1、 1 宣威五中 2018年春季学期期末试卷高一文科数学 一、单选题 1.1.已知等差数列 中，若 ，则它的前 项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 分析：利用等差数列的性质求和 . 详解：由题得 故答案为： D 点睛： (1)本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和转化能力 .(2) 等差数列 中，如果 ,则 ,特殊地， 时，则， 是 的等差中项 . 2.2.在 中， ，分别为角 ， ， 所对的边，若 ，则 （ ） A. 一定是锐角三 角形 B. 一定是钝角三角形 C. 一定是斜三角形 D. 一定是直角三角形 【答案】 D 【解析】 【详解】 分
2、析 ： 已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到， 确定出 C为直角，即可得到三角形为直角三角形 . 解析 ： 已知 ， 利用正弦定理化简得 ： ， 整理得 ： ， ， ， 即 . 则 为直角三角形 . 故选 ： D. 点睛：利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路 (1)“ 角化边 ” ：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判 断三角形的形状 (2)“ 边化角 ” ：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通2 过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结
3、论 3.3.已知向量 满足 ，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】 B 【解析】 分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果 . 详解：因为 所以选 B. 点睛：向量加减乘： 4.4.“ 十二平均律 ” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献 .十二 平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为 f， 则第八个单音的频率为 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 分析 ： 根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用
4、等比数列的相关性质可解 . 详解 ： 因为每一个单音与前一个单音频率比为 ， 所以 ， 又 ， 则 故选 D. 点睛 ： 此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列 . 等比数列的判断方法主要有如下两 种： （ 1） 定义法，若 （ ） 或 （ ）， 数列 是等比数列 ； 3 （ 2） 等比中项公式法，若数列 中 ， 且 （ ）， 则数列 是等比数列 . 5.5.直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 因为 的底边 的长是定值，所以三角形面积的取值范围转化为点 P到直线 的
5、距离，即圆上动点到直线的距离问题 . 【详解】 令 得 ，令 得 ，所以 ， ,圆心 到直线 的距离 ，所以 P 到直线 距离 满足 ，即，又三角形面积 ， 所以 ，故选 A. 【点睛】 圆上的动点到直线的距离问题，一般可以转化为该圆圆心到直线的距离，其范围为圆心到直线的距离加减半径，即 . 6.6.在 中 ,点 在线段 上 ,且 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 三角形所在的平面上，取 为基底，利用向量的加减法可以表示出向量 ,从而求出. 【详解】 因为 ,所以 ，从而 ，故选 B. 【点睛】 平面向量的线性运算问题，一般只需选定一组基底，其余的向量都利用
6、这组基底表示出 来，即可解决相关问题 . 4 7.7.在 中， ， ， ，则 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 分析：先根据二倍角余弦公式求 cosC,再根据余弦定理求 AB. 详解：因为 所以 ，选 A. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的 . 8.8.已知点 ，若动点 的坐标满足 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析 】 作出可行域，根据可行域的形状，确定 的最小值 . 【详解】 作出可行域如图： 观察图象可知， 最小距离为点 A到直线 的距离
7、，即，故选 C. 【点睛】 有关可行域外一定点与可行域内动点距离的最值，一般是连接可行域的顶点所得线段的长或定点到可行域边界的距离 . 9.9.若不等式 的解集为 ，则 的值为（ ） 5 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 分析：根据 “ 三个二次 ” 的关系求解，先由解集得到不等式系数的值，然后再求比值 详解 ： 不等式 的解集为 ， 和 是方程 的解，且 ， ，解得 ， 故选 C 点睛：解一元二次不等式时要结合 “ 三个二次 ” 的关系进行，借助图象的直观性可容易的得到不等式的解集，同时也要注意不等式解集的端点值是不等式对应的二次函数的零点、也是一元二次方程的根 10.10.在
8、由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 在 等 比 数 列 中 ， 由 ，得 ， 所以 ， 则， 故选 A 11.11.若正数 a， b满足 ，则 的最小值为（ ） A. 1 B. 6 C. 9 D. 16 【答案】 B 【解析】 分析 ： 由 得 ， 由此可得 ， ，将 代入所求值的式子中，利用基本不等式可求得最小值 6 详解 ： 正数 满足 ， ，解得 同理 ， 当且仅当 ， 即 时等号成立 的最小值为 6 故选 B 点睛：利用基本不等式求最值的类型及方法 (1)若已经满足基本不等式的条件 ， 则直接应用基本不等式求解 (2)若不直接满
9、足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有： “ 1” 的代换作用 ， 对不等式进行分 拆、组合、添加系数等 12.12.如图，在平面四边形 ABCD中， ， ， ， . 若点 E为边 CD 上的动点，则 的最小值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据条件，选取 为基底，设 ,即可表示出 ，利用向量的数量积公式得到关于的函数，求其最值即可 . 【详解】 由题意知 , ,所以 设 , 因为 ， 所以 7 所以当 时， 有最小值 ,故选 C. 【点睛】 本题考查了向量的线性运算及向量的数量积运算，属于难 题，解题关键是根据
10、平面几何的得出线段的长及两边的夹角 . 二、填空题 13.13.直线 与直线 互相平行，则实数 _ 【答案】 2 【解析】 ， 解得 。 14.14.在平面直角坐标系 中， 为直线 上在第一象限内的点， ，以 为直径的圆 与直线交于另一点 若 ，则点 的横坐标为 _ 【答案】 3 【解析】 分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果 . 详解：设 ，则由圆心 为 中点得 易得 ，与 联立解得点 的横坐标 所以 .所以 ， 由 得 或 ， 因为 ，所以 点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问
11、题 .通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法 . 15.15. 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则 的面积为 _ 8 【答案】 【解析】 分析：利用正弦定理化已知条件中的边为角，然后计算出 角，再结合余弦定理求得 ，从而可得面积 详解： ， ， ， ，又 ， ，即 ， ， 故答案为 点睛：解三 角形问题，通常需要进行边角关系互化，在等式两边是关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式时可用正弦定理相互转化，如果题中是余弦或三边（平方）的关系可能要用余弦定理进行转化变形解题时选取恰当的公式是关键 16.16.已知数列 的前 项和为 ，且数列 为等差数
12、列 .若 ， ，则_. 【答案】 3027 【解析】 分析 ： 由数列 为等差数列，可设 ， 化为 ， 由 ，得 且 ， 联立解得 ， 进而可得结果 . 详解 ： 数列 为等差数列， 可设 ， 化为 ， ， 联立解得： ， 则 ， 故答案为 . 点睛 ： 本题主 要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题 . 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 ，一般可以“ 知二求三 ” ，通过列方程组所求问题可以迎刃而解 . 三、解答题 9 17.17.设向量 ， 满足 及 ， （ ）求 ， 夹角的大小 （ ）求 的值 【答案】 (1) . (2) . 【解析
13、】 试题分析： (1)根据 (3a 2b)2 7,9|a|2 4|b|2 12ab 7,可得 ab ,再根据数量积的定义可求出 cos ,进而得到 夹角 . (2)先求 (3a b)2 9|a|2 6ab |b|2 9 3 1 13，从而得到 |3a b| . (1)设 a与 b夹角为 ， (3a 2b)2 7,9|a|2 4|b|2 12ab 7，而 |a| |b| 1， ab ， |a|b|cos ，即 cos 又 0 ， ， a ， b所成的角为 . (2)(3a b)2 9|a|2 6ab |b|2 9 3 1 13， |3a b| . 考点：考查了向量的数量积，以及利用数量积求模，夹
14、角等知识 . 点评：掌握数量积的定义： , 求模可利用 : 来求解 . 18.18.在 中， ，分别为角 ， ， 所对的边长，已知 的周长为 ，且 的面积为 . （ ）求边 的长； （ ）求角 的余弦值 . 【答案】 ()1 ； () . 【解析】 分析：（ ）由三角形周长得到三边之和，已知等式利用正弦定理化简得到关系式，两式联立求出 AB的长即可； （ ）利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积代入求出 ，利用余弦定理表示出 . 解析：（ ）在 中， ，由正弦定理得： 10 又 的周长为 ，即 由 易得： ，即边 的长为 1. （ ）由（ ）知： ， 又 ，得 ， . 点睛： 考查了正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键 . 19.19.已知点 在圆 上运动，且存在一定点 ，点 为线段 的中点 . （ 1）求点 的轨迹 的方程； （ 2）过 且斜率为 的直线与点 的轨迹 交于不同的两点 ，是否存在实数 使得，
