1、回顾初中-初高衔接-精准定位-配套练习 第 1 页 共 193 页 2018 初高衔接-数学 回顾初中-衔接高中-精准定位-配套练习 目录目录 初升高数学衔接班初升高数学衔接班（上：初中部分）（上：初中部分） 第第1讲：讲：数与式的运算数与式的运算 3页页 第第2讲：讲：因式分解因式分解 11页页 第第3讲讲：一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值问题、简单的二元二一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值问题、简单的二元二 次方程组次方程组 19页页 第第4讲：讲：不等式不等式 36页页 第第5讲：讲：分式方程和无理方程的解法分式方程和无理方程的解法 43页页 初升高数学衔接班初升高数学
2、衔接班（下：高中部分）（下：高中部分） 第第6讲：讲：第第1章集合的含义及其表示章集合的含义及其表示 49页页 第第7讲：讲：第第1章子集章子集 55页页 第第8讲：讲：第第1章全集、补集章全集、补集 60页页 第第9-10讲：讲：第第1章交集、并集（章交集、并集（1/2） 65页页 第第11-14讲：讲：第第2章函数的概念和图像（章函数的概念和图像（1/2/3/4） 75页页 第第15-16讲：讲：第第2章函数的表示方法（章函数的表示方法（1/2） 97页页 第第17-18讲：讲：第第2章函数的单调性（章函数的单调性（1/2） 109页页 第第19-20讲：讲：第第2章函数的奇偶性（章函数的
3、奇偶性（1/2） 121页页 第第21讲：讲：第第3章分数指数幂章分数指数幂 135页页 回顾初中-初高衔接-精准定位-配套练习 第 2 页 共 193 页 第第22-24讲：讲：第第3章指数函数（章指数函数（1/2/3） 143页页 第第25-26讲：讲：第第3章对数（章对数（1/2） 159页页 第第27-29讲讲：第第3章对数函数（章对数函数（1/2/3） 173页页 初升高数学衔接班初升高数学衔接班（上）（上） 第一讲第一讲 数与式的运算数与式的运算 在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数 和代数式简称为数与式代数式中有整式（多项式、单项式） 、分
4、式、根式它们具有实数 的属性，可以进行运算在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全 平方公式） ，并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便由于在高中学习中还会遇到更复 杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、 立方和、立方差公式在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中 数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补 充基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容 一、乘法公式一、乘法公式 【公式公式 1】 cabcabcbacba222)( 2222 证明证明： 2222 )(2)()
5、()(ccbabacbacba cabcabcbacbcacbaba222222 222222 等式成立 【例例 1】计算： 22 ) 3 1 2(xx 解解：原式= 22 3 1 )2(xx 9 1 3 22 3 8 22 )2( 3 1 2 3 1 2)2(2) 3 1 ()2()( 234 222222 xxxx xxxxxx 说明说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列 【公式公式 2】(立方和公式立方和公式) 3322 )(babababa 证明证明: 3332222322 )(bababbaabbaabababa 说明说明:请同学用文字语言表述公式 2. 回顾初中-初
6、高衔接-精准定位-配套练习 第 3 页 共 193 页 【例例 2】计算： )( 22 bababa 解解：原式= 333322 )()()()(bababbaaba 我们得到： 【公式公式 3】(立方差公式立方差公式) 3322 )(babababa 请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式 1、2、3 均称为乘法公式乘法公式 【例例 3】计算： （1） （2） )416)(4( 2 mmm) 4 1 10 1 25 1 )( 2 1 5 1 ( 22 nmnmnm （3） （4） )164)(2)(2( 24 aaaa 22222 )(2(yxyxyxyx 解解：（1）原式= 333
7、 644mm （2）原式= 3333 8 1 125 1 ) 2 1 () 5 1 (nmnm （3）原式= 644)()44)(4( 63322242 aaaaa （4）原式= 2222222 )()()(yxyxyxyxyxyx 6336233 2)(yyxxyx 说明说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公 式的结构 （2）为了更好地使用乘法公式，记住 1、2、3、4、20 的平方数和 1、2、 3、4、10 的立方数，是非常有好处的 【例例 4】已知，求的值 013 2 xx 3 3 1 x x 解解： 013 2 xx0x3 1 x x 原式= 1
8、8)33(33) 1 )( 1 () 1 1)( 1 ( 22 2 2 x x x x x x x x 说明说明：本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较013 2 xxx 烦琐本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算请注意整 体代换法本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之 举 【例例 5】已知，求的值 0cba 111111 ()()()abc bccaab 解解： bacacbcbacba, 0 原式= ab ba c ac ca b bc cb a 回顾初中-初高衔接-精准定位-配套练习 第 4 页 共 193 页 ab
9、c cba ab cc ac bb bc aa 222 )()()( abccabccabbababa3)3(3)( 32233 ，把代入得原式= abccba3 333 3 3 abc abc 说明说明：注意字母的整体代换技巧的应用 引申引申：同学可以探求并证明： )(3 222333 cabcabcbacbaabccba 二、根式二、根式 式子叫做二次根式，其性质如下： (0)a a (1) (2) 2 ()(0)aa a 2 |aa (3) (4) (0,0)abab ab(0,0) bb ab a a 【例例 6】化简下列各式： (1) (2) 22 ( 32)( 31) 22 (1)
10、(2) (1)xxx 解解：(1) 原式= |32|31| 2331 1 (2) 原式= (1)(2)23 (2) |1|2| (1)(2)1 (1x2) xxxx xx xx 说明说明：请注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字 2 |aa 母的取值分类讨论 【例例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： (1) (2) (3) 3 23 11 ab 3 28 2 x xx 解解：(1) 原式= 2 3(23)3(23) 63 3 23(23)(23) (2) 原式= 22 aba bab abab (3) 原式= 22 2 22222 23 2 22 x x
11、 xxxx xxxx x 说明说明：(1)二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被 回顾初中-初高衔接-精准定位-配套练习 第 5 页 共 193 页 开方数不含能开得尽方的因数或因式 (2)二次根式的化简常见类型有下列两种：被开方数是整数或整式化简时，先将它分解 因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；分母中有根式(如)或被开方 3 23 数有分母(如)这时可将其化为形式(如可化为) ，转化为 “分母中有根式” 2 xa b 2 x 2 x 的情况化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化 简(如化为，其中与叫做互为有理化因式) 3 2
12、3 3(23) (23)(23) 2323 【例例 8】计算： (1) (2) 2 (1)(1)()ababab aa aabaab 解解：(1) 原式= 22 (1)()(2)2221baaabbaabb (2) 原式= 11 ()() aa aabaababab ()()2 ()() ababa ab abab 说明说明 ： 有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式 二次根式的运算 【例例 9】设，求的值 2323 , 2323 xy 33 xy 解解： 2 2 (23)23 74 3,74 3 14,1 2323 xyxyxy 原式= 2222 ()()()
13、()314(143)2702xy xxyyxyxyxy 说明说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根 据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量 三、分式三、分式 当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用 A B A B 以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质 【例例 10】化简 1 1 x x x x x 回顾初中-初高衔接-精准定位-配套练习 第 6 页 共 193 页 解法一解法一：原式= 22 2 (1)1 1(1) 1(1)(1)1 1 x xxxxxx xxxxx
14、xxxx xxx xxxx x x 解法一解法一：原式= 2 2 (1)1 (1)(1) 11 1 () x xxxxx xxxxxx xxx xxx xx xx x 说明说明 ： 解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解 法二则是利用分式的基本性质进行化简一般根据题目特点综合使用两种方 AAm BBm 法 【例例 11】化简 2 22 3961 62279 xxxx xxxx 解解：原式= 2 22 3961161 2(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9) xxxxx xxxxxxxxxx 2 2(3)12(1)(3)(3)3 2(3)(3)2(3)(
15、3)2(3) xxxxx xxxxx 说明说明 ： (1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分 解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 A 组组 1二次根式成立的条件是( ) 2 aa A B C D是任意实0a 0a 0a a 数 2若，则的值是( ) 3x 2 96|6|xxx A B C D 3计算： (1) (2) 2 (34 )xyz 2 (21)()(2 )abab ab (3) (4) 222 ()()()ab aabbab 22 1 (4 )(4) 4 ababab 4化简(下列的取值范围均使根式有意义)： a (1) (2)
16、 3 8a 1 a a (3) (4) 4ab a bb a 112 23231 5化简： 练练 习习 回顾初中-初高衔接-精准定位-配套练习 第 7 页 共 193 页 (1) (2) 2 1 9102 325 mm mmm m 2 22 (0) 2 xyxy xy xx y B 组组 1若，则的值为( )： 11 2 xy 33xxyy xxyy A B C D 3 5 3 5 5 3 5 3 2计算： (1) (2) ()()abcabc 11 1() 23 3设，求代数式的值 11 , 3232 xy 22 xxyy xy 4当，求的值 22 320(0,0)aabbab 22 aba
17、b baab 5设、为实数，且，求的值 xy3xy yx xy xy 6已知，求代数式 111 20,19,21 202020 axbxcx 222 abcabbcac 的值 7设，求的值 51 2 x 42 21xxx 8展开 4 (2)x 9计算 (1)(2)(3)(4)xxxx 10计算 ()()()()xyzxyz xyz xyz 11化简或计算： (1) 113 ( 184) 23 23 (2) 2 21 22(25) 3 52 (3) 2 x xxyxxyy xyyx xyy 回顾初中-初高衔接-精准定位-配套练习 第 8 页 共 193 页 (4) ()() bababab a
18、ababbabaab 第一讲 习题答案 A 组 1 C 2 A 3 (1) (2) 222 9166824xyzxyxzyz 22 353421aabbab (3) (4) 22 33a bab 33 1 16 4 ab 4 2()2 22 1 2 ab aaa ab 5 2m mxy B 组 1 D 2 3 2,3 22 3acbac 13 3 6 4 5 6 3 7 3,22 335 8 432 8243216xxxx 9 432 10355024xxxx 10 444222222 222xyzx yx zy z 11 4 3 3, 3 xy ba y 回顾初中-初高衔接-精准定位-配套练
19、习 第 9 页 共 193 页 回顾初中-初高衔接-精准定位-配套练习 第 10 页 共 193 页 第二讲第二讲 因式分解因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形， 它与整式乘法是相反方向的变形 在分式运 算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完 全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等 一、公式法一、公式法(立方和、立方差公式立方和、立方差公式) 在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式： (立方和公式) 2233 ()()ab aab
20、bab (立方差公式) 2233 ()()ab aabbab 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 3322 ()()abab aabb 3322 ()()abab aabb 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的 差(和) 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解 【例例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) (2) 3 8x 3 0.12527b 分析：分析： (1)中，(2)中 3 82 333 0.1250.5 ,27(3 )bb 解：解：(1) 3332 82(2)(
21、42)xxxxx (2) 33322 0.125270.5(3 )(0.53 )0.50.5 3(3 ) bbbbb 2 (0.53 )(0.251.59)bbb 回顾初中-初高衔接-精准定位-配套练习 第 11 页 共 193 页 说明：说明：(1) 在运用立方和( 差) 公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如 ，这里逆用了法则；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时， 333 8(2)a bab()n nn aba b 一定要看准因式中各项的符号 【例例 2】分解因式： (1) (2) 34 381a bb 76 aab 分析：分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提
22、取公因式后，括号内出现 ，可看着是或 66 ab 3232 ()()ab 2323 ()()ab 解：解：(1) 343322 3813 (27)3 (3 )(39)a bbb abb ab aabb (2) 76663333 ()()()aaba aba abab 2222 2222 ()()()() ()()()() a ab aabbab aabb a ab ab aabbaabb 二、分组分解法二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于 四项以上的多项式， 如既没有公式可用， 也没有公因式可以提取 因此，mambnanb 可以先将多项式分
23、组处理 这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法 分组分解法的 关键在于如何分组 1分组后能提取公因式分组后能提取公因式 【例例 3】把分解因式 2105axaybybx 分析分析 ： 把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然x 后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取2ab5xy 公因式 解：解： 21052 (5 )(5 )(5 )(2)axaybybxa xyb xyxyab 说明说明 ： 用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的 方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试 【例例 4
24、】把分解因式 2222 ()()ab cdabcd 分析分析 ： 按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因 式 解：解： 22222222 ()()ab cdabcdabcabda cdb cd 2222 ()()abca cdb cdabd ()()()()ac bcadbd bcadbcad acbd 回顾初中-初高衔接-精准定位-配套练习 第 12 页 共 193 页 说明说明：由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了 加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中 所起的作用 2分组后能直
25、接运用公式分组后能直接运用公式 【例例 5】把分解因式 22 xyaxay 分析分析 ： 把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式， 其中一个因式是；把第三、四项作为另一组，在提出公因式后，另一个因式也是xya . xy 解：解： 22 ()()()()()xyaxayxy xya xyxy xya 【例例 6】把分解因式 222 2428xxyyz 分析：分析：先将系数 2 提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一 222 24xxyyz 个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式 解：解： 222222 24282(24)xxyyzxxyyz 22
26、 2()(2 ) 2(2 )(2 )xyzxyz xyz 说明说明：从例 5、例 6 可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或 提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多 项式就可以分组分解法来分解因式 三、十字相乘法三、十字相乘法 1型的因式分解型的因式分解 2 ()xpq xpq 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是 1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数 之和 22 ()()()()()xpq xpqxpxqxpqx xpq xpxp xq 因此， 2 ()()()xpq xp
27、qxp xq 运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式 【例例 7】把下列各式因式分解： (1) (2) 2 76xx 2 1336xx 解：解：(1) 6( 1)( 6),( 1)( 6)7 2 76( 1)( 6)(1)(6)xxxxxx (2) 3649,4913 回顾初中-初高衔接-精准定位-配套练习 第 13 页 共 193 页 2 1336(4)(9)xxxx 说明说明 ： 此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项 系数的符号相同 【例例 8】把下列各式因式分解： (1) (2) 2 524xx 2 215xx 解：解：(1) 2
28、4( 3)8,( 3)85 2 524( 3)(8)(3)(8)xxxxxx (2) 15( 5)3,( 5)32 2 215( 5)(3)(5)(3)xxxxxx 说明说明 ： 此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的 因数与一次项系数的符号相同 【例例 9】把下列各式因式分解： (1) (2) 22 6xxyy 222 ()8()12xxxx 分析分析：(1) 把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是 22 6xxyyx 2 6y ，把分解成与的积，而，正好是一次项系数 y 2 6y3y2y3( 2 )yyy (2) 由换元思想，只要把整体看作一个字母，
29、可不必写出，只当作分解二 2 xxa 次三项式 2 812aa 解：解：(1) 2222 66(3 )(2 )xxyyxyxxy xy (2) 22222 ()8()12(6)(2)xxxxxxxx (3)(2)(2)(1)xxxx 2一般二次三项式一般二次三项式型的因式分解型的因式分解 2 axbxc 大家知道， 2 1122121 22 11 2 ()()()a xca xca a xa ca c xc c 反过来，就得到： 2 121 22 11 21122 ()()()a a xa ca c xc ca xca xc 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成a 12 a ac
30、1 2 c c 1212 ,a a c c 回顾初中-初高衔接-精准定位-配套练习 第 14 页 共 193 页 ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于 11 22 ac ac 1 22 1 a ca c 2 axbxc 的一次项系数， 那么就可以分解成， 其中位于上一b 2 axbxc 1122 ()()a xca xc 11 ,a c 行，位于下一行 22 ,a c 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘 法 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确 定一个二次三项式能否用十字相乘法分解 【例例 10】把
31、下列各式因式分解： (1) (2) 2 1252xx 22 568xxyy 解：解：(1) 2 1252(32)(41)xxxx 32 4 1 (2) 22 568(2 )(54 )xxyyxyxy 1 2 54 y y 说明说明 ： 用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 1 时较困难，具体分解 时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是 否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号 四、其它因式分解的方法四、其它因式分解的方法 1配方法配方法 【例例 11】分解因式 2 616xx 解：解： 222222 61
32、6233316(3)5xxxxx (35)(35)(8)(2)xxxx 说明说明 ： 这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平 方式，然后用平方差公式分解当然，本题还有其它方法，请大家试验 2拆、添项法拆、添项法 【例例 12】分解因式 32 34xx 分析分析 ： 此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一 次项， 如果它能分解成几个因式的积， 那么进行乘法运算时， 必是把一次项系数合并为 0 了， 可考虑通过添项或拆项解决 解：解： 3232 34(1)(33)xxxx 22 (1)(1)3(1)(1)(1)(1)3(1)xxxxxx
33、xxx 回顾初中-初高衔接-精准定位-配套练习 第 15 页 共 193 页 22 (1)(44)(1)(2)xxxxx 说明：说明：本解法把原常数 4 拆成 1 与 3 的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例， 造成可以用公式法及提取公因式的条件本题还可以将拆成，将多项式分成 2 3x 22 4xy 两组和 32 ()xx 2 44x 一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； (3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解 ； (4
34、) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 A 组组 1把下列各式分解因式： (1) (2) (3) 3 27a 3 8m 3 278x (4) (5) (6) 33 11 864 pq 33 1 8 125 x y 333 11 21627 x yc 2把下列各式分解因式： (1) (2) 34 xyx 33nn xx y (3) (4) 2323 ()amna b 2232 (2 )yxxy 3把下列各式分解因式： (1) (2) (3) 2 32xx 2 3736xx 2 1126xx (4) (5) (6) 2 627xx 22 45mmnn 2 ()11()28abab
35、 4把下列各式分解因式： (1) (2) (3) 543 1016axaxax 212 6 nnn aaba b 22 (2 )9xx (4) (5) (6) 42 718xx 2 673xx 22 82615xxyy (7) (8) 2 7()5()2abab 22 (67 )25xx 5把下列各式分解因式： (1) (2) (3) 2 33axayxyy 32 8421xxx 2 51526xxxyy (4) (5) (6) 22 4202536aabb 22 414xyxy 432224 a ba ba bab 练练 习习 回顾初中-初高衔接-精准定位-配套练习 第 16 页 共 193
36、 页 (7) (8) 663 21xyx 2( 1)()xxy xyx B 组组 1把下列各式分解因式： (1) (2) 2222 ()()ab cdcd ab 22 484xmxmnn (3) (4) (5) 4 64x 32 113121xxx 3223 428xxyx yy 2已知，求代数式的值 2 ,2 3 abab 2222 2a ba bab 3证明：当为大于 2 的整数时，能被 120 整除 n 53 54nnn 4已知，求证： 0abc 3223 0aa cb cabcb 第二讲第二讲 因式分解答案因式分解答案 A 组组 1 222 (3)(39),(2)(42),(23 )(
37、469),aaammmxxx 2222222 11211 (2)(42),(2)(4),(2 )(24) 645525216 pqppqqxyx yxyxyc x yxycc 2 2222 ()(),()(), n x xyyxyxxxy xxyy 22222432 ()()(),(1) (4321)amnbmnb mnbyxxxxx 3 (2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)xxxxxxxx (9)(3),(5 )(),(4)(7)xxmn mnabab 4 322 (2)(8),(3 )(2 ),(3)(1)(23),(3)(3)(2) n axxxaab abxxxx
38、xxx 2 (23)(31),(2)(415 ),(772)(1),(21)(35)(675)xxxyxyababxxxx 5 2 ()(3),(21) (21),(3)(52 ),(256)(256)xyayxxxxyabab 23333 (12)(12),() (),(1)(1), ()(1)xyxy ab ababxyxyx xy xy B 组组 1 22 ()(),(42 )(2 ),(48)(48),bcad acbdxmn xnxxxx 回顾初中-初高衔接-精准定位-配套练习 第 17 页 共 193 页 2 (1)(3)(7),(2 ) (2 )xxxxyxy 2 28 3 3
39、53 54(2)(1) (1)(2)nnnnnn nn 4 322322 ()()aa cb cabcbaabbabc 回顾初中-初高衔接-精准定位-配套练习 第 18 页 共 193 页 第三讲第三讲 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、 解法及应用， 而一元二次方 程的根的判断式及根与系数的关系， 在高中教材中的二次函数、 不等式及解析几何等章节有 着许多应用本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述 一、一元二次方程的根的判断式一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程，用配方法将其变形为： 2 0 (0)
40、axbxca 2 2 2 4 () 24 bbac x aa (1) 当时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根： 2 40bac 2 4 2 bbac x a (2) 当时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根： 2 40bac 1,2 2 b x a (3) 当时，右端是负数因此，方程没有实数根 2 40bac 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把 2 4bac 2 4bac 叫做一元二次方程的根的判别式，表示为： 2 0 (0)axbxca 2 4bac 【例例 1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) (2) (3) 2 2310xx 2 4912yy
41、 2 5(3)60xx 回顾初中-初高衔接-精准定位-配套练习 第 19 页 共 193 页 解：解：(1) ， 原方程有两个不相等的实数根 2 ( 3)42 110 (2) 原方程可化为： 2 41290yy ， 原方程有两个相等的实数根 2 ( 12)4490 (3) 原方程可化为： 2 56150xx ， 原方程没有实数根 2 ( 6)45 152640 说明：说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式 【例例 2】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的x 2 320xxkk 范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方
42、程有实数根； (4) 方程无实数根 解：解： 2 ( 2)43412kk (1) ； (2) ； 1 4120 3 kk 1 4120 3 kk (3) ； (4) 1 4120 3 kk 1 4120 3 kk 【例例 3】已知实数、满足，试求、的值 xy 22 210xyxyxy xy 解：解：可以把所给方程看作为关于的方程，整理得： x 22 (2)10xyxyy 由于是实数，所以上述方程有实数根，因此： x ， 222 (2)4(1)300yyyyy 代入原方程得： 2 2101xxx 综上知： 1,0xy 二、一元二次方程的根与系数的关系二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： 2 0 (0)axbxca
