1、相交直线所成的角1.1.熟记对顶角的概念及性质熟记对顶角的概念及性质.(.(重点重点)2.2.同位角同位角,内错角内错角,同旁内角的概念及识别同旁内角的概念及识别.(.(重点、难点重点、难点)3.3.对顶角性质的应用对顶角性质的应用.(.(重点重点)一、对顶角一、对顶角1.1.两条直线相交形成两条直线相交形成_个角个角.2.2.观察观察1 1与与3:3:4 4【思考思考】(1)(1)这两个角的顶点和两边有什么特点这两个角的顶点和两边有什么特点?提示提示:有公共顶点有公共顶点,两边互为反向延长线两边互为反向延长线.(2)(2)图中还有具有这种特点的角吗图中还有具有这种特点的角吗?具有这种特点的两
2、个角有怎具有这种特点的两个角有怎样的数量关系样的数量关系?提示提示:22与与4 4相等相等【总结总结】对顶角对顶角:(1)(1)概念概念:具有具有_顶点顶点,且其中一个角的两边分别是另一个角且其中一个角的两边分别是另一个角两边的两边的_的两个角的两个角,叫做对顶角叫做对顶角.(2)(2)性质性质:对顶角对顶角_.公共公共反向延长线反向延长线相等相等二、三线八角二、三线八角如图如图,直线直线a,b(a,b(被截直线被截直线)被直线被直线c(c(截线截线)所截形成了所截形成了8 8个小于平个小于平角的角角的角.【思考思考】1.1.观察图形观察图形,1,1与与8 8有怎样的位置关系有怎样的位置关系?
3、具有这种位具有这种位置关系的还有哪些角置关系的还有哪些角?提示提示:在被截直线的下方在被截直线的下方,在截线的同侧在截线的同侧.22与与7;37;3与与6;46;4与与5.5.2.2.观察图形观察图形,2,2与与5 5有怎样的位置关系有怎样的位置关系?具有这种位置关系的具有这种位置关系的还有哪些角还有哪些角?提示提示:在被截直线之间在被截直线之间,在截线的两侧在截线的两侧.11与与6.6.3.3.观察图形观察图形,1,1与与5 5有怎样的位置关系有怎样的位置关系?具有这种位置关系的具有这种位置关系的还有哪些角还有哪些角?提示提示:在被截直线之间在被截直线之间,在截线的同侧在截线的同侧.22与与
4、6.6.【总结总结】两条直线被第三条直线所截两条直线被第三条直线所截,构成构成8 8个角个角:1.1.同位角同位角:在被截直线的在被截直线的_,截线的截线的_的一对角的一对角.2.2.内错角内错角:在被截直线在被截直线_,截线的截线的_的一对角的一对角.3.3.同旁内角同旁内角:在被截直线在被截直线_,截线的截线的_的一对角的一对角.同一方向同一方向同侧同侧之间之间两侧两侧之间之间同侧同侧 (打打“”或或“”)(1)(1)一个角的同位角有且只有一个一个角的同位角有且只有一个.().()(2)(2)内错角一定不相等内错角一定不相等.().()(3)(3)判断两个角是同位角、内错角还是同旁内角的关
5、键是分清判断两个角是同位角、内错角还是同旁内角的关键是分清被截直线和截线被截直线和截线.().()(4)(4)有公共顶点的角是对顶角有公共顶点的角是对顶角.().()(5)(5)同位角、内错角、同旁内角是成对出现的同位角、内错角、同旁内角是成对出现的.().()知识点知识点 1 1 对顶角及性质对顶角及性质【例例1 1】(2012(2012北京中考北京中考)如图如图,直线直线AB,CDAB,CD交于点交于点O,O,射线射线OMOM平分平分AOC,AOC,若若BOD=76BOD=76,则则BOMBOM等于等于()A.38A.38 B.104 B.104 C.142 C.142 D.144 D.1
6、44【教你解题教你解题】【总结提升总结提升】对顶角的三大特征对顶角的三大特征1.1.数量关系数量关系:如果两个角是对顶角如果两个角是对顶角,那么这两个角相等那么这两个角相等.2.2.位置关系位置关系:有公共顶点有公共顶点,两边互为反向延长线两边互为反向延长线,也可看作两边也可看作两边形成两条相交的直线形成两条相交的直线.3.3.成对出现成对出现:对顶角是两个角的关系对顶角是两个角的关系,其成对出现其成对出现.知识点知识点 2 2 同位角、内错角、同旁内角的识别同位角、内错角、同旁内角的识别【例例2 2】已知如图已知如图,找出图中所有的同位角、内错角、同旁内角找出图中所有的同位角、内错角、同旁内
7、角.【解题探究解题探究】1.1.判断同位角、内错角、同旁内角的关键是分清判断同位角、内错角、同旁内角的关键是分清哪两种直线哪两种直线?提示提示:被截直线和截线被截直线和截线.2.2.在复杂图形中在复杂图形中,确定同位角、内错角、同旁内角时确定同位角、内错角、同旁内角时,一般方法一般方法是是:(1)(1)把相关的两个角从图形中分离出来把相关的两个角从图形中分离出来:(2)(2)根据分离的图形及同位角、内错角、同旁内角的定义判断根据分离的图形及同位角、内错角、同旁内角的定义判断:11与与4 4是是_(图图););22与与5 5是是_(图图););33与与4 4是是_(图图););44与与5 5是是
8、_(图图););33与与5 5是是_(图图).).同位角同位角内错角内错角同旁内角同旁内角同旁内角同旁内角同旁内角同旁内角【总结提升总结提升】判断两角位置关系的方法判断两角位置关系的方法1.1.判断两角边的情况判断两角边的情况:公共边所在的直线为截线公共边所在的直线为截线,另外两边为被另外两边为被截线截线.2.2.形象记忆形象记忆:同位角的边构成同位角的边构成“F F”形形,内错角的边构成内错角的边构成“Z Z”形形,同旁内角的边同旁内角的边构成构成“U U”形形.题组一题组一:对顶角及性质对顶角及性质1.(20131.(2013贺州中考贺州中考)下面各图中下面各图中1 1和和2 2是对顶角的
9、是是对顶角的是()【解析解析】选选B.A,1B.A,1和和2 2不是对顶角不是对顶角,故本选项错误故本选项错误;B,1;B,1和和2 2是对顶角是对顶角,故本选项正确故本选项正确;C,1;C,1和和2 2不是对顶角不是对顶角,故本选项故本选项错误错误;D,1;D,1和和2 2不是对顶角不是对顶角,是邻补角是邻补角,故本选项错误故本选项错误.2.2.如图所示如图所示,AB,AB与与CDCD相交于相交于O,AOD+BOCO,AOD+BOC=280=280,则则AOCAOC为为()A.40A.40 B.140 B.140C.120C.120 D.60 D.60【解析解析】选选A.A.因为因为AODA
10、OD与与BOCBOC是对顶角是对顶角,所以所以AOD=BOC,AOD=BOC,又因为又因为AOD+BOC=280AOD+BOC=280,所以所以AOD=BOC=140AOD=BOC=140.因为因为AODAOD与与AOCAOC互补互补,所以所以AOC=180AOC=180-140-140=40=40.3.3.如图如图,直线直线AB,CD,EFAB,CD,EF相交于点相交于点O,O,图中对顶角共有图中对顶角共有()对对 对对 对对 对对【解析解析】选选D.D.图中对顶角有图中对顶角有:AOF:AOF与与BOE,AODBOE,AOD与与BOC,BOC,FODFOD与与EOC,FOBEOC,FOB与
11、与AOE,DOBAOE,DOB与与AOC,DOEAOC,DOE与与COF,COF,共共6 6对对.4.4.如图如图,三条直线相交于一点三条直线相交于一点,则则1+2+3=1+2+3=度度.【解析解析】根据对顶角相等根据对顶角相等,可得可得2=4,2=4,由平角的定义由平角的定义,可得可得1+4+3=1801+4+3=180,所以所以1+2+3=1801+2+3=180.答案答案:1801805.5.如图如图,直线直线AB,CDAB,CD相交于点相交于点O,AOC=54O,AOC=54,1,1比比2 2大大1010,则则1=1=度度,2=,2=度度.【解析解析】因为因为AOCAOC与与BODBO
12、D是对顶角是对顶角,所以所以1+2=AOC=541+2=AOC=54,因为因为1-2=101-2=10,所以所以1=321=32,2=22,2=22.答案答案:323222226.6.如图如图,31=23,31=23,求求1,2,3,41,2,3,4的的度数度数.【解析解析】因为因为31=23,31=23,所以所以3=1,3=1,因为因为1+3=1801+3=180,所以所以 1=1801=180,所以所以1=721=72,所以所以4=1=724=1=72,3=180,3=180-1=1081=108,2=3=108,2=3=108.32527.7.如图如图,直线直线AB,CDAB,CD相交于
13、点相交于点O,O,已知已知:AOC=70:AOC=70,OE,OE把把BODBOD分分成两部分成两部分,且且BOEEOD=23,BOEEOD=23,求求AOEAOE的度数的度数.【解析解析】因为因为AOC=70AOC=70,所以所以BOD=AOC=70BOD=AOC=70,因为因为BOEEOD=23,BOEEOD=23,所以所以BOE=BOE=7070=28=28,所以所以AOE=180AOE=180-28-28=152=152.22 3题组二题组二:同位角、内错角、同旁内角的识别同位角、内错角、同旁内角的识别1.1.下列图中下列图中1 1和和2 2是同位角的是是同位角的是()A.A.B.B.
14、C.C.D.D.【解析解析】选选D.D.中中1 1和和2 2不是两直线被第三条直线所截形成不是两直线被第三条直线所截形成的角的角,中中1 1和和2 2不在被截直线的同一侧不在被截直线的同一侧,也不在截线的同旁也不在截线的同旁.2.2.如图如图,与与1 1是内错角的是是内错角的是()A.2 B.3 A.2 B.3 C.4 C.4 D.5 D.5【解析解析】选选B.1B.1与与3 3是直线是直线a,ba,b被被c c所截形所截形成的一对内错角成的一对内错角,它们均在被截线它们均在被截线a,ba,b内侧内侧,且且1 1在截线的左边在截线的左边,3,3在截线的右边在截线的右边,故故正确答案为正确答案为
15、B.B.此图中此图中,1,1与与2 2是同一对同旁内角是同一对同旁内角,1,1与与5 5是是一对同位角一对同位角.3.3.如图如图,两只手的食指和拇指在同一个平面内两只手的食指和拇指在同一个平面内,它们构成的一对它们构成的一对角可看成是角可看成是()A.A.同位角同位角B.B.内错角内错角C.C.对顶角对顶角D.D.同旁内角同旁内角【解析解析】选选B.B.角在被截线的内部角在被截线的内部,又在截线的两侧又在截线的两侧,符合内错角符合内错角的定义的定义.4.4.如图如图,B,B与与是直线是直线和和直线直线被直线被直线所截得所截得到的同位角到的同位角.【解析解析】BB应与应与FACFAC是同位角是
16、同位角,是直线是直线BCBC和和ACAC被直线被直线BFBF所截所截得到的同位角得到的同位角.答案答案:FACFACBCBCACACBFBF5.5.如图所示如图所示,DCB,DCB和和ABCABC是是直线直线和和被被直线直线所截而成的所截而成的角角.【解析解析】如题图所示如题图所示,DCB,DCB和和ABCABC具有公共边具有公共边BC,BC,另外两条边另外两条边分别在直线分别在直线CDCD和和ABAB上上,故故DCBDCB和和ABCABC是直线是直线DEDE和和ABAB被直线被直线BCBC所截而成的同旁内角所截而成的同旁内角.答案答案:DEDEABABBCBC同旁内同旁内6.6.如图如图,找
17、出图中找出图中DEA,ADEDEA,ADE的同位角、内错角和同旁内角的同位角、内错角和同旁内角.【解析解析】DEADEA的同位角是的同位角是C,C,内错角是内错角是BDE,BDE,同旁内角是同旁内角是A A和和ADE;ADEADE;ADE的同位角是的同位角是B,B,内错角是内错角是CED,CED,同旁内角是同旁内角是A A和和AED.AED.【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图如图,与与B B是同旁内角的角有是同旁内角的角有.提示提示:本题漏掉了一个同旁内角本题漏掉了一个同旁内角:把把AE,BCAE,BC看作被截直线看作被截直线,AB,AB为截为截线线,此时此时B B与与BAEBAE是同旁内角
18、是同旁内角.1.2.3 绝 对 值观 察35 上图中，单位长度为上图中，单位长度为1米，那么米，那么小黄狗小黄狗、大白兔大白兔、小灰狗小灰狗分别距分别距离原点多远？离原点多远？赶快思考啊！-3-2-10123聪明的同学们一眼就可以看出来了吧。聪明的同学们一眼就可以看出来了吧。小黄狗距离原点小黄狗距离原点3 3米米 大白兔距离原点大白兔距离原点2 2米米 小灰狗距离原点小灰狗距离原点3 3米米 在数轴上，表示一个数的点与原点的在数轴上，表示一个数的点与原点的距距 离叫做该数的离叫做该数的绝对值（绝对值（absolute value)。抽象抽象总结总结你能明白吗？想一想 互为相反数的两个数的绝对值
19、有什么关系？一对相反数虽然分别在原点两边，一对相反数虽然分别在原点两边，但但它们到原点的距离是它们到原点的距离是相等相等的的.一个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离的点与原点的距离.一个数的绝对值就是在这个数的两旁各画一条一个数的绝对值就是在这个数的两旁各画一条竖线，竖线，如如+2的绝对值等于的绝对值等于2，记作，记作|+2|2。数数a的绝对值记作的绝对值记作|a|.如图，在数轴上表示如图，在数轴上表示5的点与原点的距离是的点与原点的距离是5，即即5的绝对值是的绝对值是5，记作，记作|5|5.议一议议一议 一个数的绝对值与这个数有什一个数的绝对值与这个
20、数有什么关系？么关系？例如：例如：|3|3，|7|7一个正数的绝对值是它本身；一个正数的绝对值是它本身；例如：例如：|3|3，|2.3|2.3一个负数的绝对值是它的相反数；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是的绝对值是0.因为正数可用因为正数可用a0表示，负数可用表示，负数可用a0表示，所以上述三条可表述成：表示，所以上述三条可表述成：(1)如果如果a0，那么，那么|a|a (2)如果如果a0，那么，那么|a|a (3)如果如果a0，那么，那么|a|0 10、8两数中，哪个数大？它们的绝对值呢？两数中，哪个数大？它们的绝对值呢？表示表示10的点的点A比表示比表示8的点的点B离开原点比较离
21、开原点比较远远.显然显然|10|8|因为点因为点A在点在点B的左边，所以的左边，所以108.由此得出结论：由此得出结论：两个负数比较大小，两个负数比较大小，绝对值绝对值大大的反而的反而小小.一个数的绝对值大于或等于一个数的绝对值大于或等于0.1比较下列各组数的大小：比较下列各组数的大小：(1)1和和5 (2)和和27 做一做（1）在数轴上表示下列各数，并比较它）在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小：们的大小：-15，-3，-1，-5；（2）求出（）求出（1）中各数的绝对值，并比）中各数的绝对值，并比较它们的大小；较它们的大小；（3）你发现了什么？）你发现了什么？判断：判断：(1)若一个数的绝
22、对值是若一个数的绝对值是2，则这个数则这个数是是2；(2)|5|5|；(3)|0.3|0.3|；(4)|3|0；(5)|1.4|0；(6)有理数的绝对值一定是正数；有理数的绝对值一定是正数；(7)若若ab，则，则|a|b|；(8)若若|a|b|，则，则ab；(9)若若|a|a，则，则a必为负数；必为负数；(10)互为相反数的两个数的绝对值相等；互为相反数的两个数的绝对值相等；(1)绝对值是绝对值是7的数有几个？各是什么？有没有的数有几个？各是什么？有没有绝对值是绝对值是2的数的数(2)绝对值是绝对值是0的数有几个？各是什么的数有几个？各是什么 （3）绝对值小于）绝对值小于3的数是否都小于绝对值
23、小于的数是否都小于绝对值小于5的的数？数？（4）绝对值小于）绝对值小于10的整数一共有多少个？的整数一共有多少个？(1)求绝对值不大于2的整数；(2)已知x是整数，且|x|7，求x 2、已知有理数已知有理数a在数轴上对应的点如图在数轴上对应的点如图所示：则则|a|=_ 4、如果如果a 的相反数是的相反数是-，那么，那么|a|=_ 3.如果一个数的绝对值等于如果一个数的绝对值等于3.25，则这个数是，则这个数是_ 5.如果如果|x-1|=2，则，则x=_练习一:2.2.比较大小：比较大小：55 88-0.05 0；-3 1；1.1.绝对值等于绝对值等于6 6的数有的数有 绝对值是绝对值是0 0的
24、数是的数是 。-6 和和 +603.判断（对的打“”，错的打“”）：（1）一个有理数的绝对值一定是正数。）一个有理数的绝对值一定是正数。()（2）1.40，则，则1.40。()（3）32的相反数是的相反数是32 ()（4）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数如果两个数的绝对值相等，那么这两个数 相等相等 ()（5）互为相反数的两个数的绝对值相等互为相反数的两个数的绝对值相等 ()0abc则则a c,b c4.4.已知有三个数已知有三个数a、b、c在数轴上的在数轴上的位置如下图所示位置如下图所示则则a、b、c三个数从小到大的顺序是：三个数从小到大的顺序是：C b a5.5.足球比赛中对所用的足球
25、有严格的规定，下面是足球比赛中对所用的足球有严格的规定，下面是5 5个足个足球的质量检测结果（用正数表示超过规定质量的克数，用球的质量检测结果（用正数表示超过规定质量的克数，用负数表示不足规定质量的克数）负数表示不足规定质量的克数）答：记为答：记为-8-8的足球质量好一些。的足球质量好一些。因为因为20=2020=20，+10=10+10=10，+12=12+12=12，8=88=8，11=1111=11所以所以8 8 +10 +10 11 11 +12 +12 2020 也就是说记为也就是说记为-8-8的足球与规定的质量相差比较小，的足球与规定的质量相差比较小，因此其质量比较好因此其质量比较好-20+10+12-8-11请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识加以说明。请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识加以说明。本章小结 一个正数的绝对值等于它本身 一个负数的绝对值等于它的相反数 0的绝对值等于0 互为相反数的两个数的绝对值相等
