1、 1 2016-2017 学年河北省衡水市高一（下）期末数学试卷（理科）（ A卷） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=1， 2， 3， 4， B=y|y=3x 2， x A，则 A B=（ ） A 1 B 4 C 1， 3 D 1， 4 2设变量 x， y满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+5y 的最小值为（ ） A 4 B 6 C 10 D 17 3在 ABC中，如果 ， B=30 ， b=2，则 ABC的面积为（ ） A 4 B 1 C D 2 4已知点 A（ 1， 3）， B（ 4， 1），
2、则与向量 同方向的单位向量为（ ） A B C D 5已知等差数列 an中，前 n项和为 Sn，若 a2+a8=10，则 S9=（ ） A 36 B 40 C 42 D 45 6 a， b为正实数，若函数 f（ x） =ax3+bx+ab 1是奇函数，则 f（ 2）的最小值是（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 7若圆（ x 3） 2+（ y+5） 2=r2上的点到直线 4x 3y 2=0 的最近距离等于 1，则半径 r 的值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 9 8函数 y=loga（ x+2） 1（ a 0， a 1）的图象恒过定点 A，若点 A在直线 mx+ny+1=0上，其中 m
3、 0， n 0，则 + 的最小值为（ ） A 3+2 B 3+2 C 7 D 11 9若 cos（ ） = ，则 sin2= （ ） A B C D 10如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边 BD 长为 2；侧视图为2 一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且 AB=BC=1，则此几何体的体积是（ ） A B C D 1 11已知等差数列前 n项和为 Sn且 S13 0， S12 0，则此数列中绝对值最小的项为（ ） A第 5项 B第 6 项 C第 7项 D第 8 项 12已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、 E 分别是边 AB、 BC 的中点，连接 DE 并延长
4、到点 F，使得 DE=2EF，则 ? 的值为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分把答案直接答在答题纸上 13已知关于 x的不等式 的解集是 则 a= 14在锐角 ABC中， AB=3， AC=4，若 ABC的面积为 3 ，则 BC 的长是 15实数 x， y满足 x2+y2+xy=1，则 x+y的最小值为 16已知数列 an中， a1=1， an=2an 1+2n（ n 2），则 an= 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知函数 f（ x） =4tanxsin（ x） cos（ x ） （ 1）求
5、 f（ x）的定义域与最小正周期； （ 2）讨论 f（ x）在区间 ， 上的单调性 18已知数列 an是首项为正数的等差数列， a1?a2=3， a2?a3=15 （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）设 bn=（ an+1） ?2 ，求数列 bn的前 n项和 Tn 19如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， ACB=90 BC=CC1=a， AC=2a 3 （ 1）求证： AB1 BC1； （ 2）求二面角 B AB1 C的正弦值 20已知圆 C的方程： x2+y2 2x 4y+m=0，其中 m 5 （ 1）若圆 C与直线 l： x+2y 4=0相交于 M， N两点，且 |MN|=
6、，求 m的值； （ 2）在（ 1）条件下，是否存在直线 l： x 2y+c=0，使得圆 上有四点到直线 l的距离为 ，若存在，求出 c的范围，若不存在，说明理由 21在 ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 A= ， b2 a2= c2 （ 1）求 tanC的值； （ 2）若 ABC的面积为 3，求 b的值 22已知函数 f（ x） =log4（ 4x+1） +2kx（ k R）是偶函数 （ 1）求 k的值； （ 2）若方程 f（ x） =m 有解，求 m的取值范围 4 2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高一（下）期末数学试卷（理科）（ A卷） 参考答案与
7、试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题 ，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=1， 2， 3， 4， B=y|y=3x 2， x A，则 A B=（ ） A 1 B 4 C 1， 3 D 1， 4 【考点】 1E：交集及其运算 【分析】 把 A中元素代入 y=3x 2中计算求出 y的值，确定出 B，找出 A与 B 的交集即可 【解答】 解：把 x=1， 2， 3， 4分别代入 y=3x 2得： y=1， 4， 7， 10，即 B=1， 4， 7， 10， A=1， 2， 3， 4， A B=1， 4， 故选： D 2设变量 x，
8、y满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+5y 的最小值为（ ） A 4 B 6 C 10 D 17 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】 作出不等式组表示的平面区域，作出直线 l0： 2x+5y=0，平移直线 l0，可得经过点（ 3， 0）时， z=2x+5y 取得最小值 6 【解答】 解：作出不等式组 表示的可行域， 如右图中三角形的区域， 作出直线 l0： 2x+5y=0，图中的虚线， 平移直线 l0，可得经过点（ 3， 0）时， z=2x+5y 取得最小值 6 故选： B 5 3在 ABC中，如果 ， B=30 ， b=2，则 ABC的面积为（ ） A 4 B 1 C D 2 【考点】
9、 HP：正弦定理 【分析】 在 ABC中，由正弦定理得到 a= c，结合余弦定理，我们易求出 b与 c的关系，进而得到 B与 C的关系，然后根据三角形内角和为 180 ，即可求出 A角的大小，再由 ABC的面积为 ，运算求得结果 【解答】 解：在 ABC 中，由 ，可得 a= c， 又 B=30 ，由余弦定理，可得： cosB=cos30= = = ，解得 c=2 故 ABC是等腰三角形， C=B=30 ， A=120 故 ABC的面积为 = ， 故选 C 4已知点 A（ 1， 3）， B（ 4， 1），则与向量 同方向的单位向量为（ ） A B C D 【考点】 96：平行向量与共线向量；
10、95：单位向量 【分析】 由条件求得 =（ 3， 4）， | |=5，再根据与向量 同方向的单位向量为求得结果 【解答】 解： 已知点 A（ 1， 3）， B（ 4， 1）， =（ 4， 1）（ 1， 3） =（ 3， 4），6 | |= =5， 则与向量 同方向的单位向量为 = ， 故选 A 5已知等差数列 an中，前 n项和为 Sn，若 a2+a8=10，则 S9=（ ） A 36 B 40 C 42 D 45 【考点】 85：等差数列的前 n项和 【分析】 由等差数列的性质可得： a1+a9=a2+a8=10，再利用求和公式即可得出 【解答】 解：由等差数列的性质可得： a1+a9=a2
11、+a8=10， 则 S9= = =45 故选： D 6 a， b为正实数，若函数 f（ x） =ax3+bx+ab 1是奇函数，则 f（ 2）的最小值是（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 【考点】 3L：函数奇偶性的性质 【分析】 由奇函数的性质和定义来建立等式，化简后根据条件用 a表示 b，代入 解析式后求出 f（ 2），再根据基本不等式求出最小值 【解答】 解：因为 f（ x） =ax3+bx+ab 1是奇函数， 所以 ，即 ， 由 a， b为正实数，所以 b= 0， 所以 f（ x） =ax3+ x， 则 f（ 2） =8a+ 2 =8（当且仅当 8a= ，即 a= 时取等号），
12、故选： C 7若圆（ x 3） 2+（ y+5） 2=r2上的点到直线 4x 3y 2=0 的最近距离等于 1，则半径 r 的值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 9 7 【考点】 J8：直线与圆相交的性质 【分析】 由题意可得，圆心（ 3， 5）到直线的距离 等于 r+1，利用点到直线的距离公式求得 r的值 【解答】 解：由题意可得，圆心（ 3， 5）到直线的距离等于 r+1， 即 | =r+1，求得 r=4， 故选： A 8函数 y=loga（ x+2） 1（ a 0， a 1）的图象恒过定点 A，若点 A在直线 mx+ny+1=0上，其中 m 0， n 0，则 + 的最小值为（ ） A
13、 3+2 B 3+2 C 7 D 11 【考点】 4H：对数的运算性质 【分析】 函数 y=loga（ x+2） 1（ a 0， a 1）的图象恒过定点 A（ 1， 1），可得 m+n=1于是 + =（ m+n） =3+ + ，再利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：函数 y=loga（ x+2） 1（ a 0， a 1）的图象恒过定点 A（ 1， 1）， 点 A在直线 mx+ny+1=0上，其中 m 0， n 0， m n+1=0，即 m+n=1 则 + =（ m+n） =3+ + 3+2 =3+2 ，当且仅当 n= m=2 时取等号 故选： A 9若 cos（ ） = ，则 sin2
14、= （ ） A B C D 【考点】 GF：三角函数的恒等变换及化简求值 【分析】 法 1 ：利用诱导公式化 sin2=cos （ 2 ），再利用二倍角的余弦可得答案 法 ：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得 sin +cos 的值，再平方，即得 sin2的值 【解答】 解：法 1 ： cos（ ） = ， 8 sin2=cos （ 2 ） =cos2（ ） =2cos2（ ） 1=2 1= ， 法 2 ： cos（ ） = （ sin +cos ） = ， （ 1+sin2 ） = ， sin2=2 1= ， 故选： D 10如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边 BD
15、长为 2；侧视图为一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且 AB=BC=1，则此几何体的体积是（ ） A B C D 1 【考点】 L!：由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体，画出其直观图，判断几何体的高，计算底面面积，代入体积公式计算 【解答】 解：由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体，其直观图如图： 根据三视图中正视图是一等腰直角三角形，且斜边 BD长为 2， 棱锥的高为 1， 底面直角梯形的底边长分别为 1、 2，高为 1， 底面面积为 = ， 几何体的体积 V= 1= 故选 A 9 11已知等差数列前 n项和为 Sn且 S13 0， S12 0，则此数列中绝对值最小的项为（ ） A第 5项 B第 6 项 C第 7项 D第 8 项 【考点】 85：等差数列的前 n项和； 8B：数列的应用 【分析】 由等差数列的性质可得 a6+a7 0， a7 0，进而得出 |a6| |a7|
