1、21数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法学习目标学习目标1.通过实例，了解数列的概念通过实例，了解数列的概念2理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然 规律的数学模型，了解数列的几种分类规律的数学模型，了解数列的几种分类3理解数列的通项公式、数列的递推公式和数理解数列的通项公式、数列的递推公式和数列与函数的关系列与函数的关系课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练2.1数数列列的的概概念念与与简简单单表表示示法法课前自主学案课前自主学案1前前5个正整数的倒数排成一列：个正整数的倒数排成一列：_2函数的基本表示方法有函数的基本表示方法有_、_和和_
2、.3集合的列举法的一般形式为集合的列举法的一般形式为a，b，c，d，；集合的元素具有集合的元素具有_、_、_解析法解析法列表法列表法图象法图象法确定性确定性互异性互异性无序性无序性 温故知新知新盖能知新盖能1数列及其有关概念数列及其有关概念(1)数列：按照一定数列：按照一定_排列着的一列数称为数排列着的一列数称为数列列(2)项：数列中的项：数列中的_叫做这个数列的项，叫做这个数列的项，第第1项通常也叫做项通常也叫做_，若是有穷数列，最后，若是有穷数列，最后一项也叫做一项也叫做_顺序顺序每一个数每一个数首项首项末项末项1两个数列相同应满足什么条件？两个数列相同应满足什么条件？提示：提示：两个数列
3、相同必须同时满足两个条件：两个数列相同必须同时满足两个条件：两个数列中各数相同；各数的排列次序相同两个数列中各数相同；各数的排列次序相同思考感悟思考感悟2数列的表示数列的表示数列的一般形式可以写成数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为简记为_，这里，这里n是是_3数列的分类数列的分类(1)按项的个数分类按项的个数分类an项数项数类别类别含义含义_数列数列项数有限的数列项数有限的数列_数列数列项数无限的数列项数无限的数列有穷有穷无穷无穷a4a3(231)459，【解】a10，an1an(2n1)，(1)写出数列的第4项和第6项；用观察法求数列的通项公式21数列的概念与简单表示法a5
4、a4(241)9716.2是否所有的数列都有通项公式？3理解数列的通项公式、数列的递推公式和数列与函数的关系【思路点拨】可通过证an1an0来证明结论递推公式与通项公式一样，是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数去替换递推公式中的n，便可求出数列中的各项但并不是所有数列都有递推公式，有的数列的递推公式也未必唯一从第2项起，每一项都_它的前一项的数列21数列的概念与简单表示法21数列的概念与简单表示法根据数列的前几项写出它的一个通项公式，关键在于观察、分析数列的前几项的特征，找到数列的构成规律为了发现数列的构成规律，可把序号1,2,3，标在相应的项上，这样便于突出第n项an与项数n的关系，即突
5、出an如何用n表示(2)问49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？给出n的值，可求出数列中的第n项an(2)项：数列中的_叫做这个数列的项，第1项通常也叫做_，若是有穷数列，最后一项也叫做_(1)写出数列的第4项和第6项；(2)按项的变化趋势分类各数的排列次序相同(2)按项的变化趋势分类(2)判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项去列方程若方程解为正整数则是数列的一项；已知数列an满足条件：a10，an1an(2n1)，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式(1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可
6、以求出数列的相应项若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式1两个数列相同应满足什么条件？a4a3(231)459，各数的排列次序相同(2)按项的变化趋势分类按项的变化趋势分类类别类别含义含义递增递增数列数列从第从第2项起，每一项都项起，每一项都_它的前一项它的前一项的数列的数列递减递减数列数列从第从第2项起，每一项都项起，每一项都_它的前一项它的前一项的数列的数列常数常数列列各项各项_的数列的数列摆动摆动数列数列从第从第2项起，有些项项起，有些项_它的前一项，它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有些项小于它的前一项的数列大于大于小于小于相等相等大于大于4.数列的通项公
7、式数列的通项公式如果数列如果数列an的第的第n项与项与_之间的关系可以用之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的_序号序号n通项公式通项公式思考感悟思考感悟2是否所有的数列都有通项公式？是否所有的数列都有通项公式？提示：提示：不是数列的通项公式实际就是相应函数不是数列的通项公式实际就是相应函数的解析式，并不是所有的数列都有通项公式，就的解析式，并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样像并不是所有的函数都能用解析式表示一样5数列的递推公式数列的递推公式如果已知数列如果已知数列an的第的第1项项(或前几项或前
8、几项)，且从第二，且从第二项项(或某一项或某一项)开始的任一项开始的任一项an与它的前一项与它的前一项_(或前几项或前几项)(n2，nN*)间的关系可以用一个公间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的_公式公式an1递推递推课堂互动讲练课堂互动讲练考点突破考点突破用观察法求数列的通项公式用观察法求数列的通项公式根据数列的前几项写出它的一个通项公式，关键根据数列的前几项写出它的一个通项公式，关键在于观察、分析数列的前几项的特征，找到数列在于观察、分析数列的前几项的特征，找到数列的构成规律为了发现数列的构成规律，可把序的构成规律为了发现数列的
9、构成规律，可把序号号1,2,3，标在相应的项上，这样便于突出第标在相应的项上，这样便于突出第n项项an与项数与项数n的关系，即突出的关系，即突出an如何用如何用n表示表示【名师点评名师点评】此类问题主要靠观察此类问题主要靠观察(观察规律观察规律)、比较比较(比较已知数列比较已知数列)、归纳、转化、归纳、转化(转化为特殊转化为特殊数列数列)、联想、联想(联想常见的数列联想常见的数列)等方法来解决等方法来解决数列通项公式的应用数列通项公式的应用(1)数列的通项公式给出了第数列的通项公式给出了第n项项an与它的位置序与它的位置序号号n之间的关系，只要用序号代替公式中的之间的关系，只要用序号代替公式中
10、的n，就可以求出数列的相应项就可以求出数列的相应项(2)判断某数值是否为该数列的项，需假定它是判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项去列方程若方程解为正整数则是数数列中的项去列方程若方程解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项该数列的一项 已知数列已知数列an的通项公式为的通项公式为an3n228n.(1)写出数列的第写出数列的第4项和第项和第6项；项；(2)问问49是否是该数列的一项？如果是，应是哪是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？一项？68是否是该数列的一项呢？是否是该数列的一项呢？提示：不是数列的通项
11、公式实际就是相应函数的解析式，并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样提示：两个数列相同必须同时满足两个条件：两个数列中各数相同；(1)写出数列的第4项和第6项；21数列的概念与简单表示法(2)判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项去列方程若方程解为正整数则是数列的一项；根据数列的前几项写出它的一个通项公式，关键在于观察、分析数列的前几项的特征，找到数列的构成规律为了发现数列的构成规律，可把序号1,2,3，标在相应的项上，这样便于突出第n项an与项数n的关系，即突出an如何用n表示从第2项起，有些项_它的前一项，有些项小于它的前一项的数列【解】a10，a
12、n1an(2n1)，从第2项起，有些项_它的前一项，有些项小于它的前一项的数列(2)按项的变化趋势分类a4a3(231)459，1前5个正整数的倒数排成一列：_已知数列an满足条件：a10，an1an(2n1)，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式(1)写出数列的第4项和第6项；a4a3(231)459，3理解数列的通项公式、数列的递推公式和数列与函数的关系故该数列的一个通项公式是an(n1)2.(2)按项的变化趋势分类递推公式与通项公式一样，是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数去替换递推公式中的n，便可求出数列中的各项但并不是所有数列都有递推公式，有的数列的递推公式也未必唯一用观察
13、法求数列的通项公式(1)写出数列的第4项和第6项；2数列的通项公式和递推公式递推公式与通项公式一样，是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数去替换递推公式中的n，便可求出数列中的各项但并不是所有数列都有递推公式，有的数列的递推公式也未必唯一提示：不是数列的通项公式实际就是相应函数的解析式，并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样如果数列an的第n项与_之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的_递推公式与通项公式一样，是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数去替换递推公式中的n，便可求出数列中的各项但并不是所有数列都有递推公式，有的数列的递推公式也
14、未必唯一互动探究若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；各数的排列次序相同互动探究互动探究若本例中的条件不变，若本例中的条件不变，(1)试写出该数试写出该数列的第列的第3项和第项和第8项；项；(2)问问20是不是该数列的一项？是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？若是，应是哪一项？数列的函数性质数列的函数性质数列是一种特殊的函数，函数问题的解决方法同数列是一种特殊的函数，函数问题的解决方法同样适用于数列问题，不过要注意样适用于数列问题，不过要注意nN*，否则易，否则易出现错误出现错误【思路点拨思路点拨】可通过证可通过证an1an0来证明来证明结论结论变式训练变式训练1若数列若数
15、列an的通项公式为的通项公式为ann25n4.试问试问n为何值时，为何值时，an有最小值？并求出最小值有最小值？并求出最小值递推公式的应用递推公式的应用递推公式与通项公式一样，是关于项数递推公式与通项公式一样，是关于项数n的恒等式，的恒等式，用符合要求的正整数去替换递推公式中的用符合要求的正整数去替换递推公式中的n，便可，便可求出数列中的各项但并不是所有数列都有递推求出数列中的各项但并不是所有数列都有递推公式，有的数列的递推公式也未必唯一公式，有的数列的递推公式也未必唯一【解】a10，an1an(2n1)，如果已知数列an的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项
16、_(或前几项)(n2，nN*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的_公式(2)问49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？根据数列的前几项写出它的一个通项公式，关键在于观察、分析数列的前几项的特征，找到数列的构成规律为了发现数列的构成规律，可把序号1,2,3，标在相应的项上，这样便于突出第n项an与项数n的关系，即突出an如何用n表示若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式试问n为何值时，an有最小值？并求出最小值2数列的通项公式和递推公式若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项从第2项起，有些项_它的前一项，有些项
17、小于它的前一项的数列如果已知数列an的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项_(或前几项)(n2，nN*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的_公式(1)数列：按照一定_排列着的一列数称为数列从第2项起，每一项都_它的前一项的数列(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？a2a1(211)011，从第2项起，有些项_它的前一项，有些项小于它的前一项的数列21数列的概念与简单表示法从第2项起，每一项都_它的前一项的数列1数列的概念与简单表示法已知数列an满足条件：a10，an1an(2n1)，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式
18、a3a2(221)134，变式训练1若数列an的通项公式为ann25n4.a2a1(211)011，【名师点评】此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法来解决用观察法求数列的通项公式(2)按项的变化趋势分类a4a3(231)459，递推公式与通项公式一样，是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数去替换递推公式中的n，便可求出数列中的各项但并不是所有数列都有递推公式，有的数列的递推公式也未必唯一根据数列的前几项写出它的一个通项公式，关键在于观察、分析数列的前几项的特征，找到数列的构成规律为了发现数列的构成规律，可把序号1,2
19、,3，标在相应的项上，这样便于突出第n项an与项数n的关系，即突出an如何用n表示 已知数列已知数列an满足条件：满足条件：a10，an1an(2n1)，写出它的前，写出它的前5项，并归纳出数列的一个项，并归纳出数列的一个通项公式通项公式【思路点拨思路点拨】题中的两个数列都是用递推公式题中的两个数列都是用递推公式给出的，已知给出的，已知a1可递推出可递推出a2，依此类推，可求，依此类推，可求出它的任意一项出它的任意一项【解解】a10，an1an(2n1)，a2a1(211)011，a3a2(221)134，a4a3(231)459，a5a4(241)9716.故该数列的一个通项公式是故该数列的
20、一个通项公式是an(n1)2.【名师点评名师点评】根据递推公式写出数列的前几项，根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可另外，解答这类问题时还需注意：若知道的可另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式公式整理成用后面的项表示前面的项的形式1数列与函数的联系数列与函数的联系数列是特殊的函数，从函数观点看，数列可以看数列是
21、特殊的函数，从函数观点看，数列可以看成是以正整数集成是以正整数集N*(或它的有限子集或它的有限子集1,2，n)为定义域的函数为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，其大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，其图象为一组离散的点图象为一组离散的点方法感悟方法感悟2数列的通项公式和递推公式数列的通项公式和递推公式通项公式、递推公式是反映数列内在规律的重要通项公式、递推公式是反映数列内在规律的重要公式，但并不是所有的数列都有通项公式或递推公式，但并不是所有的数列都有通项公式或递推公式如果一个数列仅仅给出前面有限的几项，公式如果一个数列仅仅给出前面有限的几项，那么得到的通项公式或递推公式并不是唯一的，那么得到的通项公式或递推公式并不是唯一的，只要符合这几项的公式都可以只要符合这几项的公式都可以通项公式与递推公式对比表如下：通项公式与递推公式对比表如下：不同点不同点相同点相同点通项公通项公式式给出给出n的值，可求的值，可求出数列中的第出数列中的第n项项an可确定一个数列，可确定一个数列，求出数列中的任意求出数列中的任意一项一项递推公递推公式式由首项由首项(或前几项或前几项)的值，通过一次的值，通过一次(或或多次多次)运算，逐步地运算，逐步地求出第求出第n项项an
