1、绪论第一章光辉灿烂的几何文化1（优选）绪论第一章光辉灿烂的几何文化2考核方式理论知识考查与实践能力考察相结合。理论知识考查与实践能力考察相结合。课堂内考察（听讲，参与和思考）于课堂外考察（课外作业）作为课堂内考察（听讲，参与和思考）于课堂外考察（课外作业）作为平时成绩共计平时成绩共计30%30%。期末考核占期末考核占70%70%；时间形式为期末集中考试的形式进行，考试时间；时间形式为期末集中考试的形式进行，考试时间120120分钟，完成一套试题。分钟，完成一套试题。3教学方式一、一、3 3 人一组，以课题加习题的形式向各小组下达学习任务，以小人一组，以课题加习题的形式向各小组下达学习任务，以小
2、组团队为单位参与组团队为单位参与“初等数学研究初等数学研究”课程的学习。课程的学习。二、分几何证明、计算、变换、作图、解题五个研究学习板块，三二、分几何证明、计算、变换、作图、解题五个研究学习板块，三周为一个学段完成一个板块。小组结合教材内容研究各自的课题和周为一个学段完成一个板块。小组结合教材内容研究各自的课题和习题，课堂上进行互动交流，主要介绍自己小组的研究成果，在交习题，课堂上进行互动交流，主要介绍自己小组的研究成果，在交流的过程中，有师生的提问和评议。流的过程中，有师生的提问和评议。三、每人撰写一篇关于初等几何的小论文。三、每人撰写一篇关于初等几何的小论文。4课题来源中国初等数学研究杂
3、志中国初等数学研究杂志初等数学研究作者初等数学研究作者:甘志国，图书馆有藏书甘志国，图书馆有藏书5光辉灿烂的几何文化 几何学是一门源远流长，多姿多彩的学科，几何学是一门源远流长，多姿多彩的学科，在人类的理性文明中，它是当之无愧的老大哥。在人类的理性文明中，它是当之无愧的老大哥。数千年来，不论在思想领域的突破上，在科学方数千年来，不论在思想领域的突破上，在科学方法论的创建上，几何学总是扮演着法论的创建上，几何学总是扮演着“开路先锋开路先锋”的角色。的角色。今天，几何学仍然是一门方兴未艾、蓬今天，几何学仍然是一门方兴未艾、蓬勃发展的学科，在整个数学体系中，几何一直是勃发展的学科，在整个数学体系中，
4、几何一直是一个重要的主角。一个重要的主角。题题 记记7本章提纲本章提纲一、几何的发展历史线索一、几何的发展历史线索二、几何学发展概述二、几何学发展概述 三、中学几何的逻辑结构三、中学几何的逻辑结构四、小结四、小结8一、几何的发展历史线索一、几何的发展历史线索经验几何经验几何（远古（远古元前元前600600年）年）论证几何论证几何（欧氏几何）（欧氏几何）演绎化演绎化（元前（元前600600年年 400 400年）年）积累了丰富的积累了丰富的经验，但未上经验，但未上升成系统理论升成系统理论埃及几何跟希腊逻辑埃及几何跟希腊逻辑方法相结合，以抽象方法相结合，以抽象化、逻辑化为特点化、逻辑化为特点非欧几
5、何非欧几何第第公设研究公设研究几何基础几何基础（公理几何）（公理几何）对古典公理体系的完善对古典公理体系的完善解析几何解析几何射影几何射影几何微分几何微分几何研究方法改变研究方法改变拓扑学拓扑学哥德堡七桥问题哥德堡七桥问题9画法几何画法几何仿射几何仿射几何代数几何代数几何解析几何解析几何(17(17世纪世纪)（坐标法）（坐标法）代数法代数法代数曲线代数曲线代数曲面代数曲面代数族代数族域上多胞形域上多胞形微分几何微分几何(19(19世纪世纪)（分析方法）（分析方法）张量分析张量分析微分流形、黎曼流形、复流形微分流形、黎曼流形、复流形大范围微分几何大范围微分几何射影几何射影几何(19(19世纪世纪
6、)（综合法、爱尔（综合法、爱尔兰根纲领代数法）兰根纲领代数法）特例特例应用应用10等高的三角形和等高的平行四边形的面积之比等于它们的底边之比。在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四边形叫做不规则四边形。半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同。合同公理：1-5彼此重合的东西是相等的。以上公理组满足和谐性、独立性、完备性。第四篇在它的16个命题里论述圆的内接和外切图形，如三角形、正方形、正五边形和正六边形。远在公元前3世
7、纪，古希腊亚历山大城的依茨都山尼就应用简单的几何知识和日光观察，对地球的大小作了一个初步的估计，他的计算结果化为现代单位，地球半径约为7270千米，比近代人造地球卫星测得的数据6378千米仅相差15%.因此这是几何代数法的又一个例子。当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角每一个被叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。把球面看作一类非欧几何的代表，并且把球面几何与拓扑学联系起来，这样球面几何的研究又具有重要的理论意义。直线是它上面的点一样地平放着的线。数千年来，不论在思想领域的突破上，在科学方法论的创建上，几何学总是扮演着“开路先锋”的角色。论证几何有两大基本要素一是几何的基本原
8、理公理是否可靠，即出发点是否正确；1866年，霍姆霍尔兹（18211924）提出了“运动”的概念，为合同公理的产生奠定了基础。直线与圆锥曲线的位置关系非欧几何非欧几何黎曼几何黎曼几何（1919世纪）世纪）拓扑学拓扑学（几何与代数、（几何与代数、分析相结合，分析相结合，多样化发展）多样化发展）点集拓扑点集拓扑代数拓扑代数拓扑解析拓扑解析拓扑分形几何分形几何微分拓扑微分拓扑微分流形微分流形纤维丛纤维丛罗巴切夫斯基几何罗巴切夫斯基几何111.1.几何学的产生几何学的产生无意识几何阶段无意识几何阶段几何学和算术一样产生于实践，也可以说几何产生的几何学和算术一样产生于实践，也可以说几何产生的历史和算术是
9、相似的。在远古时代历史和算术是相似的。在远古时代(公元前公元前50005000年以年以前前)，人们在实践中积累了十分丰富的有关，人们在实践中积累了十分丰富的有关平面、直线、平面、直线、方、圆、长、短、宽、窄、厚、薄方、圆、长、短、宽、窄、厚、薄等概念，并且逐步等概念，并且逐步认识了这些概念之间、它们以及它们之间位置关系跟认识了这些概念之间、它们以及它们之间位置关系跟数量关系之间的关系，这些后来就成了几何学的基本数量关系之间的关系，这些后来就成了几何学的基本概念。概念。二、几何学发展概述二、几何学发展概述 12恩格斯说恩格斯说“数学是从计算时间和器皿制造中产生的数学是从计算时间和器皿制造中产生的
10、”。计算时间产生了计算时间产生了“数数”，而器皿制造则产生了，而器皿制造则产生了“形形”。正是这些有如器皿制造等生产实践的需要，原始的几正是这些有如器皿制造等生产实践的需要，原始的几何概念便逐步形成了比较粗浅的几何知识。虽然这些何概念便逐步形成了比较粗浅的几何知识。虽然这些知识是零散的，而且大多数是经验性的，但是几何学知识是零散的，而且大多数是经验性的，但是几何学就是建立在这些零散、经验性的、粗浅的几何知识之就是建立在这些零散、经验性的、粗浅的几何知识之上的。上的。13几何学是数学中最古老的分支之一，也是在数学这个几何学是数学中最古老的分支之一，也是在数学这个领域里最基础的分支之一。领域里最基
11、础的分支之一。古巴比伦、古埃及、古印古巴比伦、古埃及、古印度、中国、古希腊度、中国、古希腊都是几何学的重要发源地。都是几何学的重要发源地。在我国的史前时期，人们已经掌握了许多几何的基本在我国的史前时期，人们已经掌握了许多几何的基本知识，这有大量出土文物可以证明，知识，这有大量出土文物可以证明，14如甘肃省景泰县张家台（新石器时代，约公元前如甘肃省景泰县张家台（新石器时代，约公元前20002000年左右）出土的彩陶罐上发现的大量的平行线、三角年左右）出土的彩陶罐上发现的大量的平行线、三角形、正方形、圆弧等。形、正方形、圆弧等。在西安半坡遗址（新石器时代）的考古过程中发现一在西安半坡遗址（新石器时
12、代）的考古过程中发现一些陶罐片上绘有方格、米字、回文等几何图案。看一些陶罐片上绘有方格、米字、回文等几何图案。看一看远古时期人们使用过的物品中那许许多多精巧的、看远古时期人们使用过的物品中那许许多多精巧的、对称的图案的绘制，一些简单设计但是讲究体积和容对称的图案的绘制，一些简单设计但是讲究体积和容积比例的器皿，都足以说明当时人们掌握的几何知识积比例的器皿，都足以说明当时人们掌握的几何知识是多么丰富了。是多么丰富了。152.2.几何学的初步发展几何学的初步发展经验几何阶段经验几何阶段当人们经历了无意识几何的漫长的酝酿之后、初步形当人们经历了无意识几何的漫长的酝酿之后、初步形成了成了“形形”的意识
13、，进而尝试了一些简单的的意识，进而尝试了一些简单的“度量度量”工作，同时对几何工作，同时对几何“结构结构”关系的探索也慢慢地开始关系的探索也慢慢地开始了。这样，几何就从无意识几何阶段步入了经验几何了。这样，几何就从无意识几何阶段步入了经验几何阶段。阶段。16事实上，古代中国的数学研究者注重的是实际问题的解决，如土地面积计算等，这也正是为什么论证几何没有也不可能在中国产生的原因。至此，“几何学”就被国人普遍使用。中学几何公理体系与希尔伯特公理体系有哪些区别？两千多年前的古希腊商业繁荣，生产比较发达，一批学者热心追求科学知识，研究几何就是最感兴趣的内容之一。“用尺规可以三等分角吗？”这是学生都想了
14、解的一个问题。他在几何学卷一中，用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的距离，用坐标来描述空间上的点。从公理法的角度看，我们可以任意地用点、线、面代表具体的事物，只要这些具体事物之间满足公理中的结合关系、顺序关系、合同关系等，使这些关系满足公理系统中所规定的要求，这就构成了几何学。对球面上的几何，顾名思义，讨论“球面上图形的性质”，基础教育阶段已学过平面几何，这两种几何有什么相同，有什么不同？球面上的几何有什么用处？“球面上的几何”这一专题主要就学习这些问题。例，采用如下的块状结构：若三角形一边上的正方形等于其他两边上的正方形之和，则其他两边的夹角是直角。二、几何学发展概述所谓经验几何，就
15、是人们通过对大量的具体几何素材进行反复的感受和体验，归纳、概括出较为一般的几何关系，在实践中对其加以验证和检验，并从中挖掘和发现更新的几何关系的一种实验型几何的历史阶段。但是在经验几何阶段，人们的思维发展水平不高限制了对一些难度较大的问题的进一步探索，被迫转而采用实验的方法对问题进行粗略的、近似的处理。这一篇被认为是欧几里得几何的最大成就。前面提到，欧几里得几何原本并不是完美无缺的，或者说其“公理体系”存在逻辑漏洞。这三篇讲述数论，即讲述关于整数和整数之比的性质。三、每人撰写一篇关于初等几何的小论文。笛卡儿的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。几何之所以能成
16、为一门系统的学科，希腊学者的工作曾起了十分关键的作用。所谓所谓经验几何经验几何，就是人们通过对大量的具体几何素，就是人们通过对大量的具体几何素材进行反复的感受和体验，归纳、概括出较为一般材进行反复的感受和体验，归纳、概括出较为一般的几何关系，在实践中对其加以验证和检验，并从的几何关系，在实践中对其加以验证和检验，并从中挖掘和发现更新的几何关系的一种实验型几何的中挖掘和发现更新的几何关系的一种实验型几何的历史阶段。历史阶段。17经验几何最大的好处就是它包含了很重要的思想方经验几何最大的好处就是它包含了很重要的思想方法法特例研究发现法特例研究发现法，即对具体事例进行分析、研，即对具体事例进行分析、
17、研究和实验，采用归纳、类比、联想等思维方法，发现究和实验，采用归纳、类比、联想等思维方法，发现几何关系的本质特征，揭示事物的内在规律，寻找解几何关系的本质特征，揭示事物的内在规律，寻找解决问题的办法，从而达到解决问题的目的。决问题的办法，从而达到解决问题的目的。18但是在经验几何阶段，人们的思维发展水平不高限制但是在经验几何阶段，人们的思维发展水平不高限制了对一些难度较大的问题的进一步探索，被迫转而采了对一些难度较大的问题的进一步探索，被迫转而采用实验的方法对问题进行粗略的、近似的处理。在这用实验的方法对问题进行粗略的、近似的处理。在这些问题中，人们首要考虑的是实际应用迫切需要但理些问题中，人
18、们首要考虑的是实际应用迫切需要但理论上又暂时得不到解决的问题，比如论上又暂时得不到解决的问题，比如“如何求圆的面如何求圆的面积积”，“球体体积如何计算球体体积如何计算”等等。等等。19林永伟先生认为对于现今中小学几何教学而言，经验林永伟先生认为对于现今中小学几何教学而言，经验几何的思想方法无疑给我们提供了许多更深层次的启几何的思想方法无疑给我们提供了许多更深层次的启示意义经验几何能够提供学生广阔的数学活动空间，示意义经验几何能够提供学生广阔的数学活动空间，使数学教学成为真正意义上的使数学教学成为真正意义上的“数学活动的教学数学活动的教学”。20以经验几何的活动方式对几何问题进行探索，不仅能以经
19、验几何的活动方式对几何问题进行探索，不仅能使学生充分体会到几何原理的来龙去脉，加深对其本使学生充分体会到几何原理的来龙去脉，加深对其本质意义的理解，而且其过程本身就包含了丰富的内容，质意义的理解，而且其过程本身就包含了丰富的内容，体现一定的趣味性和吸引力，从而使提高学生学习数体现一定的趣味性和吸引力，从而使提高学生学习数学的主动性；经验几何中所包含的还有另一主要思想学的主动性；经验几何中所包含的还有另一主要思想方法方法不完全归纳法，不完全归纳法，而这一方法在发展学生而这一方法在发展学生“策策略创造略创造”思维方面具有独特的效能。思维方面具有独特的效能。21所以在几何教学，尤其是初等几何教学中，
20、我们主所以在几何教学，尤其是初等几何教学中，我们主张先从张先从“宏观宏观”生动活泼的生动活泼的“策略效能策略效能”出发，出发，再以再以“微观微观”一丝不苟的一丝不苟的“逻辑演绎逻辑演绎”予以补予以补正。正。223.3.由哲学而来的新几何由哲学而来的新几何论证几何论证几何几何之所以能成为一门系统的学科，希腊学者的工作几何之所以能成为一门系统的学科，希腊学者的工作曾起了十分关键的作用。两千多年前的古希腊商业繁曾起了十分关键的作用。两千多年前的古希腊商业繁荣，生产比较发达，一批学者热心追求科学知识，研荣，生产比较发达，一批学者热心追求科学知识，研究几何就是最感兴趣的内容之一。在这里应当特别关究几何就
21、是最感兴趣的内容之一。在这里应当特别关注的是古希腊著名哲学家、几何学家注的是古希腊著名哲学家、几何学家柏拉图柏拉图和和亚里士亚里士多德多德对发展几何学的贡献。对发展几何学的贡献。23论证几何有两大基本要素一是几何的基本原理论证几何有两大基本要素一是几何的基本原理公公理是否可靠，即出发点是否正确；二是逻辑推理的过理是否可靠，即出发点是否正确；二是逻辑推理的过程是否严密。古希腊的哲学为论证几何的产生和发展程是否严密。古希腊的哲学为论证几何的产生和发展提供了坚实的理论基础和思想支柱，因为哲学研究的提供了坚实的理论基础和思想支柱，因为哲学研究的思想方法就是从最简单的始点出发演绎出最复杂、最思想方法就是
22、从最简单的始点出发演绎出最复杂、最丰富的世界。另外，对理性的追求，对严谨的渴望，丰富的世界。另外，对理性的追求，对严谨的渴望，深深扎根于古希腊人的心灵深处。深深扎根于古希腊人的心灵深处。24等量减等量，余量仍相等。三角形一角的外角大于其他两角中的任一角就此，几何学研究的对象更加广泛了，几何学的含义比欧几里得时代更为抽象。在这些问题中，人们首要考虑的是实际应用迫切需要但理论上又暂时得不到解决的问题，比如“如何求圆的面积”，“球体体积如何计算”等等。第一、和谐性(无矛盾性)。直线是它上面的点一样地平放着的线。大于直角的角称为钝角。等高的三角形和等高的平行四边形的面积之比等于它们的底边之比。第二篇中
23、的突出内容是对于几何代数法的贡献。中国初等数学研究杂志合同公理：1-5（3）在球面上任意两条直线都相交，三角形的内角和是一个变式，且大于平角。尺规作图的范围（2）仅能作的范围求两根已给直线的比例中项。一千年后，法国数学家笛卡儿（Rene Descartes，15961650）在其著作方法论（Discours de la mthode）的附录几何中，将“坐标”引入几何。在教材编写的方面,注重了几何与其它数学领域的结合,特别是与代数学的结合。直角三角形斜边上的一直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和计算时间产生了“数”，而器皿制造则产生了“形”。“两点之间，线段最短”，“同位角相等
24、，则两直线平行”等都是新增的公理；（元前600年 400年）一、3 人一组，以课题加习题的形式向各小组下达学习任务，以小组团队为单位参与“初等数学研究”课程的学习。事实上，古代中国的数学研究者注重的是实际问题的事实上，古代中国的数学研究者注重的是实际问题的解决，如土地面积计算等，这也正是为什么论证几何解决，如土地面积计算等，这也正是为什么论证几何没有也不可能在中国产生的原因。没有也不可能在中国产生的原因。柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向发展。柏
25、拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运发展。柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证。用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证。25亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更为巨大。到今天，在初等几何学中，更多的仍影响更为巨大。到今天，在初等几何学中，更多的仍然运用三段论的形式来进行推理。然运用三段论的形式来进行推理。但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知
26、识仍然是零散的、孤立的、不系统的。真正把几些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。真正把几何总结成一门具有比较严明理论的学科的，是古希腊何总结成一门具有比较严明理论的学科的，是古希腊杰出的数学家杰出的数学家欧几里得欧几里得。26欧几里得欧几里得(Euclid of Alexandria)(Euclid of Alexandria)的生平，的生平，“从生活年代来说，属于从生活年代来说，属于希腊历史上第二个大分期，即希腊历史上第二个大分期，即亚历亚历山大里亚时期。山大里亚时期。4.4.欧几里得的欧几里得的几何原本几何原本欧几里得在公元前欧几里得在公元前300年左右生活在亚历山大里亚年左右生活在亚历山
27、大里亚城并在该处授徒，这一点是很肯定的，虽然他本人城并在该处授徒，这一点是很肯定的，虽然他本人的教育可能得自雅典学院。我们对欧几里得个人的的教育可能得自雅典学院。我们对欧几里得个人的生平几乎就只知道这点情况，而且连这点情况也还生平几乎就只知道这点情况，而且连这点情况也还是从是从Proclus评述评述的一段文字中得来的。的一段文字中得来的。”（见（见M.M.克莱因克莱因古今数学思想史古今数学思想史6565页）。页）。27几何原本几何原本是欧几里得最出名的著作。它最突出的是欧几里得最出名的著作。它最突出的是从一些特别提出的公理、公设和定义有计划地来论是从一些特别提出的公理、公设和定义有计划地来论证
28、其它命题，其次是它第一次把丰富而散漫的几何材证其它命题，其次是它第一次把丰富而散漫的几何材料整理成了系统严明的读本。正因为如此，它成为人料整理成了系统严明的读本。正因为如此，它成为人类历史上最作大的科学杰作。所以他的类历史上最作大的科学杰作。所以他的几何原本几何原本一直被后世所推崇，以至于二千多年来所有初等几何一直被后世所推崇，以至于二千多年来所有初等几何教科书以及初等几何的论著无不以他的教科书以及初等几何的论著无不以他的几何原本几何原本为根据。为根据。2829由于由于几何原本几何原本有其无与伦比的历史意义，我们有有其无与伦比的历史意义，我们有必要对其作一个基本的介绍，特别是平面几何部分。必要
29、对其作一个基本的介绍，特别是平面几何部分。几何原本几何原本共有十三篇。共有十三篇。（一）第一篇先给出书中第一部分的所用概念的定义，（一）第一篇先给出书中第一部分的所用概念的定义，共共2323个。个。30定义定义1.1.点是没有部分的东西点是没有部分的东西 。定义定义2.2.线只有长度而没有宽度。线只有长度而没有宽度。定义定义3.3.一线的两端是点。一线的两端是点。定义定义4.4.直线是它上面的点一样地平放着的线。直线是它上面的点一样地平放着的线。定义定义5.5.面只有长度和宽度。面只有长度和宽度。定义定义6.6.面的边缘是线。面的边缘是线。定义定义7.7.平面是它上面的线一样地平放着的面。平面
30、是它上面的线一样地平放着的面。定义定义8.8.平面角是在一平面内但不在一条直线上的两平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度。条相交线相互的倾斜度。定义定义9.9.当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角。直线角。31定义定义10.10.当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角每一个被叫做直角，而且称这一条直线时，这些角每一个被叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。垂直于另一条直线。定义定义11.11.大于直角的角称为钝角。大于直角的角称为钝角。定义定义12.12.小于直角的角称为锐
31、角。小于直角的角称为锐角。定义定义13.13.边界是物体的边缘。边界是物体的边缘。定义定义14.14.图形是一个边界或者几个边界所围成的图形是一个边界或者几个边界所围成的 。32定义定义15.15.圆由一条线包围着的平面图形，其内有一点与圆由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。这条线上任何一个点所连成的线段都相等。定义定义16.16.这个点（指定义这个点（指定义1515中提到的那个点）叫做圆心。中提到的那个点）叫做圆心。定义定义17.17.圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段，且把圆二等分。向被圆
32、截得的线段，且把圆二等分。定义定义18.18.半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同。半圆的圆心与原圆心相同。33定义定义19.19.直线形是由直线围成的直线形是由直线围成的.三边形是由三条直线围三边形是由三条直线围成的成的,四边形是由四条直线围成的四边形是由四条直线围成的,多边形是由四条以上多边形是由四条以上直线围成的。直线围成的。定义定义20.20.在三边形中在三边形中,三条边相等的三条边相等的,叫做等边三角形叫做等边三角形;只只有两条边相等的有两条边相等的,叫做等腰三角形叫做等腰三角形;各边不等的各边不等的,叫做不叫做不等边
33、三角形。等边三角形。定义定义21.21.此外此外,在三边形中在三边形中,有一个角是直角的有一个角是直角的,叫做直角叫做直角三角形三角形;有一个角是钝角的有一个角是钝角的,叫做钝角三角形叫做钝角三角形;各边不等各边不等的的,叫做不等边三角形。叫做不等边三角形。34定义定义22.22.在四边形中在四边形中,四边相等且四个角是直角的四边相等且四个角是直角的,叫做叫做正方形正方形;角是直角角是直角,但四边不全相等的但四边不全相等的,叫做长方形叫做长方形;四四边相等边相等,但角不是直角的但角不是直角的,叫做菱形叫做菱形;对角相等且对边对角相等且对边相等相等,但边不全相等且角不是直角的但边不全相等且角不是
34、直角的,叫做斜方形叫做斜方形;其其余的四边形叫做不规则四边形。余的四边形叫做不规则四边形。定义定义23.23.平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线。能相交的直线。35五个公设（公设只应用于几何）五个公设（公设只应用于几何）1.1.从任一点到任一点作直线从任一点到任一点作直线 是可能的是可能的。2.2.把有限直线不断循直线延长把有限直线不断循直线延长 是可能的是可能的。3.3.以任一点为中心和任一距离以任一点为中心和任一距离 为半径为半径 作一圆作一圆 是可能是可能的的。4.4.所有直角彼此相等。所有直角彼此相等。5.5.若一直线与两直线相
35、交，且若同侧所交两内角之和若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。点。第五条公设就是著名的平行公设第五条公设就是著名的平行公设,它引发了几何史上最它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于著名的长达两千多年的关于“平行线理论平行线理论”的讨论的讨论,并并最终诞生了非欧几何。最终诞生了非欧几何。36五个公理（公理是适用于一切科学的真理）五个公理（公理是适用于一切科学的真理）1.1.跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。的。2.2.等量加等量，总
36、量仍相等。等量加等量，总量仍相等。3.3.等量减等量，余量仍相等。等量减等量，余量仍相等。4.4.彼此重合的东西是相等的。彼此重合的东西是相等的。5.5.整体大于部分。整体大于部分。37（二）第一篇到第四篇讲直边形和圆的基本性质第一（二）第一篇到第四篇讲直边形和圆的基本性质第一篇的内容是关于全等形的一些熟知的定理，平行线，篇的内容是关于全等形的一些熟知的定理，平行线，毕达哥拉斯毕达哥拉斯(Pythagoras)(Pythagoras)定理，初等作图法定理，初等作图法,等价形等价形(有等面积的图形有等面积的图形)和平行四边形所有图形都是直边和平行四边形所有图形都是直边的的,就是说都是由直线段组成
37、的就是说都是由直线段组成的特别值得指出的是以下几个定理特别值得指出的是以下几个定理命题命题1 1在给定直线上作一等边三角形在给定直线上作一等边三角形命题命题4.4.若两个三角形的两边和夹角对应相等，它们就全若两个三角形的两边和夹角对应相等，它们就全等等38命题命题5.5.等腰三角形两底角相等等腰三角形两底角相等命题命题16.16.三角形一角的外角大于其他两角中的任一角三角形一角的外角大于其他两角中的任一角命题命题20.20.任何三角形的两边之和必大于第三边任何三角形的两边之和必大于第三边命题命题27.27.若一直线与两直线相交并使内错角相等，则该若一直线与两直线相交并使内错角相等，则该两直线平
38、行两直线平行命题命题29.29.一直线与两平行线相交时内错角相等，同位角一直线与两平行线相交时内错角相等，同位角相等，且同傍内角之和等于两直角相等，且同傍内角之和等于两直角39命题命题44.44.在给定直线上作一平行四边形，使其一角等于在给定直线上作一平行四边形，使其一角等于已给角，而其面积等于已知三角形已给角，而其面积等于已知三角形.命题命题47.47.直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和。两个正方形之和。这定理告诉我们怎样作出一个正方形使其面积为所给这定理告诉我们怎样作出一个正方形使其面积为所给两正方形之和。因此这是几何代数法的又一
39、个例子。两正方形之和。因此这是几何代数法的又一个例子。命题命题48.48.若三角形一边上的正方形等于其他两边上的正若三角形一边上的正方形等于其他两边上的正方形之和，则其他两边的夹角是直角。方形之和，则其他两边的夹角是直角。40 第二篇中的突出内容是对于几何代第二篇中的突出内容是对于几何代数法的贡献。数法的贡献。如如 命题命题4 4若把一线在任意一点割开，若把一线在任意一点割开，则在整个线上的正方形等于两段上的则在整个线上的正方形等于两段上的正方形加上以两段为边的矩形。正方形加上以两段为边的矩形。命题命题1111、分割一已给直线，使整段与、分割一已给直线，使整段与其中一分段所成矩形等于另一分段上
40、其中一分段所成矩形等于另一分段上的正方形。的正方形。41第三篇含第三篇含3737个命题它开头给出有关圆的一些几何定个命题它开头给出有关圆的一些几何定义，然后着手讨论弦、切线、割线、圆心角及圆周角义，然后着手讨论弦、切线、割线、圆心角及圆周角等等这些定理大多是中学几何里所熟知的。等等这些定理大多是中学几何里所熟知的。第四篇在它的第四篇在它的1616个命题里论述圆的内接和外切图形，个命题里论述圆的内接和外切图形，如如三角形、正方形、正五边形和正六边形三角形、正方形、正五边形和正六边形。最后的命。最后的命题讲怎样在一给定圆内作正题讲怎样在一给定圆内作正1515边形。边形。42第五篇比例论第五篇比例论
41、这一篇被认为是欧几里得几何的最大成就。这一篇被认为是欧几里得几何的最大成就。第六篇相似形第六篇相似形第六篇里利用第五篇的比例理论讨论相似形。第六篇里利用第五篇的比例理论讨论相似形。这里从这里从3333个定理中举出几个来看看欧几里得怎样用个定理中举出几个来看看欧几里得怎样用几何来处理现代代数里的几个基本结果几何来处理现代代数里的几个基本结果43命题命题1.1.等高的三角形和等高的平行四边形等高的三角形和等高的平行四边形 的面积的面积 之比之比等于它们的底边之比。等于它们的底边之比。命题命题4.4.在各角对应相等的两个三角形里，夹等角的边以在各角对应相等的两个三角形里，夹等角的边以及所等角所对的相
42、应边都成比例。及所等角所对的相应边都成比例。命题命题5.5.若两三角形的边成比例，则两三角形有同样的角若两三角形的边成比例，则两三角形有同样的角且此两三角形对应边所对之角相等。且此两三角形对应边所对之角相等。命题命题12.12.从三根已给直线求其比例第四项从三根已给直线求其比例第四项44连续公理：1-2欧几里得几何原本的诞生标志着几何学已成为一门有着比较严密的理论系统和科学方法的独立学科。亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更为巨大。希尔伯特不仅提出了个完善的几何体系,并且还提出了建立一个公理系统的原则。学校根据教学实际自行安排必修课、
43、选修课的开设。系，正多边形和圆，基本轨迹。（3）圆：圆，直线和园，两圆的位置关看一看远古时期人们使用过的物品中那许许多多精巧的、对称的图案的绘制，一些简单设计但是讲究体积和容积比例的器皿，都足以说明当时人们掌握的几何知识是多么丰富了。文艺复兴使“理性精神”得以复苏和发扬。在空间，到定点的距离等于定长的点的集合，构成一个封闭曲面球面。特别是公理化思想已经成为影响几乎所有科学学科乃至所有文化的重要思想。正因为如此，它成为人类历史上最作大的科学杰作。大于直角的角称为钝角。尺规作图的范围（2）仅能作的范围这些，都对近代几何学的发展带来了深远的影响。计算时间产生了“数”，而器皿制造则产生了“形”。命题4
44、若把一线在任意一点割开，则在整个线上的正方形等于两段上的正方形加上以两段为边的矩形。在西安半坡遗址（新石器时代）的考古过程中发现一些陶罐片上绘有方格、米字、回文等几何图案。矩阵又可以看作描述几何变换的对象。这个专题在义务教育的基础上，介绍反映上述变换的代数表达形式二阶矩阵，把二阶矩阵看作表示变换的工具，二阶矩阵把平面上的每一个点或每一个向量变成平面上另一个点或一个向量。命题命题13.13.求两根已给直线的比例中项。求两根已给直线的比例中项。命题命题19.19.相似三角形相似三角形 面积面积 之比等于其对应边的二次之比等于其对应边的二次比比命题命题31.31.直角三角形斜边上的一直边形，其面积为
45、两直直角三角形斜边上的一直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和角边上两个与之相似的直边形面积之和这是毕达哥拉斯这是毕达哥拉斯(Pythagoras)(Pythagoras)定理的一个推广定理的一个推广45第七、八、九篇数论第七、八、九篇数论 这三篇讲述数论，即讲述关于整数和整这三篇讲述数论，即讲述关于整数和整数之比的性质。这三篇是几何原本中纯粹讨论算数之比的性质。这三篇是几何原本中纯粹讨论算术的唯一篇章。术的唯一篇章。第十篇不可公度量的分类第十篇不可公度量的分类 几何原本第十篇着手对无理量几何原本第十篇着手对无理量(与给与给定量不可公度的量定量不可公度的量)进行分类。本篇共有进
46、行分类。本篇共有115115个命题。个命题。其中就有我们熟悉的是无理数的证明等。其中就有我们熟悉的是无理数的证明等。46第十一、十二、十三篇立体几何及穷竭法第十一、十二、十三篇立体几何及穷竭法原本十三篇中共含原本十三篇中共含467467个命题个命题 综上可以看出，人们普遍认为欧几里得的几何原本综上可以看出，人们普遍认为欧几里得的几何原本是一本几何学的经典著作，其实不尽然。甚至，我们是一本几何学的经典著作，其实不尽然。甚至，我们说几何原本是古代所有数学成果之大成也一点不说几何原本是古代所有数学成果之大成也一点不为过。在几何原本出版以来到为过。在几何原本出版以来到1616世纪，世纪，几何几何原本几
47、乎成了数学的代名词。原本几乎成了数学的代名词。47在中国，因明代在中国，因明代利玛窦、徐光启利玛窦、徐光启合译合译几何原本几何原本而而介绍到中国，当时称为介绍到中国，当时称为“形学形学”。在。在18571857年年李善兰、李善兰、伟烈亚力伟烈亚力再续译了再续译了几何原本几何原本后后9 9卷。第卷。第1111次印刷次印刷成翻刊本时，徐树勋就将其改名为成翻刊本时，徐树勋就将其改名为续几何续几何。至此，。至此，“几何学几何学”就被国人普遍使用。就被国人普遍使用。48欧几里得欧几里得几何原本几何原本的诞生标志着几何学已成为一的诞生标志着几何学已成为一门有着比较严密的理论系统和科学方法的独立学科。门有着
48、比较严密的理论系统和科学方法的独立学科。从欧几里得发表从欧几里得发表几何原本几何原本到现在，已经过去了两到现在，已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，但是欧几里得几何千多年，尽管科学技术日新月异，但是欧几里得几何学仍然是中小学学生学习数学基础知识的经典著作。学仍然是中小学学生学习数学基础知识的经典著作。特别是公理化思想已经成为影响几乎所有科学学科乃特别是公理化思想已经成为影响几乎所有科学学科乃至所有文化的重要思想。或者说，公理化思想是影响至所有文化的重要思想。或者说，公理化思想是影响世界文化的重要思想之一。世界文化的重要思想之一。49但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和但是，在人
49、类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限名家，都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限制，欧几里得在制，欧几里得在几何原本几何原本中提出几何学的中提出几何学的“根据根据”问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。比如，对直线的定义实际上是用一个未知美无缺的。比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义。又如，欧几里得在的定义来解释另一个未知的定义。又如，欧几里得在逻辑推理中使用了逻辑推理中使用了“连续连续”的概念，但是在的概念，但是在几何原几何原本本中从未提到过这个概念。中
50、从未提到过这个概念。505.5.笛卡儿和他的笛卡儿和他的几何几何一千年后，法国数学家笛卡儿一千年后，法国数学家笛卡儿（Rene DescartesRene Descartes，1596159616501650）在其著作在其著作方法论方法论（Discours Discours de la mthodede la mthode）的附录）的附录几何几何中，将中，将“坐标坐标”引入几何。由此引入几何。由此给几何带来了革命性的进步给几何带来了革命性的进步实现了实现了几何问题几何问题“代数化代数化”和代和代数问题数问题“几何化几何化”。51文艺复兴使文艺复兴使“理性精神理性精神”得以复苏和发扬。欧洲得以复
