平移，使得两条线段有公共端点 如图 6-2，将线段 BF 向左平移两个单位，得到线段 ME 如图 6-3，作点 A 关于 x 轴的对称点 A，MA与 x 轴的交点 E，满足 AEME 最小 由AOEBHF，得 OEHF OAHB 解方程 6(2) 24 aa ，得 4 3 a 图 6-2 图 6-3 例 如图 7-1，ABC 中，ACB90，AC2，BC1点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴的正半
8、轴上，当点 A 在 x 轴上运动时，点 C 也随之在 y 轴上运动 在整个运动过程中， 求点 B 到原点的最大距离 图 7-1 【解析】如果把 OB 放在某一个三角形中，这个三角形的另外两条边的大小是确定的， 那么根据两边之和大于第三边，可知第三边 OB 的最大值就是另两边的和 显然OBC 是不符合条件的，因为 OC 边的大小不确定 如图 7-2，如果选 AC 的中点 D，那么 BD、OD 都是定值，OD1，BD2 在OBD 中，总是有 OBODBD 如图 7-3，当点 D 落在 OB 上时，OB 最大，最大值为2 1 图 7-2 图 7-3 例 如图 8-1，已知 A(2,0)、B(4, 0
9、)、( 5,3 3)D 设 F 为线段 BD 上一点（不含端 点） ，连结 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿 线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运 动过程 中用时最少？ 图 8-1 【解析】点 B(4, 0)、( 5,3 3)D 的坐标隐含了DBA30，不由得让我们联想到 30 角所对的直角边等于斜边的一半 如果把动点 M 在两条线段上的速度统一起来，问题就转化了 如图 8-2，在 RtDEF 中，FD2FE如果点 M 沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运 动到点 D 时，那
10、么点 M 沿线段 FE 以每秒 1 个单位的速度正好运动到点 E因此当 AFFE 最小时，点 M 用时最少 如图 8-3，当 AEDE 时，AFFE 最小，此时 F( 2,2 3) 图 8-2 图 8-3 例 如图 9-1，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8点 E 是 BC 边上的点， 连结 AE，过点 E 作 AE 的垂线交 AB 边于点 F，求 AF 的最小值 图 9-1 【解析】如图 9-2，设 AF 的中点为 D，那么 DADEDF所以 AF 的最小值取决于 DE 的最小值 如图 9-3，当 DEBC 时，DE 最小设 DADEm，此时 DB 5 3 m 由 ABDADB，得
11、5 10 3 mm解得 15 4 m 此时 AF 15 2 2 m 图 9-2 图 9-3 例 如图 10-1，已知点 P 是抛物线 2 1 4 yx上的一个点，点 D、E 的坐标分别为(0, 1)、 (1, 2)，连结 PD、PE，求 PDPE 的最小值 图 10-1 【解析】点 P 不在一条笔直的河流上，没有办法套用“牛喝水”的模型 设 P 2 1 ( ,) 4 xx，那么 PD2 22222 11 (1)(1) 44 xxx所以 PD 2 1 1 4 x 如图 10-2， 2 1 1 4 x 的几何意义可以理解为抛物线上的动点 P 到直线 y1 的距离 PH所以 PDPH因此 PDPE 就转化为 PHPE 如图 10-3，当 P、E、H 三点共线，即 PHx 轴时，PHPE 的最小值为 3 高中数学会学到， 抛物线是到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合， 在中考数学 压轴题里, 如果要用到这个性质，最好铺垫一个小题，求 证 PDPH. 图 10-2 图 10-3
