1、 1 2016 2017下学期高一期末考试 数学试卷 本试卷分第 I 卷 (选择题 )和第 II卷 (非选择题 )两部分，满分 150分，考试时间为 120分钟。 第 I卷（ 60 分） 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据诱导公式可得 ， 故选 C. 2. 一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长 ,则其圆心角的弧度数为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 如图， 等边三角形 是半径为的圆 的内接三角形，则线段 所对的圆心角 ，作，垂足为
2、，在 中， ， ， ， ， ，由弧长公式 ，得 故选 C. 3. 2014年 3月，为了调查教师对第十二届全国人民代表大会第二次会议的了解程度，抚顺市拟采用分层抽样的方法从 三所不同的中学抽取 60名教师进行调查。已知学校中分别有 180、 270、 90名教师，则从 学校中应抽取的人数为（ ） 2 A. 10 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】 A 【解析 】 根据分层抽样的特征，从 学校中应抽取的人数为 ，故选 A. 点睛 ： 本题主要考查了分层抽样方法及其应用，分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配，这是分层抽样的最主要的特点，首先各确定分层抽样的个数，分层后，各层的抽
3、取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取，牢记分层抽样的特点和方法是解答的关键，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力 4. 已知变量 与 正相关，且由观测数据算得样本平均数 ，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】试题分析：将 逐一代入检验可知答案 B满足，故应选 B. 考点：线性回归方程及过定点的性质 5. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分 100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是 86，乙班学生成绩的中位数是 83，则 的值为 ( ） A. 9
4、 B. 10 C. 11 D. 13 【答案】 D 【解析】试题分析：由题意可得 ,解得 ; ,解得 故 D正确 考点：平均数 ,中位数 3 6. 某学校为了解高一年级 l203 名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40 的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔 k为 ( ) A. 40 B. 30.1 C. 30 D. 12 【答案】 C 【解析】 了解 名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为 的样本， 除以 不是整数， 先随机的去掉 个人，再除以 ，得到每一段有 个人，则分段的间隔 为 ， 故选 C. 7. 阅读如图所示的程序框图，输出结果 s 的值为 A. B.
5、 C. D. 【答案】 A 【解析】 由流程图可知：该程序的功能为计算， 故选 A. 8. 从 1,2,3,4中任取 2个不同的数 ,则取出的 2个数之差的绝对值为 2的概率是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 4 【解析】试题分析：任取两个数可能出现的情况为（ 1,2）、（ 1,3）、（ 1,4）、（ 2,3）、（ 2,4）、（ 3,4）； 符合条件的情况为（ 1,3）、（ 2,4），故 . 考点：古典概型概率 9. 若 |a| 2sin 15 ， |b| 4cos 15 ，向量 a 与 b 的夹角为 30 ，则 a b的值是 （ ） A. B. C. 2 D. 【答案】 B 【
6、解析】 10. 已知 则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 因为 ， ， 所以 ， ， 又因为 ， ， 所以 ， ， 故， 故选 B. 11. 已知函数 的最大值为 3， 的图像在轴上的截距为 2，其相邻两对称轴间的距离为 1，则 （ ） 5 A. 0 B. 100 C. 150 D. 200 【答案】 D 【解析】解：由题意 ，所以。 12. ?ABC的外接圆的圆心为 O，半径为 1，若 ，且 ，则向量 在向量 方向上的射影的数量为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】 A 点睛 ： 本题考查向量加法的几何意义，向量投影的计算，得出 是以 为直角的直角三角形
7、是关键 ； 利用向量加法的几何意义 得出 是以 为直角的直角三角形由题意画出图形，借助图形求出向量 在向量 方向上的投影 . 第 II卷（非选择题） 二填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13. 已知向量 (2,1)， (x， 2)，若 ，则 =_. 【答案】 (-2， -1) 【解析】 由 得 ： ， 即 ， 则 ， 故答案为. 14. 用秦九韶算法计算 f(x) x6 12x5 60x4 160x3 240x2 192x 64当 x 2时的值时，6 的值为 _ 【答案】 80 15. 在边长为 2的正三角形 ABC内任取一点 P，则使点 P到三个顶点的距离至少有一个小于
8、 1的概率是 _ 【答案】 【解析】试题分析：以三个顶点为圆心，以 1为半径作圆，把三角形分为四 部分，中间部分到三个顶点的距离均大于 1，三个角部分面积为： ，正三角形 ABC面积为： ，使点 P 到三个顶点的距离至少有一个小于 1的概率为 考点：几何概型 【方法点睛】几何概型是一种特殊的概率模型，解决几何概型的求概率问题，关键是要构造出随机事件的几何图形利用图形的几何度量求随机事件的概率，通常包括与长度有关的几何概型、与角有关的几何概型、面积型几何概型、体积型几何概型等如何转化为数学模型来求解是一个难点 16. 三角形 ABC是锐角三角形，若角 终边上一点 P的坐标为 (sin A cos
9、 B， cos A sin B)，则 的值是 _. 【答案】 -1 【解析】 因为 为锐角三角形，所以 ，所以，所以 ， 同理 ，即点位于第四象限，所以 ， 故答案为 . 三解答题 :本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 7 17. 已知角 为第三象限角， ,若 ，求的值 . 【答案】 【解析】 试题分析 ： 利用诱导公式化简可得 ， 同时 ， 故而可得最后结果 . 试题解析： ， ，从而 ， 又 为第三象限角，则 ， 即 的值为 . 18. 我国是世界上严重缺水 的国家之一，城市缺水问题较为突出 .某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理
10、 (即确定一个居民月均用水量标准 0? 3.5，用水量不超过 a的部分按照平价收费，超过 a的部分按照议价收费 ).为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量 (单位 :t)，制作了频率分布直方图 . (1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整； (2)用样本估计总体，如果希望 80%的居民每月的用水量不超出标准 0? 3.5，则月均用水量的最低标准定为多少吨，请说明理由； (3） 从频率分布直方图中估计该 100位居民月均用水量的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值代表 ). 【答案】 (1)答案见解析； (2)2.5吨，理由见解析；
11、 (3) . 【解析】 试题分析： () 根据题意确定出 用户的 ，补全频率分布直方图即可；() 月均用水量的最低标准应定为 吨，理由为：样本中月均用水量不低于 吨的居民有 位，占样本总体的 ，根据样本估计总体作出解释即可； () 找出居民用水量8 的众数，中位数，求出平均数即可 . 试题解析： () () 月均用水量的最低标准应定为 2.5吨 .样本中月均用水量不 低于 2.5吨的居民有 20位，占样本总体的 ，由样本估计总体，要保证 80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为 2.5吨 . () 这 100为居民的月均用水量的平均数为： . 19. 已知以点 为圆心的圆
12、与直线 相切，过点 的动直线与圆 相交于 两点 . （ 1）求圆 的方程； （ 2）当 时，求直线的方程 . 【答案】 (1) ； (2) 或 . 【解析】 试题分析 ： （ 1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（ 2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直 线方程，再根据点到直线的距离9 公式确定直线方程 . 试题解析： （ 1） ；（ 2） 或 . 试题解析：（ 1）由题意知 到直线 的距离为圆 半径 圆 的方程为 （ 2）设线段 的中点为 ，连结 ，则由垂径定理可知 ，且 ，在 中由勾股定理易知 当动直线的斜率不存在时，直线的方程为 时，显然满足题意； .
13、当动直线的斜率存在时，设动直线的方程为： 由 到动直线的距离为 1得 或 为所求方程 . 点睛 ： 本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 ； 当直线与圆 相交时，弦长的一半，圆心到直线的距离以及圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理得参数，当所求直线只有一个结果时，一定要注意斜率不存在的情形 . 20. 一个包装箱内有 6 件产品，其中 4件正品， 2件次品。现随机抽出两件产品， 求恰好有一件次品的概率。（ 2）求都是正品的概率。 【答案】 (1) ； (2) . 【解析】 试题分析 ： （ 1）所有的取法共有 种，而恰好有一件次品的取法有 种，由
14、此求得恰好有一件次品的概率；（ 2）所有的取法共有 种，而取出的 件产品都是正品的取法有种，由此求得取出的 件产品都是正品的概率 . 试题解析 ： 将六件产品编号， ABCD(正品 ),ef（次品） ,从 6件产品中选 2件，其包含的基本事件为：（ AB）（ AC）（ AD）（ Ae）（ Af）（ BC）（ BD）（ Be）（ Bf）（ CD）（ Ce）（ Cf）（ De）（ Df）（ ef） .共有 15 种， （ 1）设恰好有一件次品为事件 A，事件 A中基本事件数为： 8，则 P（ A） （ 2） 设都是正品为事件 B，事件 B中基本事件数为： 6，则 P（ B） 10 21. 已知向量 ，记函数 .求： （ I）函数 的最小值及取得最小值时 的集合； （ II）函数 的单调递增区间 . 【答 案】 () 时最小值 ； () 。 【解析】试题分析：（ 1）根据平面向量的坐标运算得 ，再结合二倍角的余弦公式和辅助角公式化简，得到 ，最后根据正弦函数最值的结论，可得 f（ x）的最小值及取最小值时 x的集合；（ 2）根据（ 1）化简得的表达式，列出不等式 （ kZ ），解此不等式再将它变成区间，即可得到函数 f （ x）的单调递增区间 试题解析：（ ）由题意： ， 所以， 因此
