1、 中考数学几何模型 4：中点模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：三角形中线平分三角形面积，等分点 等分面积；等腰三角形“三线合一”的性质；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形中 位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点， 今天重点在结合四 点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型” ，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似 模型，与倍长中线法相通。 A B C D E A B C D E F E D C B A 典题探究 启迪思维 探究重点 例题例题 1. 如图，在ABC 的两边
2、AB、AC 向形外作正方形 ABDE 和 ACFG，取 BE、BC、CG 的中点 M、Q、 N求证：MQQN 【解答】证明：连接 BG 和 CE 交于 O， 四边形 ABDE 和四边形 ACFG 是正方形， ABAE，ACAG，EABGAC， EAB+EAGGAC+EAG，GABEAC， 在BAG 和EAC 中， BAGEAC（SAS） ，BGCE BE、BC、CG 的中点 M、Q、N， MQCE，QNBG， BGCE， QNMQ 变式练习变式练习 1. 如图，在ACE 中，点 B 是 AC 的中点，点 D 是 CE 的中点，点 M 是 AE 的中点，四边形 BCGF 和四边 形 CDHN 都
3、是正方形求证：FMH 是等腰直角三角形 【解答】证明：连接 MB、MD，设 FM 与 AC 交于点 P， B、D、M 分别是 AC、CE、AE 的中点，四边形 BCGF 和四边形 CDHN 都是正方形， MDAC，且 MDACBCBF； MBCE，且 MBCECDDH， 四边形 BCDM 是平行四边形， CBMCDM， 又FBPHDC， FBMMDH， 在FBM 和MDH 中， FBMMDH（SAS） ， FMMH，且FMBMHD，BFMDMH FMB+HMD180FBM， BMCE， AMBE， 同理：DMEA AMB+DMEA+AMBCBM， FMH180（AMB+DME）（FMB+HMD
4、） 180CBM（180FBM） FBC90， FMH 是等腰直角三角形 例题例题 2. 如图，已知 BD、CE 分别是ABC 的 AC、AB 边上的高，G、F 分别是 BC、DE 的中点求证：GF DE 【解答】证明：如图，连接 EG、DG， BD、CE 分别是ABC 的 AC、AB 边上的高，点 G 是 BC 的中点， DGEGBC，点 F 是 DE 的中点，GFDE 变式练习变式练习 2. 如图，在ABC 中内取一点，使PBAPCA，作 PDAB 于点 D，PEAC 于点 E，求证：DE 的垂 直平分线必过 BC 的中点 M 【解答】解：取 BC，PB，PC 的中点 M，N，F，连接 M
5、N，MF，E，DN，DM，EM， MFBP，MNPC，MFPN，MNPF， 四边形 NMFP 是平行四边形， PNMPFM， PDAB，PEAC， DNPB，EFPC， DNMF，MNEF， DNP2ABP，PFE2ACD， ABPACD， DNPPFE， DNMEFM， 在DNM 与MFE 中， DNMMFE， DMEM， DME 是等腰三角形， 底边 DE 的垂直平分线（过 M 点）必是 BC 的中点 M 例题例题 3. 已知：AD 为ABC 的中线，AE 是ABD 的中线，ABBD，求证：AC2AE （两种证法） 【解答】 （1）解：AD 为ABC 的中线，AE 是ABD 的中线， BD
6、CD，BEDE， BEBD，BDBC； 又ABBD， BEAB，ABBC， ，BB， ABECBA； （2）证明： 由（1）知，ABECBA， ， AC2AE 变式练习变式练习 3. 如图，点 O 为线段 MN 的中点，PQ 与 MN 相交于点 O，且 PMNQ，可证PMOQNO根据上 述结论完成下列探究活动： 探究一：如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，E 为 BC 边的中点，BAEEAF，AF 与 DC 的延长线 相交于点 F试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论； 探究二：如图，DE、BC 相交于点 E，BA 交 DE 于点 A，且 BE：EC1：2，BAE
7、EDF，CFAB若 AB4，CF2，求 DF 的长度 【解答】解： （1）ABAF+CF 如图 2，分别延长 DC、AE，交于 G 点， 根据图得ABEGCE， ABCG， 又 ABDC， BAEG 而BAEEAF， GEAF， AFGF， ABCGGF+CFAF+CF； （2）如图 3，分别延长 CF、AE，交于 G 点， 根据 CFAB 得ABEGCE， AB：CGBE：CE， 而 BE：EC1：2，AB4， CG8， 又 ABFC， BAEG， 而BAEEDF， GEDF， DFGF， 而 CF2， DFCGCF826 例题例题 4. 如图，正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的边长分
8、别为 3 和 1，点 F，G 分别在边 BC，CD 上，P 为 AE 的中点，连接 PG，则 PG 的长为 【解答】解：方法 1、延长 GE 交 AB 于点 O，作 PHOE 于点 H 则 PHAB P 是 AE 的中点， PH 是AOE 的中位线， PHOA（31）1 直角AOE 中，OAE45， AOE 是等腰直角三角形，即 OAOE2， 同理PHE 中，HEPH1 HGHE+EG1+12 在 RtPHG 中， PG 故答案是： 变式练习变式练习 4. 如图，过边长为 3 的等边ABC 的边 AB 上一点 P，作 PEAC 于 E，Q 为 BC 延长线上一点，当 PA CQ 时，连 PQ
9、交 AC 边于 D，则 DE 的长为 【解答】解：过 P 作 PFBC 交 AC 于 F， PFBC，ABC 是等边三角形， PFDQCD，APFB60，AFPACB60，A60， APF 是等边三角形，APPFAF， PEAC，AEEF， APPF，APCQ，PFCQ， 在PFD 和QCD 中， PFDQCD（AAS） ，FDCD， AEEF，EF+FDAE+CD， AE+CDDEAC， AC3，DE， 故答案为 例题例题 5. 如图 1，在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E，作 EFAB 交 BD 于点 F，取 FD 的中点 G，连接 EG、 CG.易证：EG=CG 且 EGCG
10、. （1）将BEF 绕点 B 逆时针旋转 90，如图 2 所示，则线段 EG 和 CG 有怎样的数量和位置关系？请直接写 出你的猜想. （2）将BEF 绕点 B 逆时针旋转 180，如图 3 所示，则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量和位置关系？请写 出你的猜想，并加以证明. （3）将BEF 绕点 B 旋转一个任意角度，如图 4 所示，则线段 EG 和 CG 有怎样的数量和位置关系？请直 接写出结论. 解答：第（1） （2）略 （3）解法一：如图，延长 EG 至点 H，使 GH=EG.连接 DH，CE，CH. 因为点 G 是 DF 的中点，所以 GF=GD.根据 SAS 易证GEFGHD E
11、F=HD 且GEF=GHD，所以 EF/DH. 分别延长 HD 与 EB 交于点 K，HD 的延长线交 BC 于点 M.如下图： 因为 EBEF，而 EF/DH，所以 EKHK，即BKM=MCD=90. 又BMK=CMD.根据三角形的内角和，可得KBM=MDC. 所以EBC=HDC.又 EB=HD，BC=DC 所以EBCHDC.所以 CE=CB 且ECB=HCD. 所以ECB=90，即BCE 是等腰直角三角形， 又因为点 G 是斜边 EB 的中点， 所以 CGGE 且 CG=GE. 变式练习变式练习 5. 请阅读下列材料： 问题：如图 1，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A、B、E
12、 在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连结 PG、PC若ABCBEF60，探究 PG 与 PC 的位置关系及数量关系 小聪同学的思路是：延长 GP 交 DC 于点 H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）直接写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及的值； （2）如图 2，在正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中，点 A、B、E 在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连 结 PG、PC，探究 PG 与 PC 的位置关系及数量关系； （3）将图 2 中的正方形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转，原问题中的其他条件不变（如图
13、3） ，你在（2）中得到 的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 【解答】解： （1）PGPC，； 理由如下：延长 GP 交 DC 于 H，如图 1 所示： 四边形 ABCD 和 BEFG 均为菱形， DCBC，GFBG，DCAEGF， HDPGFP，DHPFGP， P 是线段 DF 的中点， DPFP， 在DHP 和FGP 中， ， DHPFGP（AAS） ， HPGP，DHFGBG， CHCG， CPHG，即 PGPC， ABC60，HCG18060120， CGP（180120）30， ； （3）在（2）中得到的两个结论不发生变化；理由如下： 过点 F 作 FHDC 交 CP 的
14、延长线于 H，交 CB 的延长线于 N，交 BE 于 M， 连接 CG、HG，如图 3 所示： 则CDPPFH， 在CDP 和FHP 中， ，CDPFHP（ASA） ， CPPH，CDFH， BNMMEF90，BMNEMF， NBMEFM， CBG+NBM1809090， EFM+MFG90， CBGMFG， 在CBG 和FHG 中， ， CBGFHG（SAS） ， CGGH，BGCFGH， CGHBGCHGBFGHHGBBGF90， CGH 是等腰直角三角形， PGPC，且 PGPC 达标检测 领悟提升 强化落实 1. 如图所示，M 是ABC 的边 BC 的中点，AN 平分BAC，BNAN
15、于点 N，且 AB8，MN3，则 AC 的长是（ ） A12 B14 C16 D18 【解答】解：延长 BN 交 AC 于 D， 在ANB 和AND 中， ， ANBAND， ADAB8，BNND， M 是ABC 的边 BC 的中点， DC2MN6， ACAD+CD14， 故选：B 2. 如图，ABD 和ACE 都是直角三角形，其中ABD=ACE=90，且点 C 在 AB 上，连接 DE，M 为 DE 中点，连接 BM，CM，求证 BM=CM. 3. 如图，正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 是 DA 的中点，连接 BE，与 CF 相交于 P，求证：APAB 【解答】证明：延长 C
16、F、BA 交于点 M， 点 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 CD 和 AD 的中点， 在BCE 与CDF 中， ， BCECDF（SAS） ， CBEDCF DCF+BCP90， CBE+BCP90， BPMCBE+BCP90 在CDF 与AMF 中， ， CDFAMF（AAS） ， CDAM， CDAB， ABAM， PA 是直角BPM 斜边 BM 上的中线， APBM， 即 APAB 4. 如图， 分别以ABC 的边 AB、 AC 为斜边向外侧构造等腰直角ABD 和等腰直角ACE， M 是 BC 中点 求 证：DMME，DMME 【解答】证明：如图，取 AB、AC 的中点 F、G，连
17、接 DF，MF，EG，MG， AF，AG， ABD 和AEC 是等腰直角三角形， DFAB，DF，EGAC，EG， AFDAGE90，DFAF，GEAG M 是 BC 的中点， MFAC，MGAB， 四边形 AFMG 是平行四边形， AGMF，MGAF，AFMAGM MFGE，DFMG，AFM+AFDAGM+AGE， DFMMGE 在DFM 和MGE 中， ， DFMMGE（SAS） ， DMME；MDFGME， MDF+BFD+BFM+DMF180， BFD90， MDF+BFM+DMF90， ABMG， BFMGMF， GME+GMF+DMF90， 即DME90， DMME 5. 已知AB
18、C 和ADE 是等腰直角三角形，ACBADE90，点 F 为 BE 中点，连接 DF、CF （1）如图 1，当点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，请判断此时线段 DF、CF 的数量关系和位置关系，并说 明理由 （2）如图 2，将ADE 绕点 A 逆时针旋转 45时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立， 请证明：若不成立，请说明理由 （3）如图 3，将ADE 绕点 A 逆时针旋转 90时，若 AD2，AC3，求此时FBC 中 CF 边上的 高的长 （直接写出结果） 【解答】解： （1）DFCF，且 DFCF，理由如下： ACBADE90，点 F 为 BE 中点， BDE90，
19、CFBEEFBF， DFBEEFBF， DFCF ABC 和ADE 是等腰直角三角形， ABC45 BFDF， DBFBDF， DFEABE+BDF， DFE2DBF， 同理得：CFE2CBF， DFE+EFC2DBF+2CBF2ABC90， DFCF，且 DFCF （2） （1）中的结论仍然成立理由如下： 延长 DF 交 BC 于点 G如图 2 所示： ADEACB90， DEBC， DEFGBF，EDFBGF F 为 BE 中点，EFBF 在DEF 和GBF 中， DEFGBF（AAS） DEGB，DFGF ADDE， ADGB， ACBC， ACADBCGB， DCGC ACB90， D
20、CG 是等腰直角三角形， DFGF DFCF，DFCF （3）延长 DF 交 BA 于点 H，如图 3 所示： ABC 和ADE 是等腰直角三角形， ACBC，ADDE AEDABC45， 由旋转可以得出，CAEBAD90， AEBC， AEBCBE， DEFHBF F 是 BE 的中点， EFBF， DEFHBF， EDHB， BCAC3，ACB90， ABAC6， AD2， EDBH2， AH4， 6. 已知：ABC 和ADE 均为等腰直角三角形，ABCADE90，ABBC，ADDE，按图 1 放置， 使点 E 在 BC 上，取 CE 的中点 F，连接 DF、BF （1）探索 DF、BF
21、的数量关系和位置关系，并证明； （2）将图 1 中ADE 绕 A 点顺时针旋转 45，再连接 CE，取 CE 的中点 F（如图 2） ，问（1）中的结 论是否仍然成立？证明你的结论； （3）将图 1 中ADE 绕 A 点转动任意角度（旋转角在 0到 90之间） ，再连接 CE，取 CE 的中点 F （如图 3） ，问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论 【解答】解： （1）DFBF 且 DFBF （1 分） 证明：如图 1： ABCADE90，ABBC，ADDE， CDE90，AEDACB45， F 为 CE 的中点， DFEFCFBF， DFBF； （2 分） DFE2DCF，BFE2B
22、CF， EFD+EFB2DCB90， 即：DFB90， DFBF （3 分） （2）仍然成立 证明：如图 2，延长 DF 交 BC 于点 G， ABCADE90， DEBC， DEFGCF， 又EFCF，DFEGFC， DEFGCF， DECG，DFFG， （4 分） ADDE，ABBC， ADCG， BDBG， （5 分） 又ABC90， DFBF 且 DFBF （6 分） 7. 如图：在ABC 中，ABAC，EF 交 AB 于点 E，交 AC 的延长线于点 F，交 BC 于 D 且 BECF，求证： DEDF 【解答】证明：如图，过点 E 作 EGAC 交 BC 于 G， 则ACBBGE，
23、FDEG， ABAC， BACB， BBGE， BEGE， 又BECF， GECF， 在CDF 和GDE 中， ， CDFGDE（AAS） ， DEDF 8. （1）已知：如图 1，在ABC 中，A90，D 为 BC 中点，E 为 AB 上一点，F 为 AC 上一点，ED DF，连接 EF，求证：线段 BE、FC、EF 总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图 2，A120，D 为 BC 中点，E 为 AB 上一点，F 为 AC 上一点，EDDF，连接 EF， 请你找出一个条件，使线段 BE、FC、EF 能构成一个等边三角形，给出证明 【解答】 （1）证明：延长 FD 到 G 使 GDDF，
24、连接 BG，EG， D 为 BC 中点，BDDC， 在BDG 和CDF 中，BDGCDF（SAS） ，BGFC，CGBD， EDDF，EGEF， A90，ABC+C90，ABC+GBD90，即EBG90， 线段 BE、BG、EG 总能构成一个直角三角形， BGFC，EGEF 线段 BE、FC、EF 总能构成一个直角三角形； （2）当线段 FCBE 时，线段 BE、FC、EF 能构成一个等边三角形， 证明：延长 FD 到 W 使 WDDF，连接 BW，EW， D 为 BC 中点， BDDC， 在BDW 和CDF 中 BDWCDF（SAS） ， BWFC，CWBD EDDF EWEF， A120，
25、 ABC+C60， ABC+WBD60， 即EBW60， 当线段 BWBE（或 BEEW，BWWE）时，BE、BW、EW 能构成一个等边三角形； EWEF，BWFC 当线段 FCBE（或 BEEF，EFFC）时，线段 BE、FC、EF 能构成一个等边三角形 9. 在 RtABC 中，D 为斜边 AB 的中点，E，F 分别在 AC，BC 上，EDF90，已知 CE4，AE2， BFCF，求 AB 【解答】解：延长 FD 至点 G，使得 DGDF，连接 AG，EG，EF，如图所示： D 为斜边 AB 的中点，ADBD， 在ADG 和BDF 中，ADGBDF（SAS） ， AGBF，DAGDBF，
26、DBF+BAC90，DAG+BAC90，即EAG90， EG2AG2+AE2，设 BFAGx， BFCF，CFx， EDF90，DEFG， DGDF，EFEG， EF2EG2， 在 RtCEF 中，EF2CE2+CF2，AG2+AE2CE2+CF2， 即 x2+2242+（x）2，解得：x， BF，CFx， BCBF+CF8， C90，ACAE+CE6， AB10 10. 在ABM 中，ABM45，AMBM，垂足为 M，点 C 是 BM 延长线上一点，连接 AC （1）如图 1，若 AB3，BC5，求 AC 的长； （2）如图 2，点 D 是线段 AM 上一点，MDMC，点 E 是ABC 外一
27、点，ECAC，连接 ED 并延长交 BC 于点 F，且点 F 是线段 BC 的中点，求证：BDFCEF 【解答】解： （1）ABM45，AMBM， AMBMABcos4533， 则 CMBCBM532， AC； （2）延长 EF 到点 G，使得 FGEF，连接 BG 由 DMMC，BMDAMC，BMAM， BMDAMC（SAS） ， ACBD， 又CEAC， 因此 BDCE， 由 BFFC，BFGEFC，FGFE， BFGCFE， 故 BGCE，GE， 所以 BDCEBG， 因此BDGGE 11. （1）方法回顾 在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下： 第一步添加辅助线：
28、如图 1，在ABC 中，延长 DE（D、E 分别是 AB、AC 的中点）到点 F，使得 EF DE，连接 CF； 第二步证明ADECFE，再证四边形 DBCF 是平行四边形，从而得到 DEBC，DEBC （2）问题解决 如图 2，在正方形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，G、F 分别为 AB、CD 边上的点，若 AG2，DF3， GEF90，求 GF 的长 （3）拓展研究 如图 3，在四边形 ABCD 中，A100，D110，E 为 AD 的中点，G、F 分别为 AB、CD 边上的 点，若 AG4，DF，GEF90，求 GF 的长 【解答】解： （1）如图 1，在ABC 中，延长 DE（D
29、、E 分别是 AB、AC 的中点）到点 F，使得 EFDE， 连接 CF，在ADE 和CFE 中 ，ADECFE（SAS） ，ADCF，AECF，ADCF ADBD，BDCF， BDCF，四边形 DBCF 是平行四边形，DEBC，DFBC DEDFBC （2）如图 2，延长 GE、FD 交于点 H， E 为 AD 中点，EAED，且AEDH90， 在AEG 和DEH 中，AEGDEH（ASA） ，AGHD2，EGEH， GEF90，EF 垂直平分 GH，GFHFDH+DF2+35； （3）如图 3，过点 D 作 AB 的平行线交 GE 的延长线于点 H，过 H 作 CD 的垂线，垂足为 P，连
30、接 HF， 同（1）可知AEGDEH，GFHF， AHDE100，AGHD4， ADC110， HDF360100110150， HDP30， DPH90 PH2，PD2 DF， PFPD+DF+23， 在 RtHFP 中，HPF90，HP2，PF3， HF， GFFH 12. 在ABC 中，ABAC，点 F 是 BC 延长线上一点，以 CF 为边，作菱形 CDEF，使菱形 CDEF 与点 A 在 BC 的同侧，连接 BE，点 G 是 BE 的中点，连接 AG、DG （1）如图，当BACDCF90时，直接写出 AG 与 DG 的位置和数量关系； （2）如图，当BACDCF60时，试探究 AG
31、与 DG 的位置和数量关系， （3）当BACDCF 时，直接写出 AG 与 DG 的数量关系 【解答】 （1）AGDG，AGDG， 证明：延长 DG 与 BC 交于 H，连接 AH、AD， 四边形 CDEF 是正方形， DEDC，DECF， GBHGED，GHBGDE， G 是 BE 的中点， BGEG， 在BGH 和EGD 中 BGHEGD（AAS） ， BHED，HGDG， BHDC， ABAC，BAC90， ABCACB45， DCF90， DCB90， ACD45， ABHACD45， 在ABH 和ACD 中 ABHACD（SAS） ， BAHCAD，AHAD， BAH+HAC90， CAD+HAC90，即HAD90， AGGD，AGGD； （3）DGAGtan； 证明：延长 DG 与 BC 交于 H，连接 AH、AD， 四边形 CDEF 是菱形， DEDC，DECF， GBHGED，GHBGDE， G 是 BE 的中点， BGEG， 在BGH 和EGD 中 BGHEGD（AAS） ， BHED，HGDG， BHDC， ABAC，BACDCF， ABC90，ACD90， ABCACD， 在ABH 和ACD 中 ABHACD（SAS） ， BAHCAD，AHAD， BACHAD； AGHD，HAGDAG， tanDAGtan， DGAGtan
