1、2020 年中考数学冲刺难点突破 抛物线与圆问题 专题一专题一 二次函数中的二次函数中的圆和直线相切问题圆和直线相切问题 【模型展示】【模型展示】 圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可求交点 坐标，根据交点可求三角形的边长，由 于圆的位置不同，三角形的形状也不同。再根据三角形的形状，再解决其它问题。 【精典讲解】【精典讲解】 1、如图，在平面直角坐标系中，点 M 的坐标是（5，4） ，M 与 y 轴相切于点 C，与 x 轴相交于 A，B 两 点 （1）则点 A，B，C 的坐标分别是 A （2，0） ，B （8，0） ，C （0，4） ； （2）设经过 A，B 两点的抛物线解析式为
2、y= 1 4 （x-5）2+k，它的顶点为 E，求证：直线 EA 与M 相切； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 P，且点 P 在 x 轴的上方，使 PBC 是等腰三角形？如果存在，请 求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 （1） 解： 连接 MC、 MA， 如图 1 所示： M 与 y 轴相切于点 C， MCy 轴， M （5， 4） ， MC=MA=5， OC=MD=4， C （0， 4） ， MDAB， DA=DB， MDA=90 ， AD= 22 54=3， BD=3， OA=5-3=2， OB=5+3=8， A（2，0） ，B（8，0） ； （2）证明：把点 A（2，0）代
3、入抛物线 y= 1 4 （x-5）2+k，得：k=- 9 4 ，E（5，- 9 4 ） ， DE= 9 4 ，ME=MD+DE=4+ 9 4 = 25 4 ，EA2=32+（ 9 4 ）2= 225 16 ，MA2+EA2=52+ 225 16 = 225 16 ，ME2= 225 16 ， MA2+EA2=ME2，MAE=90 ，即 EAMA，EA 与M 相切； （3）解：存在；点 P 坐标为（5，4） ，或（5，71） ，或（5，4+55） ；理由如下： 由勾股定理得：BC= 22 OCOB= 22 48=45，分三种情况：当 PB=PC 时，点 P 在 BC 的垂直平 分线上，点 P 与
4、 M 重合， P（5，4） ； 当 BP=BC=45时， 如图 2 所示： PD= 22 BPBD= 2 80 3=71， P （5，71） ； 当 PC=BC=4 5时，连接 MC，如图 3 所示：则PMC=90 ，根据勾股定理得：PM= 22 PCMC= 2 80 5=55， PD=4+55， P（5，4+55） ；综上所述：存在点 P，且点 P 在 x 轴的上方，使 PBC 是等腰三角形， 点 P 的坐标为（5，4） ，或（5，71） ，或（5，4+55） 2、如图，已知抛物线 y=- 1 2 （x2-7x+6）的顶点坐标为 M，与 x 轴相交于 A，B 两点（点 B 在点 A 的右侧）
5、 ， 与 y 轴相交于点 C （1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x-h）2+k（a0） ，并指出顶点 M 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找点 R，使得 CR+AR 的值最小，并求出其最小值和点 R 的坐标； （3）以 AB 为直径作N 交抛物线于点 P（点 P 在对称轴的左侧） ，求证：直线 MP 是N 的切线 （1）解：y=- 1 2 （x2-7x+6）=- 1 2 （x2-7x）-3=- 1 2 （x- 7 2 ）2+ 25 8 ，抛物线的解析式化为顶点式为：y=- 1 2 （x- 7 2 ）2+ 25 8 ，顶点 M 的坐标是（ 7 2 ， 25 8 ） ； （2）解
6、：y=- 1 2 （x2-7x+6） ，当 y=0 时，- 1 2 （x2-7x+6）=0，解得 x=1 或 6，A（1，0） ，B（6，0） ， x=0 时， y=-3， C （0， -3） 连接 BC， 则 BC 与对称轴 x= 7 2 的交点为 R， 连接 AR， 则 CR+AR=CR+BR=BC， 根据两点之间线段最短可知此时 CR+AR 的值最小， 最小值为 BC= 22 63=35 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，B（6，0） ，C（0，-3） ， 60 3 kb b ，解得 2 3 1 k b ，直线 BC 的解析式为：y= 1 2 x-3，令 x= 7 2 ，得 y=
7、1 2 7 2 -3=- 5 4 ，R 点坐标为（ 7 2 ，- 5 4 ） ； （3）证明：设点 P 坐标为（x，- 1 2 x2+ 7 2 x-3） A（1，0） ，B（6，0） ，N（ 7 2 ，0） ，以 AB 为直径 的N 的半径为 1 2 AB= 5 2 ，NP= 5 2 ，即（x- 7 2 ）2+（- 1 2 x2+ 7 2 x-3）2=（ 5 2 ）2，化简整理得， x4-14x3+65x2-112x+60=0， （x-1） （x-2） （x-5） （x-6）=0，解得 x1=1（与 A 重合，舍去） ，x2=2，x3=5（在对 称轴的右侧，舍去） ，x4=6（与 B 重合，舍
8、去） ，点 P 坐标为（2，2） M（ 7 2 ，25 8 ） ，N（ 7 2 ，0） ，PM2= （2- 7 2 ）2+（2- 25 8 ）2= 225 64 ，PN2=（2- 7 2 ）2+22= 25 4 = 400 64 ， MN2=（ 25 8 ）2= 625 64 ，PM2+PN2=MN2，MPN=90 ，点 P 在N 上，直线 MP 是N 的切线 【教师总结】本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析式的求法、勾 股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识；综合性强 3、已知二次函数 yx2bxc1. (1)当 b1 时，求这个二次函数
9、的对称轴的方程； (2)若 c1 4b 22b，问：b 为何值时，二次函数的图象与 x 轴相切； (3)如图所示，若二次函数的图象与 x 轴交于点 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1x2，与 y 轴的正半轴交于点 M， 以 AB 为直径的半圆恰好经过点 M， 二次函数的对称轴 l 与 x 轴， 直线 BM， 直线 AM 分别相交于点 D， E， F，且满足DE EF 1 3，求二次函数的表达式 解： (1)二次函数的对称轴为 x b 2a， a1，b1，x1 2； (2)与 x 轴相切就是与 x 轴只有一个交点，即x2bx1 4b 22b10 有相等的实数根，b24 ( 1) 1 4b
10、22b1 0 8b40，解得 b1 2，即 b 1 2时，函数图象与 x 轴相切； (3)AB 是半圆的直径，AMB90 ， OAMOBM90 ， AOMMOB90 ，OAMOMA90 ， OMAOBM，OAMOMB， OA OM OM OB，OM 2OA OB， 二次函数的图象与 x 轴交于点 A(x1，0)，B(x2，0)， OAx1，OBx2，x1 x2(c1)， OMc1，(c1)2c1， 解得 c0 或1(舍去)，c0，OM1， yx2bx1， x1 x21，x1x2b， 设 A(m，0)(m0)，则 B(1 m，0)，b m21 m ，对称轴为 xb 2 m21 2m ， yAM经
11、过点 A(m，0)，M(0，1)，yAM1 mx1， yBM经过点 B(1 m，0)，M(0，1)，yBMmx1， xEm 21 2m ，yEm 21 2 ，DEm 21 2 ， xFm 21 2m ，yFm 21 2m2 ， DE EF 1 3， DE DF 1 4， m21 2 m21 2m2 1 4，m 21 4(m0)，解得 m 1 2， bm 21 m 3 2， yx23 2x1. 4、如图所示，已知抛物线 yax2bxc(a0)的图象的顶点坐标是(2，1)，并且经过点(4，2)直线 y1 2x 1 与抛物线交于 B，D 两点，以 BD 为直径作圆，圆心为点 C，C 与直线 m 交于
12、对称轴右侧的点 M(t， 1)直线 m 上每一点的纵坐标都等于 1. (1)求抛物线的表达式； (2)证明：C 与 x 轴相切； (3)过点 B 作 BEm，垂足为 E，再过点 D 作 DFm，垂足为 F.求 BEMF 的值 解： (1)设抛物线顶点式为 ya(xh)2k， 抛物线的顶点坐标是(2，1)，ya(x2)21， 又抛物线经过点(4，2)， 2a(42)21，解得 a1 4， 抛物线的表达式 y1 4(x2) 211 4x 2x2. (2)证明：联立 y 1 4x 2x2， y1 2x1， 消去 y，整理得 x26x40，解得 x13 5，x23 5，代入直线 方程，解得 y15 2
13、 5 2 ，y25 2 5 2 ， B 3 5，5 2 5 2 ，D 3 5，5 2 5 2 ， 点 C 是 BD 的中点， 点 C 的纵坐标为y1y2 2 5 2， 利用勾股定理， 可算出 BD （x1x2） 2（y 1y2） 25， 即半径 R5 2， 即圆心 C 到 x 轴的距离等于半径 R，C 与 x 轴相切 (3)法一：如答图，连结 BM 和 DM，BD 为直径，BMD90 ， BMEDMF90 ， 又BEm 于点 E，DFm 于点 F， BMEMDF， BMEMDF，BE MF EM DF，即 y11 x2t tx1 y21， 代入得 3 2 5 2 （3 5）t t（3 5） 3
14、 2 5 2 ， 化简得(t3)24，解得 t5 或 1， 点 M 在对称轴右侧，t5， BE MF 51 2 . 法二：如答图，过点 C 作 CHm，垂足为 H，连结 DM，由(2)知 CMR5 2，CHR1 3 2， 由勾股定理，得 MH2，HFx2x1 2 5， MFHFMH 52，又BEy113 2 5 2 ，BE MF 51 2 . 第 4 题答图 第 4 题答图 5、已知抛物线 yx2mx2m4(m0) (1)证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点 (2)设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A，B(点 A 在点 B 的右侧)，与 y 轴交于点 C，A，B，C 三点都 在P 上
15、 试判断：不论 m 取任何正数，P 是否经过 y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是， 说明理由； 若点 C 关于直线 xm 2的对称点为点 E，点 D(0，1)，连结 BE，BD，DE， BDE 的周长记为 l， P 的半径记为 r，求l r的值 解：(1)证明：令 y0，则 x2mx2m40， m24(2m4)m28m16(m4)2，m0，(m4)20， 此方程总有两个不相等的实数根，抛物线与 x 轴总有两个不同的交点； (2)设P 经过 y 轴上的另一个交点 F(如答图)， 令 y0，则 x2mx2m40，整理得(x2)(xm2)0，解得 x12，x2m2， 又m0，点 A 在
16、点 B 的右侧，A(2，0)，B(m2，0)， 当 x0 时，y2m4， C(0，2m4)，AO2，BOm2，CO2m4， BCOBAF，CBOAFO， BCOFAO， FO BO AO CO， FO m2 2 2m4， FO1，点 F(0，1)； 点 C(0，2m4)关于直线 xm 2的对称点为点 E(如答图)， E(m，2m4)， B(m2，0)，D(0，1)， BD2BE2(m2)21222(2m4)25m220m25，DE2(2m5)2m25m220m25， BD2BE2DE2，DBE90 ，DE 是P 直径， BD 2 BE2 m24m5 4m216m20 1 4， BD BE 1
17、2， 设 BDa，BE2a，则 DE 5a，l r 3a 5a 5a 2 106 5 5 . 6、在平面直角坐标系中，二次函数 yax25 3xc 的图象经过点 C(0，2)和点 D(4，2)，点 E 是直线 y 1 3x2 与二次函数图象在第一象限内的交点 (1)求二次函数的表达式及点 E 的坐标； (2)如图 1， 若点 M 是二次函数图象上的点， 且在直线 CE 的上方， 连结 MC， OE， ME， 求四边形 COEM 面积的最大值及此时点 M 的坐标； (3)如图 2，经过 A，B，C 三点的圆交 y 轴于点 F，求点 F 的坐标 解：(1)二次函数 yax25 3xc 的图象经过点
18、 C(0，2)和点 D(4，2)， c2， 16a5 3 4c2， 解得 a2 3， c2， 二次函数表达式为 y2 3x 25 3x2， 与 y1 3x2 联立，解得 x10(舍去)，x23，此时 y1，故 E(3，1)； (2)S四边形COEMS COES CME，S COE1 2 CO | |xE，C(0，2)，E(3，1)，S COE3，S CME1 2 CE h(h 为点 M 到 CE 的距离)， M 在抛物线上运动，当平行于 CE 的直线与抛物线相切于点 M 时，h 最大，从而面积最大， 设 l的表达式为 y1 3xb， 与 y2 3x 25 3x2 联立， 得1 3xb 2 3x
19、 25 3x2， 368(63b)0，解得 b7 2， 此时点 M 坐标为 3 2，3 ， 如答图，过 M 作 MNy 轴，交 CE 于点 N， 在 y1 3x2 中，令 x 3 2，得 y 3 2， N 3 2， 3 2 ， S CME1 2 MN |xCxE9 4， S四边形COEMS COES CME21 4 ； 答图 (3)在 y2 3x 25 3x2 中，令 y0，得 x1 5 73 4 ，x25 73 4 ， OA 735 4 ，OB5 73 4 ， 答图 如答图，连结 BF，AC， ACOABF，AOCFOB， AOCFOB， OA OF OC OB，即 735 4 OF 2 5
20、 73 4 ，解得 OF3 2， F 0，3 2 . 7、若抛物线 L：y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，abc0）与直线 l 都经过 y 轴上的同一点，且抛物线 L 的顶 点在直线 l 上，则称次抛物线 L 与直线 l 具有“一带一路”关系，并且将直线 l 叫做抛物线 L 的“路线”，抛物 线 L 叫做直线 l 的“带线” （1）若“路线”l 的表达式为 y=2x4，它的“带线”L 的顶点的横坐标为1，求“带线”L 的表达式； （2）如果抛物线 y=mx22mx+m1 与直线 y=nx+1 具有“一带一路”关系，求 m，n 的值； （3）设（2）中的“带线”L 与它的“路线”l 在
21、y 轴上的交点为 A已知点 P 为“带线”L 上的点，当以点 P 为 圆心的圆与“路线”l 相切于点 A 时，求出点 P 的坐标 【答案】 （1）“带线”L 的表达式为 y=2x2+4x4； （2）m=2，n=2； （3）点 P 的坐标为（ 9 4 ， 17 8 ） 【解析】 （ （1）“带线”L 的顶点横坐标是1，且它的“路线”l 的表达式为 y=2x4 y=2 （1）4=6， “带线”L 的顶点坐标为（1，6） 设 L 的表达式为 y=a（x+1）26， “路线”y=2x4 与 y 轴的交点坐标为（0，4） “带线”L 也经过点（0，4） ，将（0，4）代入 L 的表达式，解得 a=2 “
22、带线”L 的表达式为 y=2（x+1）26=2x2+4x4； （2）直线 y=nx+1 与 y 轴的交点坐标为（0，1） ， 抛物线 y=mx22mx+m1 与 y 轴的交点坐标也为（0，1） ，解得 m=2， 抛物线表达式为 y=2x24x+1，其顶点坐标为（1，1） 直线 y=nx+1 经过点（1，1） ，解得 n=2； （3）如图，设“带线 L”的顶点为 B，则点 B 坐标为（1，1） ，过点 B 作 BCy 轴于点 C， BCA=90 ， 又点 A 坐标为（0，1） ， AO=1，BC=1，AC=2 “路线”l 是经过点 A、B 的直线 且P 与“路线”l 相切于点 A，连接 PA 交
23、 x 轴于点 D， PAAB， DAB=AOD=90 ， ADO+DAO=90 ， 又DAO+BAC=90 ， ADO=BAC， Rt AODRt BCA， OD=AC=2， D 点坐标为（2，0） 经过点 D、A 的直线表达式为 y= 1 2 x+1， 点 P 为直线 y= 1 2 x+1 与抛物线 L：y=2x24x+1 的交点， 解方程组： 2 241 1 1 2 yxx yx 得 ： 1 1 0 1 x y （即点 A 舍去） ， 2 2 9 4 17 8 x y ， 点 P 的坐标为 9 17 () 48 ， 8、如图已知抛物线 y=ax23ax4a（a0）的图象与 x 轴交于 A、
24、B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 的正 半轴交于点 C，连结 BC，二次函数的对称轴与 x 轴的交点为 E （1）抛物线的对称轴与 x 轴的交点 E 坐标为_，点 A 的坐标为_； （2）若以 E 为圆心的圆与 y 轴和直线 BC 都相切，试求出抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，如图Q（m，0）是 x 的正半轴上一点，过点 Q 作 y 轴的平行线，与直线 BC 交 于点 M，与抛物线交于点 N，连结 CN，将 CMN 沿 CN 翻折，M 的对应点为 M在图中探究：是否存 在点 Q，使得 M恰好落在 y 轴上？若存在，请求出 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）(1
25、.5，0) (-1，0)（2） 2 39 3 44 yxx ； （3）存在， 12 717 ,0 ,0 33 QQ . 【解析】 解： （1）对称轴 x= 33 22 a a ， 点 E 坐标（ 3 2 ，0） ， 令 y=0，则有 ax23ax4a=0， x=1 或 4， 点 A 坐标（1，0） 故答案分别为（ 3 2 ，0） ， （1，0） （2）如图中，设E 与直线 BC 相切于点 D，连接 DE，则 DEBC， DE=OE= 3 2 ，EB= 5 2 ，OC=4a， DB= 2222 2.51.52EBDE ， tanOBC= DEOC BDOB ， 1.54 23 a ，解得 a=
26、3 4 ， 抛物线解析式为 y= 2 39 3 44 xx （3）如图中，由题意MCN=NCB， MNOM， MCN=CNM， MN=CM， 点 B 的坐标为（4，0） ，点 C 的坐标为（0，3） ， 直线 BC 解析式为 y= 3 4 x+3，BC=5， M（m， 3 4 m+3） ，N（m， 3 4 m2+ 9 4 m+3） ，作 MFOC 于 F， sinBCO= FMBO MCBC ， 4 5 m CM ， CM= 5 4 m， 当 N 在直线 BC 上方时， 3 4 m2+ 9 4 m+3（ 3 4 m+3）= 5 4 m， 解得：m= 7 3 或 0（舍弃） ， Q1（ 7 3
27、，0） 当 N 在直线 BC 下方时， （ 3 4 m+3）（ 3 4 m2+ 9 4 m+3）= 5 4 m， 解得 m= 17 3 或 0（舍弃） ， Q2（17 3 ，0） ， 综上所述：点 Q 坐标为（ 7 3 ，0）或（17 3 ，0） 9、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，经过 C（1，1）的抛物线 yax2+bx+c（a0）顶点为 M，与 x 轴正 半轴交于 A，B 两点 （1）如图 1，连接 OC，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转使得 C 落在 y 轴的正半轴上，求线段 OC 过的面积； （2）如图 2，延长线段 OC 至 N，使得 ON 2OC，若ONAOBN 且 tan
28、BAM 17 2 ，求抛物线 的解析式； （3）如图 3，已知以直线 x 5 2 为对称轴的抛物线 yax2+bx+c 交 y 轴于（0，5） ，交直线 l：ykx+m（k 0）于 C，D 两点，若在 x 轴上有且仅有一点 P，使CPD90 ，求 k 的值 【答案】 （1） 4 ； （2）y2x29x+8； （3）k 2 63 3 【思路引导】 （1）线段 OC 过的面积 45 360 （ 2） 2 4 ； （2） ONAOBN，则 OAOBON24，即 mn4，则抛物线的表达式为：ya（xm） （xn） ， MH|yM|a（ 2 mn m） （ 2 mn n） 2 () 4 a mn ，AH
29、 2 mn m，tanBAM MH AH 1 2 a（n m） 17 2 ，化简得：a（nm）17，将（1，1）代入 ya（xm） （xn）并化简得：a（5 mn）1，联立即可求解； （3） 抛物线的表达式为： yx25x+5； 设点 D （m， n） ， nm25m+5， 而点 C （1， 1） ， 则 k 2 55 1 1 mm m m4，若在 x 轴上有且仅有一点 P，使CPD90 ，则过 CD 中点的圆 R 与 x 轴相切，即可求解 【解析】 （1）线段 OC 过的面积 45 360 （ 2） 2 4 ； （2）ON 2OC4，设点 A、B 的坐标分别为： （m，0） 、 （n，0）
30、， ONAOBN，则 ONAOBN，则 OAOBON24，即 mn4， 则抛物线的表达式为：ya（xm） （xn） ， 过点 M 作 MHAB 交 AB 于点 H，函数的对称轴为：x 1 2 （m+n） ， 则 MH|yM|a（ 2 mn m） （ 2 mn n） 2 () 4 a mn ， AHxMxA 2 mn m tanBAM MH AH 1 2 a（nm） 17 2 ， 化简得：a（nm）17， 将（1，1）代入 ya（xm） （xn）并化简得：a（5mn）1， 联立并解得：m 917 4 ，n 917 4 ，a2， 则抛物线的表达式为 ya（xm） （xn）a（x2mxnx+mn）2
31、x29x+8； （3）由题意得： 1 5 22 5 abc b x a c ，解得： 1 5 5 a b c ， 故抛物线的表达式为：yx25x+5； 设点 D（m，n） ，nm25m+5，而点 C（1，1） ， 则 k 2 55 1 1 mm m m4， 若在 x 轴上有且仅有一点 P，使CPD90 ，则过 CD 中点的圆 R 与 x 轴相切，设切点为 P， 则点 H（ 1 2 m ， 1 2 n ） ，则 HPHC， 即（ 1 2 m 1）2+（ 1 2 n 1）2（ 1 2 n ）2， 化简得：3m218m+190， 解得：m3+ 2 6 3 （不合题意的值已舍去） ， km4 2 63
32、 3 【方法总结】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、解直角三角形、三角形相似等， 综合性很强，数据处理技巧多，难度大 10、如图 1，抛物线 2 12 3 3 33 yxx与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 左边） ，O 为 坐标原点 点 D 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点， 过点 D 作 DEx 轴交直线 BC 于点 E 点 P 为CAB 角平分线上的一动点，过点 P 作 PQBC 于点 H，交 x 轴于点 Q；点 F 是直线 BC 上的一个动点 （1）当线段 DE 的长度最大时，求 DF+FQ+ 1 2 PQ 的最小值
33、（2）如图 2，将 BOC 沿 BC 边所在直线翻折，得到 BOC，点 M 为直线 BO上一动点，将 AOC 绕点 O 顺时针旋转 度（0 180 ）得到 AOC，当直线 AC，直线 BO，直线 OM 围成的图形是等腰直角三 角形时，直接写出该等腰直角三角形的面积 【答案】 （1）25 3 8 ； （2） 围成的三角形面积为： 123 917127 2 18 284 ，SSS 4 9927 2 84 S 【解析】 （1）如图 1， 当 x0 时，y3 当 y0 时， 12 x3,x3 3 (3,0)A ，(3 3,0)B，(0,3)C ACBC，且ABC30 ，AC2 3，且 BC 3 yx3
34、 3 设 D（a， 2 12 3 3 33 aa） ，则 E（ 22 312 3 2 ,3 333 aaaa） DEa 22 33 23 33 aaaa 当 a 33 3 2 3 2 3 时，DE 最大此时 D（ 3 3 15 , 24 ） AP 平分CAB， PAB 1 2 CAB30 ， PQBC， PQB60 ， PPQBPAB60 30 30 PAB， PQBC， PQB60 ， AQPQ， min 1 2 DFFQPQ min 1 2 DFFQAQ ， 将射线AB绕A顺时针旋转30 得到直线AM， 过点D作AM的垂线于点M， 交x轴于点Q， 则 1 2 A QQ M 当 Q 运动到
35、Q时，有 min 1 2 DFFQAQ DM， 过 D 作 DNx 轴于点 N，可得 AQM 与 DQN 相似， DNDy 15 4 ，AN 5 3 2 QN 5 3 4 ，DQ 5 3 2 ，AQANQN 5 3 4 QM 15 3 28 AQ ， DMDQ+QM 25 3 8 min 1 2 DFFQAQ DM 25 3 8 （2）第一种情况：如图 2， NHr 3 2 ，QH 3r 3 3 2 ，OQ2r3， QNQHNH 33 3 22 ，QB3 3 3 ，QP 393 3 222 QB ， PNPQQN6，S118 第二种情况，如图 3， QH 3 33 2 r ，HNr 3 2 ，
36、 QB3+3 3，QP 393 3 222 QB ， PNPQQHHN3， 2 9 2 S ； 第三种情况，如图 4， ON 39 OB 22 ，OM 9 2ON2 2 ， MQOMr 93 2 22 ， 2 3 117127 2 284 SMQ 第四种情况，如图 5， OB3 3，OM 39 OB 22 ，ON 3 22 2 r ，MNOM0N 93 2 22 ， 2 4 19927 2 284 SMN 第五种情况，如图 6， MNBNOBsin15 62 3 3 4 ONOBcos15 62 3 3 4 ， OMON+MN 9 2 2 ，HMOMr 9 23 22 ， 2 53 1 2 S
37、HMS； 第六种情况，如图 7， OM 39 OB 22 ，ON 3 2r2 2 ，MNOMON 93 2 22 ， 2 64 1 2 SMNS； 综上所述，围成的三角形面积为： 123 917127 2 18; 284 SSS； 4 9927 2 84 S 11、如图，抛物线 y1 2x 2+bx+c 与 x 轴交于 A、B（A 左 B 右） ，与 y 轴交于 C，直线 yx+5 经过点 B、 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为第二象限抛物线上一点，设点 P 横坐标为 m，点 P 到直线 BC 的距离为 d，求 d 与 m 的函数解 析式； （3）在（2）的条件下，若PCB+PO
38、B180 ，求 d 的值 【答案】 （1）y1 2x2+ 3 2x+5（2）d 2 4 m252 4 m（2m0） （3）32 2 【解析】 （1）直线 yx+5 经过点 B、C， B（5，0） ，C（0，5） ， 把 B、C 坐标代入 y1 2x2+bx+c 得到： = 5 25 2 + 5 + = 0 ， 解得 = 3 2 = 5 ， 二次函数的解析式为 y1 2x2+ 3 2x+5； （2）如图 1 中，作 PEBC 于 E，作 PFAB 交 BC 于 F P（m，1 2m2+ 3 2m+5） ， PFAB， 点 F 的纵坐标为1 2m2+ 3 2m+5， 则有1 2m2+ 3 2m+5
39、x+5， x1 2m2 3 2m， PF1 2m2 3 2mm 1 2m2 5 2m， OBOC，BOC90 ， EFPOBC45 ，PEEF， PEF 是等腰直角三角形， dPE 2 2 PF 2 4 m252 4 m（2m0） ； （3）如图 2 中，取 BC 的中点 H，连接 PH PCB+POB180 ， O、B、C、P 四点共圆， CPBCOB90 ， PH1 2BC 52 2 ， P（m，1 2m2+ 3 2m+5） ，H（ 5 2， 5 2） ， （m5 2）2+（ 1 2m2+ 3 2m+5 5 2）2 25 2 ， 整理得：m（m5） （m2m2）0， 解得 m0 或 5 或
40、1 或 2， P 在第二象限， m1， d 2 4 m252 4 m32 2 12、 在平面直角坐标系xOy中， 对“隔离直线”给出如下定义： 点 ( ,)P x m是图形 1 G上的任意一点， 点( , )Q x n 是图形 2 G上的任意一点，若存在直线l：(0)ykxb k 满足mkxb且nkxb，则称直线l： (0)ykxb k 是图形 1 G与 2 G的“隔离直线”，如图1，直线l：2yx 是函数 4 (0)yx x 的图像与 正方形OABC的一条“隔离直线”. （1）在直线 1 1yx ， 2 31yx， 3 4yx ， 4 2yx 中，是图1函数 4 (0)yx x 的 图像与正
41、方形OABC的“隔离直线”的为 . （2） 如图2， 第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行， 直角顶点D的坐标是(2,1)， O 的半径为5，是否存在EDF与O 的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请 说明理由； （3）正方形 1111 DCBA的一边在y轴上，其它三边都在y轴的左侧，点( 1, )Mt是此正方形的中心，若存 在直线2yxb 是函数 2 23( 40)yxxx 的图像与正方形 1111 DCBA的“隔离直线”，请直接写 出t的取值范围. 【答案】(1);(2)25yx ;(3)2t 或8t 【解析】 (1)根据的“隔离直线”的定义可知
42、4 2yx ， 是图1函数 4 (0)yx x 的图象与正方形OABC的“隔离直线”； 直线 1 1yx 也是图 1 函数 4 (0)yx x 的图象与正方形 OABC 的“隔离直线”；而 2 31yx与 3 4yx 不满足图 1 函数 4 (0)yx x 的图象与正方形 OABC 的“隔离直线”的条件； 故答案为：； (2)存在， 理由如下： 连接OD，过点D作DGx轴于点G，如图， 在 Rt DGO 中， 2222 125ODDGOG ， O 的半径为5 ， 点 D 在O 上 过点 D 作 DHOD 交 y 轴于点 H， 直线 DH 是O 的切线，也是 EDF 与O 的“隔离直线” 设直线
43、 OD 的解析式为ykx， 将点 D(2，1)的坐标代入得12k， 解得： 1 2 k ， DHOD， 设直线 DH 的解析式为 2yxn ， 将点 D(2，1)的坐标代入得12 2 n ， 解得：5n， 直线 DH 的解析式为 25yx ， “隔离直线”的表达式为2 5yx ； (3)如图： 由题意点 F 的坐标为(45 ，)， 当直线2yxb 经过点 F 时，524b ， 3b， 直线 23yx ，即图中直线 EF， 正方形 A1B1C1D1的中心 M(1，t)， 过点 1 M作 1 M Gy 轴于点 G， 点 1 M是正方形的中心，且 1 1M G ， B1C1 1 22M G， 1 1
44、BG ， 正方形 A1B1C1D1的边长为 2， 当2x时，23223 1yx ， 点 C1的坐标是(21 ，)，此时直线 EF 是函数 2 23( 40yxxx )的图象与正方形 A1B1C1D1的“隔 离直线”， 点 1 M的坐标是(-1，2)， 此时2t ； 当直线2yxb 与 2 23yxx只有一个交点时， 2 2 23 yxb yxx ，消去 y 得到 2 430 xxb ， 由0，可得 2 4430b ， 解得：7b， 同理，此时点 M 的坐标为：(18，)， 8t ， 根据图象可知: 当2t 或8t 时，直线2yxb 是函数 2 23(04yxxx)的图象与正方形 A1B1C1D
45、1的“隔离 直线” 13、如图，已知直角坐标平面上的 ， = ， = 90，且(1,0)，(,)，(3,0)若抛 物线 = 2+ 3经过、两点 (1)求、的值； (2)将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点，求新抛物线的解析式； (3)设(2)中的新抛物的顶点点，为新抛物线上点至点之间的一点，以点为圆心画图，当 与轴和 直线都相切时，联结、，求四边形的面积 【答案】 （1） = 1 = 2 ； （2）新抛物线的解析式为 = 2 2 + 1;(3)5 【解析】(1)抛物线 = 2+ 3经过(1,0)、(3,0)， 3 = 0 9 + 3 3 = 0 ， 解得： = 1 = 2 ； (
46、2)设抛物线向上平移个单位后得到的新抛物线恰好经过点， 则新抛物线的解析式为 = 2 2 3 + ， (1,0)、(3,0)， = = 3 (1) = 4， = 90，点的坐标为(3,4) 点(3,4)在抛物线 = 2 2 3 + 上， 9 6 3 + = 4， 解得： = 4， 新抛物线的解析式为 = 2 2 + 1； (3)设 与轴相切于点，与直线相切于点，连接、，如图所示， 则有 ， ， = ， = = = 90， 四边形是矩形 = ， 矩形是正方形， = 设点的横坐标为， 则有 = ， = = = 3 ， 点的坐标为(,3 ) 点在抛物线 = 2 2 + 1上， 2 2 + 1 = 3
47、 ， 解得：1= 2，2= 1 为抛物线 = 2 2 + 1上点至点之间的一点， = 2，点的坐标为(2,1)， = 2， = = 1 由 = 2 2 + 1 = ( 1)2得顶点的坐标为(1,0)， = 1， = = 2 1 = 1， 四边形= 梯形 = 1 2 1 2 1 2 ( + ) = 1 2 4 4 1 2 1 1 1 2 (1 + 4) 1 = 5， 四边形的面积为5 14、如图，在直角坐标系中，直线 y=1 3x1 与 x 轴，y 轴的交点分别为 A、B，以 x=1 为对称轴的抛物 线 y=x2+bx+c 与 x 轴分别交于点 A、C，直线 x=1 与 x 轴交于点 D （1）求抛物线的解析式； （2）在线段 AB 上是否存在一点 P，使以 A，D，P 为顶点的三角形与 AOB 相似？若存在，求出点 P 的 坐标；如果不存在，请说明理由； （3）若点 Q 在第三象限内
