1、 - 1 - 2016-2017 学年浙江省宁波市高一（下）期中数学试卷 一选择题（共 8小题，每小题 5分，共 40分） 1化简 cos15cos45 cos75sin45 的值为（ ） A B C D 2已知 ABC中， a= ， b= ， B=60 ，那么角 A等于（ ） A 45 B 60 C 120 或 60 D 135 或 45 3在等差数列 an中，若 a2+a8=10，则 a1+a3+a5+a7+a9的值是（ ） A 10 B 15 C 20 D 25 4设正项等比数列 an的前 n项和为 Sn，且 ，若 a3+a5=20， a2a6=64，则 S4=（ ） A 63或 126
2、 B 252 C 120 D 63 5已知 ， 都是锐角， cos= ， cos（ + ） = ，则 oos 值为（ ） A B C D 6数列 an满足 an+1= ，若 a1= ，则 a2016的值是（ ） A B C D 7若 c=acosB， b=asinC，则 ABC是（ ） A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D等边三角形 8在 ABC 中， a， b， c 分别为内角 A， B， C 所对的边， b=c，且满足 = 若点O 是 ABC外一点， AOB= （ 0 ）， OA=2OB=2，平面四边形 OACB面积的最大值是（ ） A B C 3 D 二填空题（本大题共 7小
3、题，其中多空题每题 6 分，单空题每题 4分，共 36 分） 9（ 6 分）记等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 ，则 d= ， S6= - 2 - 10（ 4分）在等比数列 an中， a1=3， a4=24，则 a3+a4+a5= 11（ 6分）若 cos +3sin= ，则 tan= ， sin2= 12（ 4分）已知钝角 ABC的三边 a=k， b=k+2， c=k+4，求 k的取值范围 13（ 6分）在四边形 ABCD中，已知 AD DC， AB BC， AB=1， AD=2， BAD=120 ，则 BD= ，AC= 14（ 4分）已知锐角 满足 sin（ + ） = ，则 cos
4、（ + ）的值为 15（ 6分）数列 an满足 an+1+（ 1） nan=2n 1，其前 n项和为 Sn，则 （ 1） a1+a3+a5+? +a99= ； （ 2） S4n= 三解答题（本大题共 5小题，共 74分） 16（ 14分）已知函数 （ 1）求 f（ x）的值域和最小正周期； （ 2）方程 f（ x） =m在 内有解，求实数 m的取值范围 17（ 15分）三角形的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，已知 cos（ A C） +cosB=1， a=2c （ I）求 C角的大小 （ ）若 a= ，求 ABC 的面积 18（ 15分）已知数列 an中， a1=3，且 an
5、=2an 1+2n 1（ n 2且 n N*） （ ）证明：数列 为等差数列； （ ）求数列 an的前 n项和 Sn 19（ 15 分）已知在锐角 ABC 中， a， b， c 为角 A， B， C 所对的边，且（ b 2c） cosA=a2acos2 （ 1）求角 A的值； （ 2）若 a= ，则求 b+c的取值范围 20（ 15分）各项均为正数的数列 an中，前 n项和 （ 1）求数列 an的通项公式； - 3 - （ 2）若 k恒成立，求 k的取值范围； （ 3）是否存在正整数 m， k，使得 am， am+5， ak成等比数列？若存在，求出 m和 k 的值，若不存在，请说明理由 - 4
6、 - 2016-2017学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一（下）期中数学 试卷 参考答案与试题解析 一选择题（共 8小题，每小题 5分，共 40分） 1化简 cos15cos45 cos75sin45 的值为（ ） A B C D 【考点】 GP：两角和与差的余弦函数 【分析】先利用诱导公式把 cos75 转化为 sin15 ，进而利用两角和的余弦函数求得答案 【解答】解： cos15cos45 cos75sin45 =cos15cos45 sin15sin45 =cos（ 15 +45 ） =cos60= 故选 A 【点评】本题主要考查了 两角和与差的正弦函数和诱导公式的运用，利用诱导公式把
7、 cos75转化为 sin15 关键属于基础题 2已知 ABC中， a= ， b= ， B=60 ，那么角 A等于（ ） A 45 B 60 C 120 或 60 D 135 或 45 【考点】 HP：正弦定理 【分析】根据正弦定理，即可求出 A的大小 【解答】解： ABC中， a= ， b= ， a b，且 A B，又 B=60 ， 即 A 60 ， 由正弦定理 得 sinA= = ， 则 A=45 或 135 （舍去）， 故选： A 【点评】本题主要考查解三 角形的应用，利用正弦定理是解决本题的关键，注意要判断角 A的取值范围 - 5 - 3在等差数列 an中，若 a2+a8=10，则 a
8、1+a3+a5+a7+a9的值是（ ） A 10 B 15 C 20 D 25 【考点】 85：等差数列的前 n项和； 84：等差数列的通项公式 【分析】由等差数列的性质可得： a2+a8=10=a1+a9=a3+a7=2a5，即可得出 【解答】解：由等差数列的性质可得： a2+a8=10=a1+a9=a3+a7=2a5， a5=5， a1+a3+a5+a7+a9=5a5=25 故选 ： D 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 4设正项等比数列 an的前 n项和为 Sn，且 ，若 a3+a5=20， a2a6=64，则 S4=（ ） A 63或
9、126 B 252 C 120 D 63 【考点】 89：等比数列的前 n项和 【分析】设正项等比数列 an公比为 q，且 0 q= ，根据 a3+a5=20， a2a6=64=a3a5，解得 a3=16， a5=4可得 q2= ， 0 q 1，解得 q， a1，利用求和公式即可得出 【解答】解：设正项等比数列 an公比为 q，且 0 q= ， a3+a5=20， a2a6=64=a3a5， 解得 a3=16， a5=4 q2= ， 0 q 1，解得 q= ， =16，解得 a1=64 则 S4= =120 故选： C - 6 - 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、单调性，考查了
10、推理能力与计算能力，属于中档题 5已知 ， 都是锐角， cos= ， cos（ + ） = ，则 oos 值为（ ） A B C D 【考点】 GP：两角和与差的余弦函数； GQ：两角和与差的正弦函数 【分析】根据同角三角 函数基本关系的应用分别求得 sin 和 sin（ + ）的值，进而根据余弦的两角和公式求得答案 【解答】解： ， 都是锐角， cos= ， cos（ + ） = ， sin= = ， sin（ + ） = = ， cos=cos （ + ） =cos（ + ） cos +sin（ + ） sin= + = 故选： C 【点评】本题主要考查了余弦函数的两角和公式的应用注重了对
11、学生基础知识的考查 6数列 an满足 an+1= ，若 a1= ，则 a2016的值是（ ） A B C D 【考点】 81：数列的概念及简单表示法 【分析】由数列 an满足 an+1= ， a1= ，可得 an+3=an 【解答】解： 数列 an满足 an+1= ， a1= ， a2=2a1 1= ， a3=2a2 1= ， a4=2a3= ， ? ， an+3=an 则 a2016=a671 3+3=a3= - 7 - 故选： C 【点评】本题考查了分段数列的性质、分类讨论方法、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7若 c=acosB， b=asinC，则 ABC是（ ）
12、A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D等边三角形 【考点】 HP：正弦定理 【分析】由余弦定理化简 c=acosB得： a2=b2+c2，判断出 A=90 ，再由正弦定理化简 b=asinC，判断出 B、 C的关系 【解答】解：因为：在 ABC中， c=acosB， 所以：由余弦定理得， c=a ，化简得， a2=b2+c2， 则： ABC是直角三角形，且 A=90 ， 所以： sinA=1， 又因为： b=asinC，由正弦定理得， sinB=sinAsinC，即 sinC=sinB， 又因为： C 90 ， B 90 ，则 C=B， 所以： ABC是等腰直角三角形， 故选： B
13、【点评】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查了边角互化，即根据式子的特点把式子化为边或角，再判断出三角形的形状，属于基础题 8 在 ABC 中， a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 所对的边， b=c ，且满足= 若点 O是 ABC外一点， AOB= （ 0 ）， OA=2OB=2，平面四边形 OACB面积的最大值是（ ） A B C 3 D 【考点】 GL：三角函数中的恒等变换应用； HR：余弦定理 【分析】依题意，可求得 ABC 为等边三角形，利用三角形的面积公式与余弦定理可求得SOACB=2sin（ ） + （ 0 ），从而可求得平面四边形 OACB 面积
14、的最- 8 - 大值 【解答】解： ABC中， = ， sinBcosA+cosBsinA=sinA，即 sin（ A+B） =sin（ C） =sinC=sinA， A=C，又 b=c， ABC为等边三角形； SOACB=S AOB+S ABC = |OA|?|OB|sin + |AB|2 = 2 1 sin + （ |OA|2+|OB|2 2|OA|?|OB|cos ） =sin + （ 4+1 2 2 1 cos ） =sin cos + =2sin（ ） + ， 0 ， ， 当 = ，即 = 时， sin（ ）取得最大值 1， 平面四边形 OACB面积的最大值为 2+ = 故选： A
15、【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦定理的应用，求得 SOACB=2sin（ ） + 是关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题 二填空题（本大题共 7小题，其中多空题每题 6 分，单空题每题 4分，共 36 分） 9记等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 ，则 d= 3 ， S6= 48 【考点】 85：等差数列的前 n项和 - 9 - 【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出 【解答】解：设等差数列 an的公差为 d， ， + d=20，解得 d=3 S6= =48 故答案为： 3， 48 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力
