1、2.4二次函数与幂函数知识诠释思维发散 二次函数解析式的三种形式(1)一般式:y=ax2+bx+c(a0).(2)顶点式:f(x)=a(x-k)2+h(其中点(k,h)为二次函数的顶点).(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(其中二次函数的零点为x1与x2).一、二次函数f(x)=ax2+bx+ca0a0,=0,0a0时图像都通过点(1,1),(0,0).在第一象限内,函数值随x的增大而增大.在第一象限内,1与01的图像凹凸性不一样.三、幂函数图像在点(1,1)处发生交叉.(2)当0时图像都通过点(1,1).在第一象限内,函数值随x的增大而减小.图像在点(1,1)处发生交叉.1.
2、已知幂函数f(x)过点(4,2),则f(9)等于()(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.【解析】设f(x)=x,点(4,2)在函数图像上,2=4,=,f(9)=3.【答案】C121292.在同一坐标系内,函数y=xa(a0)和y=ax-的图像可能是()1a对于B,由y=xa的图像知a0,不符合.通过比较知C符合.【答案】C1a【解析】当a0时,直线的斜率为正,在y轴上的截距为-0,此时幂函数y=xa在(0,+)上是增函数,故A、D图像不可能;1a3.若f(x)=x2-ax+1有负值,则实数a的取值范围是()(A)a-2.(B)-2a2或a-2.(D)1a0,即a2或a-2.【答案】C 核心
3、突围技能聚合题型1二次函数、幂函数基础试题例1 (1)已知函数f(x)=-2x2+6x-m的值恒小于0,则实数m的取值范围为 .(2)若函数f(x)=x2+(a+2)x+b(xa,b)的图像关于直线x=1对称,则函数f(x)的最大值为 .【分析】(1)二次函数的开口向下,故只需二次函数的顶点在x轴的下方即可.(2)函数的图像关于直线x=1对称,则定义域关于1对称,可列出一个方程.对称轴为直线x=1,也可列出一个方程.解二元一次方程组得出a,b的值.【解析】(1)f(x)=-2x2+6x-m=-2(x2-3x+)-m+=-2(x-)2-m+-m+,函数f(x)=-2x2+6x-m的值恒小于0,-
4、m+.94923292929292(2)函数的图像关于直线x=1对称,f(x)=x2-2x+6(-4x6),f(x)开口向上,图像在-4,6上关于x=1对称,函数f(x)的最大值为f(-4)=f(6)=30.21,22,aab4,6,ab【答案】(1)(,+)(2)30【点评】(1)(2)从二次函数的开口方向与参数的结合命题,还结合了恒成立与对称轴等问题,属二次函数的性质与应用范围.92变式训练1 (1)若函数f(x)=x2+ax(aR),则下列结论成立的是()(A)函数f(x)一定是偶函数.(B)函数f(x)一定存在零点.(C)函数f(x)在(0,+)上一定是增函数.(D)函数f(x)在(a
5、,+)上一定是增函数.围是 .【解析】(1)只有a=0时,函数f(x)才是偶函数,故A错;函数f(x)在(-,-)上是减函数,在(-,+)上是增函数,故C、D错.(2)f(x)=(x-1)2-1-1,知1a,b,令x2-2x=3,则x=3或x=-1,或 2b-a4.2a2a1,13ab 11,3,ab(2)已知函数f(x)=x2-2x,xa,b的值域为-1,3,则b-a的取值范【答案】(1)B (2)2,4【分析】由f(3-x)=f(x),可得到f(x)的对称轴为x=;由f(1)=0可得a、b、c的一个方程;由对任意实数x,f(x)-恒成立,可知把f(x)表示成a的形式后转化为含参不等式恒成立
6、问题.14a123214a12题型2与二次函数有关的问题例2已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)满足:f(3-x)=f(x),f(1)=0,对任意实数x,f(x)-恒成立,求f(x)的解析式.【解析】f(3-x)=f(x),可得到f(x)的对称轴为x=,-=,b=-3a,f(1)=0,a+b+c=0,c=-a-b=2a,f(x)=ax2-3ax+2a,对任意实数x,f(x)-恒成立,322ba3214a12ax2-3ax+2a-恒成立.ax2-3ax+2a-+0恒成立.a=1,f(x)=x2-3x+2.【点评】本题利用数形结合的思想确定函数的对称轴,并对恒成立问题进行转化分析再结合二
7、次函数图像确定0.14a1214a1220,1194(2)0,42aaaaa20,210,aaa 变式训练2 函数f(x)=x2-2x+2在t,t+1(tR)上的最小值为g(t),求g(t)的解析式.【解析】函数f(x)=x2-2x+2的对称轴为x=1,开口向上,f(x)在(-,1)上是减函数;在(1,+)上是增函数.当t0时,t+11时,函数f(x)在t,t+1上是增函数,g(t)=f(t)=t2-2t+2.(1)若函数的单调递增区间为(-,1),求a的值;(2)若函数f(x)的值域为(0,9,求a的值.【分析】(1)利用复合函数确定函数的单调区间,再利用单调区间求a的值;(2)利用函数的值
8、域分析指数的范围,再求a的值.2213xax题型3二次函数与其他基本函数的结合例3已知函数f(x)=(aR).【解析】(1)设g(x)=-2x2-ax+1,对称轴为x=-,开口向下,则g(x)在(-,-)上是增函数,在(-,+)上是减函数.y=3x在R上是增函数,则f(x)=(aR)在(-,-)上是增函数,在(-,+)上是减函数.-=1,a=-4.4a4a4a2213xax4a4a4a(2)函数f(x)的值域为(0,9,则g(x)=-2x2-ax+1的值域为(-,2,g(x)=-2(x+)2+1+1,+1=2,a=2 .【点评】本题需要对问题进行转化,对二次函数有关问题的探究需要数形结合,故需
9、要运用化归与数形结合的思想,第一小题也可以用导数的方法进行解答.4a28a28a28a2变式训练3 已知a1,若函数f(x)=ax2-2x+1在区间1,3上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a).(1)求g(a)的函数表达式;(2)判断函数g(a)在区间,1上的单调性,并求出g(a)的最小值.【解析】(1)因为a1,f(x)的图像为开口向上的抛物线,且对称轴为x=1,3.1313131a所以f(x)有最小值N(a)=f()=1-.当23,即a,时,f(x)有最大值M(a)=f(1)=a-1;当12,即a(,1时,f(x)有最大值M(a)=f(3)=9a-5;g(a
10、)=1a1a1a13121a121 112(),321 196(1).2aaaaaa(2)设a10,g(a1)g(a2),g(a)在,上是减函数.设a1a21,则g(a1)-g(a2)=(a1-a2)(9-)0,g(a1)25.【解析】函数f(x)=4x2-mx+5的对称轴x=,可知函数在,+)上单调递增,故只需-2,即m-16,f(1)=9-m25.8m8m8m【答案】A2.(基础再现)“函数f(x)=kx2-kx-1与x轴有两个不同的交点”是“-4k0或k0的解集是()(A)(-,-)(3,+).axbcxa12(B)(-,3).(C)(-,-3)(,+).(D)(-3,).121212【
11、解析】由图像可知f(x)=a(x-1)(x-2)=ax2-3ax+2a(a0),b=-3a,c=2a.不等式 0等价于 0,即 0,x3或x-.故选A.【答案】Aaxbcxa32axaaxa321xx124.(视角拓展)函数f(x)=2x2-8x-5的图像上有三点A(a,y1)、B(a+1,y2)、C(a+2,y3)(其中a0),则()(A)y1y2y3.(B)y1y3y2.(C)y3y2y1.(D)y2y1y3.【解析】函数的对称轴为x=2,开口向上,函数f(x)在(-,2)上是减函数,aa+1a+22,y3y2-6.3a+b的取值范围是-6,+),故选B.【答案】B2220,4(2)0,a
12、ba6.(基础再现)已知-2,-1,1,2,则使函数y=x在0,+)上单调递增的所有值的集合为 .【解析】函数y=x在0,+)上单调递增,0,=1或=2.【答案】1,2二、填空题(本大题共4小题,每小题7分)7.(基础再现)已知函数f(x)=x2+x-2,x-4,6,则函数f(x)的值域是 .【解析】函数f(x)的开口向上,对称轴为x=-,-4,6,f(x)f(-)=-2=-,f(-4)=16-4-2=10,f(6)=36+6-2=40,函数f(x)的值域是-,40.【答案】-,4012121214129494948.(视角拓展)已知幂函数f(x)的图像过点(2,8),g(x)=x2+4,定义
13、函数F(x)=则函数F(x)的最小值为 .【解析】幂函数f(x)的图像过点(2,8),f(x)=x3,f(2)=8,g(2)=8,当x2时,f(x)f(2)=8,g(x)g(2)=8.F(x)8;当x2时,g(x)-f(x)=x2+4-x3.(),()(),(),()(),f xf xg xg xf xg x0 xx2+x2-x3=x2(2-x)0;xx2+40.g(x)f(x),F(x)=g(x)=x2+44.综上,函数F(x)的最小值为4.【答案】49.(高度提升)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2(ab),m,n(mn)是方程f(x)=0的两个根,则实数a,b,m,n的大小关系是
14、 .【解析】如图所示,设函数g(x)=(x-a)(x-b)(ab),那么函数g(x)的图像与x轴的交点的横坐标分别【答案】mabn为a,b(ab),而f(x)=(x-a)(x-b)-2的图像是由函数g(x)的图像向下平移2个单位得到的,由于m,n(mn)是方程f(x)=0的两个根,所以函数f(x)的图像与x轴的交点的横坐标分别为m,n(mn),结合图形可知mabn.10.(视角拓展)已知幂函数y=(mN+)的图像关于y轴对称,且在(0,+)上是减函数,求满足不等式(2a2+1)-m(4-a)-m的a的取值范围.【解析】函数在(0,+)上单调递减,m2-2m-30,解得-1m0,(2a2+1)-
15、14-a0,解得1a4或a-,故a的取值范围为(-,-)(1,4).323211.(高度提升)已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间0,2上有最小值3,求a的值.【解析】f(x)=4(x-)2-2a+2,对称轴为x=.当0,即a0时,函数f(x)在0,2上是增函数,f(x)min=f(0)=a2-2a+2.由a2-2a+2=3,得a=1 .a0,a=1-.2a2a2a22当02,即0a5时,只能销售500台,所以y=2215(0.50.25),05,21(5 55)(0.50.25),5,2xxxxx x 24.750.50.5,05,120.25,5.xxxx x(2)在0
16、x5时,y=-0.5x2+4.75x-0.5,当x=-=4.75百台时,ymax=10.78125万元.当x5百台时,y0.1百台或5x48百台,即企业年产量在10台到4800台之间(含4800台不含10台)时,企业不亏本.205,0.54.750.50 xxx5,120.250,xx21.5625第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2023年7月2日星期日2023-7-22023-7-22023-7-22、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种偶然的机遇只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2023年7月2023-7-22023-7-22023-7-27/2/20233、书籍通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2023-7-22023-7-2July 2,20234、享受阅读快乐，提高生活质量。2023-7-22023-7-22023-7-22023-7-2 谢谢观赏谢谢观赏 You made my day!You made my day!我们，还在我们，还在路路上上
