1、必修1第三章第2节 第一部分第一部分 指数概念的扩充指数概念的扩充 第十六讲第十六讲 指数及其运算指数及其运算 细胞分裂中的正整数指数幂细胞分裂中的正整数指数幂 问问 题题 导导 入入 0 (0)a a 1 n a 1 (0) n a a mn aa m n a () m n a mn a n a b nn ab 我们学过以下结论：我们学过以下结论： 上述运算性质的范围？上述运算性质的范围？ 如臭氧含量如臭氧含量Q与时间与时间t存存 在指数关系，当在指数关系，当t是半年是半年 时，或时，或 15 年零年零 3 个月时，个月时， 即指数是分数时，情况即指数是分数时，情况 又怎么样？又怎么样？ 不
2、一定是整数不一定是整数 大气中的臭氧含量还有多少呢大气中的臭氧含量还有多少呢? ? 给定正实数给定正实数a，对于任意给定的整数，对于任意给定的整数,m n （,m n互素） ，存在唯一的正实数互素） ，存在唯一的正实数b， 使得使得 nm ba，我们把，我们把b叫叫做做a的的 m n 次次 幂，记作幂，记作 m n ba 分数指数幂分数指数幂 新新 知知 探探 究究 (0) m nm n aaa 有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即 例如, 1 2 882 2， 2 32 3 27279 m n m 1n a a(a0,m,nN ,n1) 正数的负分数指
3、数幂的意义与负整数指数幂的意义正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义 相仿，即相仿，即 分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是 111 (0). m nnnn aaaaa 规定：规定：0 0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于0 0，0 0的负分数指数幂无意义的负分数指数幂无意义; ; 根式与分数指数幂是可以互化的根式与分数指数幂是可以互化的; ; 思考：无理指数幂有意义吗？思考：无理指数幂有意义吗？ 的过剩近似值的过剩近似值 的过剩近似值的过剩近似值 1.51.5 31.622 776 6031.622 776 60 1.421.42 26.3
4、02 679 9126.302 679 91 1.4151.415 26.001 595 6326.001 595 63 1.414 31.414 3 25.959 719 7625.959 719 76 1.414 221.414 22 25.954 938 2525.954 938 25 2 102 1.51.421.4151.41431.41422 10 ,10,10,10,10,. 的不足近似值的不足近似值 的不足近似值的不足近似值 25.118 864 3125.118 864 31 1.41.4 25.703 957 8225.703 957 82 1.411.41 25.941
5、793 6225.941 793 62 1.4141.414 25.953 743 0025.953 743 00 1.414 21.414 2 25.954 340 6225.954 340 62 1.414 211.414 21 1.41.411.4141.41421.41421 10 ,10,10,10,10,. 2 2 10 1.41.411.4141.41422 1.41431.4151.421.5 10101010.10 .10101010 2 10是一个实数 11 和 1 (0) aa a 指数扩大到了全体实数指数扩大到了全体实数 注意：指数幂注意：指数幂a中，中，a一定大于，一
6、定大于，a也大于也大于 例例 1.把下列各式中的把下列各式中的b（b0）写成分数指数幂的形式：写成分数指数幂的形式： （1） 5 b32;； （； （2） 45 b3 ;； （； （3） 5n3m b(m,nN ). 解：解： （1） 1 5 b32; （2） 5 4 b3; （3） 3m 5n b (m,nN ) 例例 题题 分分 析析 例例 2.计算计算 （1） 1 3 27； （2） 3 2 4 解：解： （）因为（）因为 3 327，所以，所以 1 3 273； （）因为（）因为 23 84，所以，所以 3 2 48 例例.把下列各式写成分数指数幂的形式：把下列各式写成分数指数幂的形式
7、： （1） 52 (0)aa； （； （2）(0)b b； （； （3） 34 (0)cc 解：解： （）（） 2 52 5 aa； （）（） 1 2 bb （）（） 3 34 4 cc . .把下列各式中的把下列各式中的b写成分数指数幂的形式：写成分数指数幂的形式： （1 1） 5 32; b； （； （2 2） 45 3 ; b； （； （3 3） 2n3m b(m,nN ). 解：解： （1） 1 5 b32 ; （2） 5 4 b3 ;（3） 3m 2n b (m,nN ) 2.2.计算： （计算： （1 1） 1 3 8 ; （2 2） 2 3 27 . 解：解： （1 1） 1 2
8、 （2 2） 1 9 随随 堂堂 练练 习习 1.1.指数幂的运算性质适用于实数指数幂指数幂的运算性质适用于实数指数幂. . 2.2.对根式的运算，应先化为分数指数幂，再根据运算性对根式的运算，应先化为分数指数幂，再根据运算性 质进行计算，计算结果一般用分数指数幂表示质进行计算，计算结果一般用分数指数幂表示. . 第二部分第二部分 指数运算的性质指数运算的性质 整数指数幂的运算法则整数指数幂的运算法则 () () mnm n mnmn nnn aaa aa aba b 复复 习习 导导 入入 () , 01, , m n m n n m amn a amn a amn 当时 当时，有当时 当时
9、 ( )(0) n n n aa b bb （其中m,n均为正整数） 实数指数幂的运算法则实数指数幂的运算法则 () () mnm n mnmn nnn aaa aa aba b 当当0,0ab时，对任意实数时，对任意实数,m n都满足都满足 上述性质，可以归纳如下：上述性质，可以归纳如下： 新新 知知 探探 究究 探究探究：在实数范围在实数范围内内，对比，对比() nnn aba b和和() n n n aa bb （其中（其中0,0ab） ，说明后者可以归入前者） ，说明后者可以归入前者 解：解： 1 ( )() n nn n aa ab bb ，因此，性质，因此，性质( ) n n n
10、aa bb 可以归入性质可以归入性质() nnn aba b 应用应用：化简（式中字母均为正实数） ：化简（式中字母均为正实数） ： （）（） 22 3(2) xxyz； （）； （） 1 4 x yy （） 解：解： （）（） 2222 3(2)(3 2)6 xxyzxyzyz； （）（） 11 ()4444 x yyxyyxyx 含字母的幂的运算是高中数学中基本含字母的幂的运算是高中数学中基本 运算之一运算之一, , 可以仿照单项式乘除法可以仿照单项式乘除法进行，进行， 首先是系数相乘除，然后是同底数幂相首先是系数相乘除，然后是同底数幂相 乘除，并且要注意符号乘除，并且要注意符号 化简策略
11、 化简化简 1.1. 211511 336622 (2)( 6)( 3)a ba ba b , ,其中其中0,0ab 2.( 2 xy 2 1 x 2 1 y) 3 1 2 1 )(xy 例例 题题 分分 析析 1. 1.解：解： 2.2.解解: : ( ( 2 xy 2 1 x 2 1 y) ) 3 1 2 1 )(xy = = 12111 1 12 1 111 33663 6 23 6 222 () ()x y x yx yxy x y 3 3. .已知已知103,104 求求10 ，10 ， 2 10 ， 5 10 解：1010103 412 ； 103 10 104 ； 2 22 1
12、10103 9 ； 11 555 10104 1.1.求下列各式的值：求下列各式的值： （1 1） 0.75 10000 （2 2） 3 2 ) 27 125 ( 解：解：(1) 33 4 () 0.7543 44 10000(10 )10101000 (2) 25 9 ) 3 5 () 3 5 () 3 5 () 3 5 () 27 125 ( 2 ) 3 2 (3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 2 2. .化简下列根式化简下列根式( (其中各式字母均为正数其中各式字母均为正数) ) （1 1） 43 aa （2 2）aaa 解：解： （1） 43 aa 12 7 4 1 3 1 4
13、1 3 1 aaaa （2） aaaa （aa 2 1 ） 2 1 2 1 a 2 1 a 4 1 a 8 1 a 8 7 8 1 4 1 2 1 a 3.3.计算下列根式计算下列根式 （1 1） 43 )22( （2 2） 3 218 解：解： （1 1） 4 3 1 4 2 1 4 3 1 2 1 43 22)22()22( 3 1 3 3 4 2 222 3 3 1 3 2822 （2） 6 6 1 3 1 2 1 232323 （能力提升）（能力提升） 已知已知 1 xx=3=3, ,求下列各式的值：求下列各式的值： .)2( ,) 1 ( 2 3 2 3 2 1 2 1 xxxx 分
14、分析析: :对对 2 1 2 1 xx平方即可应用题目给的已知条件平方即可应用题目给的已知条件, , 而而 2 3 2 3 xx用立方差公式展开后即可使用所求用立方差公式展开后即可使用所求 2 1 2 1 xx 与已知与已知 1 xx=3=3 条件条件. . .)2( ,)1( 2 3 2 3 2 1 2 1 xxxx 解解: : 1 2 已知已知 11 22 3xx ，求，求 33 22 22 3 2 xx xx 的值的值. . 随随 堂堂 练练 习习 解：解： 1.1.下列说法错误的是下列说法错误的是( )( ) A.A.根式都可以用分数指数幂来表示根式都可以用分数指数幂来表示 B.B.分
15、数指数幂不表示相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法分数指数幂不表示相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法 C.C.无理指数幂有的不是实数无理指数幂有的不是实数 D.D.有理指数幂的运算性质适用于无理指数幂有理指数幂的运算性质适用于无理指数幂 2. 2. 11 22 1 0 2 2 23 ( 3)3 _ 3. 3 .下列两种计算方法对吗？为什么？下列两种计算方法对吗？为什么？ 甲：甲： 3 23 2 ( 3)( 3)27 ；乙：乙： 333 223 222 ( 3)9(3 )327 解：解：甲不对，乙对甲没有注意公式甲不对，乙对甲没有注意公式() rsrs aa的适用条件的适用条件0a C C 1.1.正整数指数函数的概念正整数指数函数的概念 2.2.会画简单正整数指数函数的图像并能分析其简单性会画简单正整数指数函数的图像并能分析其简单性 质质. .
