1、 专题专题 3 反比例函数问题反比例函数问题 例题精讲例题精讲 例例 1.（北海（北海中考中考）如图，反比例函数 y= （x0）的图象交 Rt OAB 的斜边 OA 于点 D，交直角边 AB 于点 C，点 B 在 x 轴上若 OAC 的面积为 5，AD：OD=1：2，则 k 的值为_ 【解答】解：过 D 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 E 点， ODE 的面积和 OBC 的面积相等= 2 ， OAC 的面积为 5， OBA 的面积=5+ 2 ， AD：OD=1：2， OD：OA=2：3， DEAB， ODEOAB， =（ 2 3 ） 2 ， 即 2 5: 2 = 4 9 ， 解得：k=8 例例
2、 2.（临沂中考）（临沂中考）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 均在函数 y （k0，x0）的图象上，A 与 x 轴相切，B 与 y 轴相切若点 A 的坐标为（3，2），且A 的半径是B 的半径的 2 倍，则点 B 的坐标 为_ 【解答】解：点 A（3，2）在函数 y （k0，x0）的图象上， k326 A 与 x 轴相切，B 与 y 轴相切，点 A 的坐标为（3，2），且A 的半径是B 的半径的 2 倍， 点 B 的横坐标为 1 点 B 在反比例函数 y 6 的图象上， 点 B 的坐标为（1，6） 故答案为：（1，6） 例例 3.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的两边
3、 OC、OA 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函 数 y= （x0） 与 AB 相交于点 D， 与 BC 相交于点 E， 若 BE=4EC， 且 ODE 的面积是 5， 则 k 的值为_ 【解答】解：四边形 OCBA 是矩形， AB=OC，OA=BC， 设 B 点的坐标为（a，b）， BE=4EC， E（a， 1 5 b）， 点 D，E 在反比例函数的图象上， a 1 5 b=k，D（ 1 5 a，b）， S ODE=S矩形OCBAS AODS OCES BDE =ab 1 2 1 5 ab 1 2 a 1 5 b 1 2 （a 1 5 a）（b 1 5 b） = 12 25 ab=5
4、， ab= 125 12 ， k= 1 5 ab= 25 12 故答案为 25 12 例例 4.（重庆中考）（重庆中考）如图，直线 y=1 2x2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C 在直线 AB 上，且点 C 的 纵坐标为1，点 D 在反比例函数 y= 的图象上，CD 平行于 y 轴，S OCD= 5 2，则 k 的值为_ 【解答】点 C 在直线 AB 上，即在直线 y=1 2x2 上，C 的横坐标是 2， 代入得：y=1 222=1，即 C（2，1）， OM=2， CDy 轴，S OCD=5 2， 1 2CDOM= 5 2， CD=1 2， MD=1 21= 3 2， 即
5、D 的坐标是（2，3 2）， D 在双曲线 y= 上， 代入得：k=23 2=3 故答案为：3 例例 5.（宿迁中考）（宿迁中考）如图，已知点 A 是双曲线 y= 2 在第一象限的分支上的一个动点，连结 AO 并延长交另 一分支于点 B，以 AB 为边作等边 ABC，点 C 在第四象限随着点 A 的运动，点 C 的位置也不断变化，但 点 C 始终在双曲线 y= （k0）上运动，则 k 的值是_ 【解答】解：双曲线 y= 2 关于原点对称， 点 A 与点 B 关于原点对称 OA=OB 连接 OC，如图所示 ABC 是等边三角形，OA=OB， OCABBAC=60 tanOAC= = 3 OC=
6、3 OA 过点 A 作 AEy 轴，垂足为 E， 过点 C 作 CFy 轴，垂足为 F， AEOE，CFOF，OCOA， AEO=OFC，AOE=90FOC=OCF AEOOFC = = OC= 3 OA， OF= 3 AE，FC= 3 EO 设点 A 坐标为（a，b）， 点 A 在第一象限， AE=a，OE=b OF= 3 AE= 3 a，FC= 3 EO= 3 b 点 A 在双曲线 y= 2 上， ab=2 FCOF= 3 b 3 a=3ab=6 设点 C 坐标为（x，y）， 点 C 在第四象限， FC=x，OF=y FCOF=x（y）=xy =6 xy=6 点 C 在双曲线 y= 上，
7、k=xy=6 故答案为：6 习题精炼习题精炼 1.如图,在平面直角坐标系中,AOB=90,OAB=30,反比例函数 y1= m x 的图象经过点 A,反比例函数 y2= n x 的 图象经过点 B,则下列关于 m,n 的关系正确的是( ) A. m=-3n B. m=- 3 n C. m=- 3 3 n D. m= 3 3 n 2.下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ） A. B. C. D. 3.如图，等边 OAB 的边 OB 在 x 轴的负半轴上，双曲线 y= 过 OA 的中点，已知等边三角形的边长是 4，则 该双曲线的表达式为（ ） A. y= 3 B. y=- 3 C. y=23 D.
8、 y=-23 4.如图， 直线l与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于A、 B两点， 且与x轴的正半轴交于C点 若AB=2BC， OAB 的面积为 8，则 k 的值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 5.如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴上，顶点 D 在反比例函数 y= （x0）的图象上，已知点 B 的坐标是（6 5 ， 11 5 ），则 k 的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6.如图，矩形 ABCD 的顶点 A 在第一象限，ABx 轴，ADy 轴，且对角线的交点与原点 O 重合在边 AB 从小于 AD 到大于 AD 的变化过
9、程中，若矩形 ABCD 的周长始终保持不变，则经过动点 A 的反比例函数 y= （k0）中 k 的值的变化情况是（ ） A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 7.如图，直线 x=t（t0）与反比例函数 y= （x0）、y= ;1 （x0）的图象分别交于 B、C 两点，A 为 y 轴上 任意一点， ABC 的面积为 3，则 k 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8.如图，过 x 轴正半轴上的任意一点 P，作 y 轴的平行线，分别与反比例函数 y 6 和 y 4 的图象交于 A，B 两点若点 C 是 y 轴上任意一点，连接 AC、BC，则 AB
10、C 的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 9.如图， OAB 为等腰直角三角形，斜边 OB 边在 x 负半轴上，一次函数 y=1 7x+ 4 7与 OAB 交于 E、D 两点， 与 x 轴交于 C 点，反比例函数 y= （k0）的图象的一支过 E 点，若 S AED=S DOC ， 则 k 的值为（ ） A. -6 7 B. -3 C. -3 D. -4 10.如图，在平面直角坐标系中， A 与 x 轴相切于点 B， BC 为A 的直径， 点 C 在函数 y= （k0，x0） 的图象上，若 OAB 的面积为 3，则 k 的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
11、 11.如图，在直角坐标系 xOy 中，点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴， = 3 4AOB 的角平分线与 OA 的垂直平分 线交于点 C，与 AB 交于点 D，反比例函数 y= 的图象过点 C当以 CD 为边的正方形的面积为 2 7时，k 的值是 （ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 12.如图， 在平面直角坐标系中， 菱形 ABCD 在第一象限内， 边 BC 与 x 轴平行， A， B 两点的纵坐标分别为 3， 1反比例函数 y=3 的图象经过 A，B 两点，则菱形 ABCD 的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 22 D. 42 13.在平面直角坐标系中，直线 y=x+
12、2 与反比例函数 = 1 的图象有唯一公共点，若直线 y=x+b 与反比例 函数 = 1 的图象有 2 个公共点，则 b 的取值范围是（ ） A. b2 B. 2b2 C. b2 或 b2 D. b2 14.如图， Rt ABC 的顶点 B 在反比例函数 y= 12 的图象上， AC 边在 x 轴上， 已知ACB=90， A=30， BC=4， 则图中阴影部分的面积是_ 15.如图，A、B 两点在双曲线 y=4 上，分别经过 A、B 两点向轴作垂线段，已知 S 阴影=1，则 S1+S2=_ 16.如图， ABC 的三个顶点分别为 A（1，2），B（2，5），C（6，1）若函数 y= 在第一象限
13、内的图象 与 ABC 有交点，则 k 的取值范围是_ 17.如图，反比例函数 y= （x0）的图象经过点 A（2，2），过点 A 作 ABy 轴，垂足为 B，在 y 轴的正 半轴上取一点 P（0，t），过点 P 作直线 OA 的垂线 l，以直线 l 为对称轴，点 B 经轴对称变换得到的点 B 在此反比例函数的图象上，则 t 的值是_ 18.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，与反比例函数 = （k 为 常数，且 k0）在第一象限的图象交于点 E，F过点 E 作 EMy 轴于 M，过点 F 作 FNx 轴于 N，直线 EM 与 FN 交于点 C若
14、 = 1 （m 为大于 l 的常数）记 CEF 的面积为 S1 ， OEF 的面积为 S2 ， 则 1 2 =_ （用含 m 的代数式表示） 19.如图，正方形 ABCD 的顶点 B，C 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y= （k0）在第一象限的图象经过顶 点 A（m，2）和 CD 边上的点 E（n， 2 3 ），过点 E 的直线 l 交 x 轴于点 F，交 y 轴于点 G（0，2），则点 F 的坐标是_ 20.如图，过 y 轴上任意一点 P，作 x 轴的平分线，分别于反比例函数 y=4 和 y= 2 的图象交于 A 点和 B 点，若 C 为 x 轴上任意一点，连接 AC，BC，则 ABC
15、的面积为_ 答案解析部分答案解析部分 一、单选题 1.【答案】A 【解析】【解答】过点 B 作 BEx 轴于点 E,过点 A 作 AFx 轴于点 F, 设点 B 的坐标为(a, n a ),点 A 的坐标为(b, m b ), 则 OE=-a,BE= n a ,OF=b,AF= m b , OAB=30,OA= 3 OB, BOE+OBE=90,AOF+BOE=90, OBE=AOF, 又BEO=OFA=90,BOEOAF, OE AF = BE OF = OB AO ,即 ;a m b = n a b = 1 3 , 解得:m=- 3 ab,n= ab 3 , 故可得:m=-3n. 故答案为
16、：A. 2.【答案】 C 【解析】 【分析】分别根据反比例函数系数 k 的几何意义以及三角形面积求法以及梯形面积求法得出即可： A、根据反比例函数系数 k 的几何意义，阴影部分面积和为：xy=3； B、根据反比例函数系数 k 的几何意义，阴影部分面积和为|xy|=3： C、如图，过点 M 作 MAx 轴于点 A，过点 N 作 NBx 轴于点 B， 根据反比例函数系数 k 的几何意义， S OAM =S OAM=1 2|xy|= 3 2 ， 从而阴影部分面积和为梯形 MABN 的面积： 1 2（1+3）2=4。 D、根据 M，N 点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为：1 2 16=3。
17、 综上所述，阴影部分面积最大的是 C。故选 C。 3.【答案】 B 【解析】【解答】解：如图，过点 C 作 CDOB 于点 D OAB 是等边三角形，该等边三角形的边长是 4， OA=4，COD=60， 又点 C 是边 OA 的中点， OC=2， OD=OCcos60=21 2=1，CD=OCsin60=2 3 2 =3 C（1，3） 则3= ;1 ， 解得，k=3 ， 该双曲线的表达式为 y=- 3 故选 B 4.【答案】 A 【解析】【解答】解：作 ADx 轴于 D，BEx 轴于 E，如图， BEAD， CBECAD， = ， AB=2BC， CB：CA=1：3， = = 1 3 ， AD
18、=3BE， 设 B（t， ），则 A 点坐标为（ 1 3t， 3 ）， S AOD+S梯形ABED=S AOB+S BOE ， 而 S AOD=S BOE ， =1 2k， S AOB=S梯形ABED=1 2（ + 3 ）（t1 3t）=8， 解得，k=6 故选 A 5.【答案】 C 【解析】【解答】解：如图，过点 B 作 BEy 轴于 E，过点 D 作 DFy 轴于 F， 在正方形 ABCD 中，AB=AD，BAD=90， BAE+DAF=90， DAF+ADF=90， BAE=ADF， 在 ABE 和 DAF 中， ， ABEDAF（AAS）， AF=BE，DF=AE， 正方形的边长为 2
19、，B（6 5， 11 5 ）， BE=6 5 ， AE=2 2 (6 5) 2=8 5 ， OF=OE+AE+AF=11 5 +8 5+ 6 5=5， 点 D 的坐标为（8 5 ， 5）， 顶点 D 在反比例函数 y= （x0）的图象上， k=xy=8 55=8 故选：C 6.【答案】 C 【解析】【解答】解：设矩形 ABCD 中，AB=2a，AD=2b 矩形 ABCD 的周长始终保持不变， 2（2a+2b）=4（a+b）为定值， a+b 为定值 矩形对角线的交点与原点 O 重合 k= 1 2 AB 1 2 AD=ab， 又a+b 为定值时，当 a=b 时，ab 最大， 在边 AB 从小于 A
20、D 到大于 AD 的变化过程中，k 的值先增大后减小 故选：C 7.【答案】 D 【解析】【解答】解：由题意得，点 C 的坐标（t，1 ）， 点 B 的坐标（t， ）， BC= + 1 ， 则1 2（ + 1 ）t=3， 解得 k=5， 故选：D 8.【答案】 C 【解析】【解答】解：设 P（a，0），a0， A 和 B 的横坐标都为 a，OP=a， 将 xa 代入反比例函数 y 6 中得：y 6 ， A（a， 6 ）； 将 xa 代入反比例函数 y 4 中得：y 4 ， B（a， 4 ）， ABAP+BP 6 + 4 10 ， 则 S ABC 1 2 ABOP 1 2 10 a5 故答案为：
21、C. 9.【答案】 C 【解析】【解答】解：如图，作 EFOB 于 F，AGOB 于 G， 设 E（m，n）， OF=m，EF=n， OAB 为等腰直角三角形， ABO=45， EFOB， EF=BF=n， OB=m+n， AG=1 2OB= 1 2（m+n）， 一次函数 y=1 7x+ 4 7与 x 轴交于 C 点， C（4，0）， BC=m+n+4， S AED=S DOC ， S EBC=S ABO ， 1 2OBAG= 1 2BCEF，即 1 2 （m+n） 1 2（m+n）= 1 2（m+n+4）n， 整理得，m2=n2+8n， 点 E 是直线 y=1 7x+ 4 7上的点， n=1
22、 7m+ 4 7 ， 得出 m=47n， 代入 m2=n2+8n 化简得，3n24n+1=0 解得 n=1 或 n=1 3 ， m=3 或 m=47 30（舍去）， E（3，1）， 反比例函数 y= （k0）的图象过 E 点， k=mn=3 故选 C 10.【答案】 D 【解析】【解答】解：如图连接 OC， BC 是直径， AC=AB， S ABO=S ACO=3， S BCO=6， A 与 x 轴相切于点 B， CBx 轴， S CBO= 2 ， k=12， 故选 D 11.【答案】 D 【解析】【解答】设 OA=3a，则 OB=4a，设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，则根据题意得：3
23、 + = 0 = 4 )，解 得： = 4 3 = 4 )，则直线 AB 的解析式是 y=4 3x+4a， 直线 CD 是AOB 的平分线，则 OD 的解析式是 y=x根据题意得： = = 4 3 + 4 )，解得： = 12 7 = 12 7 )则 D 的坐标是（12 7 ，12 7 ）， OA 的中垂线的解析式是 x=3 2，则 C 的坐标是（ 3 2， 3 2），则 k= 9 4 2以 CD 为边的正方形的面积为2 7， 2（12 7 3 2） 2=2 7，则 a 2=28 9 ， k=9 4 28 9 =7故选 D 12.【答案】 D 【解析】【解答】解：过点 A 作 x 轴的垂线，与
24、 CB 的延长线交于点 E， A，B 两点在反比例函数 y=3 的图象上且纵坐标分别为 3，1， A，B 横坐标分别为 1，3， AE=2，BE=2， AB=22 ， S菱形ABCD=底高=222=42 ， 故选 D 13.【答案】 C 【解析】【解答】解：解方程组 = + = 1 )得：x2bx+1=0， 直线 y=x+b 与反比例函数 y=1 的图象有 2 个公共点， 方程 x2bx+1=0 有两个不相等的实数根， =b240， b2，或 b2， 故选 C 14.【答案】12 2 33 【解析】【解答】解：ACB=90，BC=4， B 点纵坐标为 4， 点 B 在反比例函数 y= 12 的
25、图象上， 当 y=4 时，x=3，即 B 点坐标为（3，4）， OC=3 在 Rt ABC 中，ACB=90，A=30，BC=4， AB=2BC=8，AC= 3 BC=4 3 ，OA=ACOC=4 3 3 设 AB 与 y 轴交于点 D ODBC， = ，即 43;3 43 = 4 ， 解得，OD=4 3 ， 阴影部分的面积= 1 2 （OD+BC）OC=12 3 2 3 ， 故答案为：12 3 2 3 15.【答案】6 【解析】【解答】解：点 A、B 是双曲线 y=4 上的点，分别经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，
26、S1+S2=4+412=6 故答案为 6 【分析】欲求 S1+S2 ， 只要求出过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即 可，而矩形面积为双曲线 y=4 的系数 k，由此即可求出 S1+S2 16.【答案】2k 49 4 【解析】【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为 A 过点 A（1，2）的反比例函数解析式为 y= 2 ，k2 随着 k 值的增大，反比例函数的图象必须和线段 BC 有交点才能满足题意， 经过 B（2，5），C（6，1）的直线解析式为 y=x+7，由 * = + 7 = ，得：x27x+k=0 根据 0，得：k 49 4 综
27、上可知：2k 49 4 故答案为：2k 49 4 17.【答案】1+5 【解析】【解答】如图，点 A 坐标为（2，2）， k=22=4， 反比例函数解析式为 y=-4 ， OB=AB=2， OAB 为等腰直角三角形， AOB=45， PQOA， OPQ=45， 点 B 和点 B关于直线 l 对称， PB=PB，BBPQ， BPQ=OPQ=45，BPB=90， BPy 轴， 点 B的坐标为（-4 ，t）， PB=PB， t2=|-4 |= 4 ， 整理得 t22t4=0， 解得 t1=1+5 ，t2=15（舍去）， t=1+5 故答案为：1+5 18.【答案】;1 :1 【解析】【解答】解：过点
28、 F 作 FDBO 于点 D，EWAO 于点 W， = 1 ， = 1 ， MEEW=FNDF， = ， = 1 ， 设 E 点坐标为：（x，my），则 F 点坐标为：（mx，y）， CEF 的面积为：S1= 1 2 （mxx）（myy）= 1 2 （m1） 2xy， OEF 的面积为：S2=S矩形CNOMS1S MEOS FON ， =MCCN 1 2 （m1） 2xy 1 2 MEMO 1 2 FNNO， =mxmy 1 2 （m1） 2xy 1 2 xmy 1 2 ymx， =m2xy 1 2 （m1） 2xymxy， = 1 2 （m 21）xy， = 1 2 （m+1）（m1）xy，
29、 1 2 = 1 2(;1) 2 1 2(;1)(:1) = ;1 :1 故答案为： ;1 :1 19.【答案】（ 9 4 ，0） 【解析】【解答】解：正方形的顶点 A（m，2）， 正方形的边长为 2， BC=2， 而点 E（n， 2 3 ）， n=2+m，即 E 点坐标为（2+m， 2 3 ）， k=2m= 2 3 （2+m），解得 m=1， E 点坐标为（3， 2 3 ）， 设直线 GF 的解析式为 y=ax+b， 把 E（3， 2 3 ），G（0，2）代入得 * 3 + = 2 3 = 2 ， 解得 * = 8 9 = 2 ， 直线 GF 的解析式为 y= 8 9 x2， 当 y=0 时， 8 9 x2=0，解得 x= 9 4 ， 点 F 的坐标为（ 9 4 ，0） 20.【答案】3 【解析】【解答】解：设 P（0，b）， 直线 ABx 轴， A，B 两点的纵坐标都为 b，而点 A 在反比例函数 y=4 的图象上， 当 y=b，x=4 ， 即 A 点坐标为（ 4 ， b）， 又点 B 在反比例函数 y=2 的图象上， 当 y=b，x=2 ， 即 B 点坐标为（ 2 ， b）， AB=2 （ 4 ）= 6 ， S ABC=1 2ABOP= 1 2 6 b=3 故答案为：3
