1、 - 1 - 北京 101 中学 2016-2017 学年下学期高一年级期中考试数学试卷 （本试卷满分 120 分，考试时间 100 分钟） 一、选择题共 8 小题在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1在 ABC 中， 4a? ， 60A?， 45B?，则边 b 的值为（） A364B 2 22? C 26 D 231? 【答案】 A 【解析】根据正弦定理 sin sinabAB? ，可得 4sin60 sin45b?， 4sin 45 4 6sin 60 3b ?， A 项正确 2已知等差数列 ?na 的公差为 2 ，若 1a ， 3a ， 4a 成等比数列，则 2a 等于（）
2、 A 9 B 3 C 3? D 6? 【答案】 D 【解析】 1a ， 3a ， 4a 成等比数列， 所以有 2 14ba a a? ， 21( 2 )ad? ， 11( 3 )a a d?， 1ad?， 24d? ， 又 2d? ， 1 8a? ， 2 8 2 6a ? ? ? ， 故选 D 3下列结论正确的是（） A若 ac bc? ，则 ab? B若 22ab? ，则 ab? C若 ab? ， 0c? ，则 ac bc? D若 ab? ，则 ab? 【答案】 C 【解析】对于 A ，若 0c? ，不成立， 对于 B ，若 a ， b 均小于 0 或 0b? ，不成立， 对于 D ，其中
3、0a ， 0b? ，平方后有 ab? ，不成立， - 2 - 故选 C 4已知 13a? ， 24b ，则 2ab? 的取值范围是（） A ? ?6,4? B ? ?0,10 C ? ?4,2? D ? ?5,1? 【答案】 A 【解析】 1,3a? ， 2 2,6a? ， 2,4b? ， 4, 2b? ? ? ， 则 2 6,4ab? ? ? ， 故选 A 5在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c 若 2b ac? ，且 2ca? ，则 cosB? （） A 41 B 43 C42D32【答案】 B 【解析】将 2ca? 代入得： 222b ac a? ，
4、即 2ba? ， 2 2 2 2 2 224 2 3c o s 2 4 4a c b a a aB a c a? ? ? ? ? ?， 故选 B 6若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为 “ 同形 ” 函数给出下列三个函数： 1 si c) s( nof x x x?， 2 ( ) 2 sin 2f x x?， 3()sinf x x? ，则（） A 1()fx， 2()fx， 3()fx为 “ 同形 ” 函数 B 1()fx， 2()fx为 “ 同形 ” 函数，且它们与 3()fx不为 “ 同形 ” 函数 C 1()fx， 3()fx为 “ 同形 ” 函数，且它们与 2(
5、)fx不为 “ 同形 ” 函数 D 2()fx， 3()fx为 “ 同形 ” 函数，且它们与 1()fx不为 “ 同形 ” 函数 【答案】 B 【解析】 1( ) sin cosf x x x?， 2sin 4x?， 2 ( ) 2 sin 2f x x?， 3( ) sinf x x? ， - 3 - 则 1()fx， 2()fx为 “ 同形 ” 函数，且它们与 3()fx不为 “ 同形 ” 函数， 选 B 7已知函数 2 1( ) ( 2 c o s 1)s in 2 c o s 42f x x x x? ? ?，若 ,2? ?且 2()2f ? ?，则 ? 的值是（） A 58 B 11
6、16 C 916 D 78 【答案】 C 【解析】 1( ) co s 2 sin 2 co s 42f x x x x?， 11sin 4 cos 422xx?， 1 (sin 4 cos 4 )2 xx?， 2 sin 424x?， ,2? ?， 9 174 , 4 4 4? ?， 若 2()2f ? ?即 42()42x k k? ? ? ? Z， 16 2k? ，当 1k? 时， 916? ， 故选 C 8已知 (1,1) 1f ? ， ( , ) ( , )f m n m n?NN*，且对任意 m ， n?N* 都有： ( , 1) ( , ) 2f m n f m n? ? ?；
7、( 1,1) 2 ( ,1)f m f m? 以下三个结论： (1,5) 9f ? ； (5,1) 16f ? ； (5,6) 26f ? 其中正确的个数为（） A 0 B 1 C 2 D 3 【答案】 D 【解析】 ( , 1) ( , ) 2f m n f m n? ? ?， (1,1) 1f ? ， - 4 - ? ?( , )f mn 是以 1为首项， 2 为公差的等差数列， (1, ) 2 1f n n? 又 ( 1,1) 2 ( ,1)f m f m? ， ? ?( ,1)fm 是以 1为首项 2 为公比的等比数列， ( ,1) 2 1f n n?， ( , 1) 2? 12f m
8、 n m n? ? ? ? 由 (1,5) 2 5 1 9f ? ? ? ?，故（ 1）正确 由 (5,1) 24 16f ?，故（ 2 ）正确 由 (5,6) 24 2 6 26f ? ? ? ?，故（ 3 ）正确 故答案为 3 二、填空题共 6 小题 9在等差数列 ?na 中， 1 4 7 39a a a? ? ? ， 3 6 9 27a a a? ? ? ，则前 9 项之和 9S? _ 【答案】 99 【解析】在等差数列中， 1 4 7 39a a a? ? ? ， 3 6 9 27a a a? ? ? ， 4 13a? ， 6 9a? ， 4622aa? ，又 4 6 1 9a a a
9、 a? ? ? ， 数列 ?na 的前 9 项之和 199 ( ) 92aaS ?， 22 92? ， 99? 10已知 1x? ，函数 41yxx? 的最小值是 _ 【答案】 5 【解析】 1x? ， 41yxx? ， 4 1 1 2 4 1 51 xx? ? ? ? ? ? ， 当且仅当 3x? 时， “ ? ” 成立，故最小值为 5 - 5 - 11计算： 1 1 1 11 3 3 5 5 7 ( 2 1 ) ( 2 1 )nn? ? ? ? ? ? ? ? ?_ 【答案】 21nn? 【解析】原式 1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1nn? ? ? ? ? ? ?11
10、12 2 1n? 21nn? ? 12在等比数列 ?na 中， 1 2a? ， 4 54a? ，则数列 ?na 的前 n 项和 nS? _ 【答案】 13n? 【解析】 14254aa? ? ， 3 27q? ， 即 3q? ， 12 ( 3)nna ? ? ? ， 1(1 )1 nn aqS q? ?， 2(1 3 )13n? ? ， 13n? 13在 ABC 中，若 lgsinA ， lgsinB ， lgsinC 成等差数列，且三个内角 A ， B ， C 也成等差数列，则 ABC 的形状为 _ 【答案】等边三角形 【解析】 lgsinA ， lgsinB ， lgsinC 成等差数列，
11、 得 lg sin lg sin 2 lg sinA C B?，即 2sin sin sinB A B? ， 又三内角 A 、 B 、 C 也成等差数列， 60B?， 代入 得 3sin sin 4AB? ， 设 60A ? ? ， 60B ? ? ， 代入 得 3sin (6 0 ) sin (6 0 ) 4? ? ? ? ?， - 6 - 223 1 3cos sin4 4 4? ? ?， 即 2cos 1? ， 0?， 60A B C? ? ? ?， 为等边三角形 14给出下列命题： 若 0ab? ，则 11ab? ； 若 0a? ， 0b? ，则 2a b abab ab? ? ； 若
12、 0ab? ，则 22a ab b?； lg9 lg11 1?； 若 ab? ， 11ab? ，则 0a? ， 0b? ； 正数x ， y 满足 111xy?，则 2xy? 的最小值为 6 其中正确命题的序号是 _ 【答案】 【解析】 令 2a? ， 1b? ， 112a? ， 1 1b? ， 11ab? ，不符合 若 0a? ， 0b? ，则 2ab ab? （当且仅当 ab? 时，取等号）， 又 112a b a b a ba b a b a ba b a b ab? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 1 002 ab? ， abab ab? ，综上， 2a b
13、 abab ab? ? 若 0ab? ，则 2 0a ab?， 2 0ab b?， 因此， 22a ab b?，故 正确 2lg 9 lg 11lg 9 lg 112?， 22lg 99 lg 100 122? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故 正确 若 ab? ， 1 1 1 1 00baa b a b a b? ? ? ? ? ?， 0abab? ? ，则 0ab? ， 0a? ， 0b? ， - 7 - 正确 正数 x ， y 满足 111xy?，则 112 ( 2 )x y x yxy? ? ? ?， 21 2 3 2 2yxxy? ? ? ? ?， 错， 正确 三、解
14、答题（共 5 小题，分值分别为 8 分、 8 分、 10 分、 12 分、 12 分，共 50 分） 15在 ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边，且 2c? ， 105A?， 30C?求： （ 1） b 的值 （ 2 ） ABC 的面积 【答案】（ 1） 2 （ 2 ） 312?【解析】（ 1） 105A?， 30C?， 45B?， 又 2C? ， 1sin 2C? ， 由正弦定理 sin sinbcBC? 得： 22sin 2 21sin2CBbC? ? ? （ 2 ） 2b? ， 2c? ， sin sin105A?， sin(60 45 )? ? ?
15、， sin 6 0 co s 4 5 co s 6 0 sin 4 5? ? ? ? ? ?， 6244?， 1 sin2ABCS bc A?， 1 6 22224? ? ? ? ， 312? - 8 - 16某工厂生产的某种产品，当年产量在 150 吨至 250 吨之间时，年生产总成本 y （万元）与年产量 x （ 吨）之间的关系可近似地表示成 2 30 400010x xy ? ? ，问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？并求出该最低成本 【答案】年产量为 200 吨时，每吨的平均成本最低，最低为 10 万元 【解析】设每吨的平均成本 W （万元 /t ）， 则 4 0 0 0 4 0 0
16、 03 0 2 3 0 1 01 0 1 0y x xW x x x? ? ? ? ? ? ?， 当且仅当 400010x x? ， 200x? （ t ）的每吨平均成本最低，且最低成本为 10 万元 17已知函数 ( ) s in 2 s in 2 c o s 266f x x x x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ a?R ， a 为常数） （ 1）求函数的最小正周期 （ 2 ）求函数的单调递减区间 （ 3 ）当 0,2x ?时， ()fx的最小值为 2? ，求 a 的值 【答案】见解析 【解析】 （ 1） ( ) 2 s i n 2 c o s c o s
17、 2 3 s i n 2 c o s 2 2 s i n 266f x x x a x x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ()fx的最小正周期 2 2T? ? （ 2 ）单调递减区间为 2 , ()63k k k? ? ?Z （ 3 ）当 0,2x ?时， 72,6 6 6x ?， 所以当 72 66x? 即 2x? 时， ()fx取得最小值 所以 2 sin 2 226 a? ? ? ? ?，所以 1a? 18设数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， 22nSn? ，数列 ?nb 为等比数列， 且 11ab? ， 2 2 1 1()b a a b? （ 1）求数列
18、?na 和 ?nb 的通项公式 （ 2 ）设 nn nac b?，求数列 ?nc 的前 n 项和 nT - 9 - 【答案】（ 1） 42nan?， 1124nnb? ?（ 2 ） 5 6 5 499nn nT ?【解析】 19已知点 ( , )( )nn a n?N* 在函数 ( ) 2 2f x x? ? 的图象上，数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，数列 ?nb的前 n 项和为 nT ，且 nT 是 6nS 与 8n 的等差中项 （ 1）求数列 ?nb 的通项公式 （ 2 ）设 83nnc b n? ? ? ，数列 ?nd 满足 11dc? ， ()nnl dcnd ? ? N*求数列 ?nd 的前 n 项和 nD （
